L-6-Autmn2017 (Лекции (1-8) Грешнов Осень 2017)
Описание файла
PDF-файл из архива "Лекции (1-8) Грешнов Осень 2017", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
â : 11.10.2017 ü6㬬 ¯®¤¬®¦¥á⢠¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.1. ãáâì A, B | ¥ª®â®àë¥ ¯®¤¬®¦¥á⢠¢.¯. V . ®£¤ A+B= {a + b | ∀a ∈ A ∀b ∈ B},λA = {λa | ∀a ∈ A},λ ∈ R.¢®©á⢮ 6.1.(1) A ⊂ V | ¢¥ªâ®à®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢.¯. V ⇔ A + A ⊂ A, λA ⊂ A ∀λ ∈ R,(2) A ⊂ A0 , B ⊂ B 0 ⇒ A + B ⊂ A0 + B 0 , λA ⊂ λA0 λ ∈ R,(3) A + B = B + A, (A + B ) + C = A + (B + C ), λ(A + B ) = λA + λB .®ª § ⥫ìá⢮. .
(1) íª¢¨¢ «¥â¥ ®¯à¥¤¥«¥¨î ¢¥ªâ®à®£® ¯®¤¯à®áâà á⢠.(2) ãáâì a ∈ A ⇒ a ∈ A0 , b ∈ B ⇒ b ∈ B 0 . ®£¤ ¬ë ¨¬¥¥¬ a + b ∈ A + B ,a + b ∈ A0 + B 0 . ãáâì a ∈ A ⇒ λa ∈ λA, ¨ ¯à¨ í⮬ a ∈ A0 ⇒ λa ∈ λA0 . . (3)¤®ª §ë¢ ¥âáï «®£¨ç®.¥¯à ¦¥¨¥ 6.1. ª®¥ ¨§ ¢ª«î票© 2A ⊂ A + A, A + A ⊂ 2A «®¦®?à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥ ª ¯®¤¯à®áâà áâ¢ã¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. ¢®©á⢠®à⮣® «ì®£® ¤®¯®«¥¨ï¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.2. áᬮâਬ Ve | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E .¡®§ 稬 Ve ⊥ = {a¯®¤¯à®áâà áâ¢ã Ve .¥®à¥¬ 6.2.102030Ve ⊥ | ¢¥ªâ®à®¥Ve ⊥ ∩ Ve = 0,Ve ⊥ ⊕ Ve∈ V | (a, u)=0∀u ∈ Ve }| ®à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥ ª¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ V ,=V.®ª § ⥫ìá⢮.
10 ãáâì (a1 , u) = (a2 , u) = 0 ¤«ï ¥ª®â®àëå a1 , a2 ∈ Ve ⊥ ¤«ï ¢á¥åu ∈ Ve . ®£¤ (t1 a1 + t2 a2 , u) = t1 (a1 , u) + t2 (a2 , u) = 0 ¤«ï ¢á¥å t1 , t2 ∈ R ¤«ï ¢á¥åu ∈ Ve . ª¨¬ ®¡à §®¬ Ve ⊥ | ¢¥ªâ®à®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ E .20 ãáâì a ∈ Ve ⊥ , a ∈ Ve ¨ a 6= 0. ®£¤ (a, a) > 0, íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ®¯à¥¤¥«¥¨î Ve ⊥ .30 ãáâì {v1 , . . .
, vk } | ¡ §¨á Ve , {v1 , . . . , vk , vk+1 , . . . , vn } | ¡ §¨á E (¬®¦® ¤®¯®«¨âì ¤® ¡ §¨á ¯® «¥¬¬¥ D). ਬ¥¨¬ ®à⮣® «¨§ æ¨î à ¬ | ¬¨¤â ª ¡ §¨áã {v1 , . . . , vk , vk+1 , . . . , vn }, ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á {e1 , . . . , en } ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E . § ¬¥â®¤ ®à⮣® «¨§ 樨 à ¬ |12nP¬¨¤â á«¥¤ã¥â, çâ® Ve = L(e1 , . . . , ek ). «ï «î¡®£® x ∈ V ¬ë ¨¬¥¥¬ x = ti ei ,i=1ti ∈ R, i = 1, . . . , n. ëïᨬ, ª®£¤ (x, a) = 0(6.1)∀a ∈ Ve . áᬠâਢ ï ¢ ª ç¥á⢥ a ¢¥ªâ®àë ei , i = 1, .
. . , k, ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¤«ï ¢ë¯®«¥¨ï (6.1) ¥®¡å®¤¨¬® t1 = · · · = tk = 0. . ¥. ⥠¢¥ªâ®àë x, ¤«ï ª®â®àëå ¢ë¯®«ï¥ânPáï (6.1), ¨¬¥îâ ¢¨¤ x =ti ei . ¤à㣮© áâ®à®ë, ¯®áª®«ìªã ¡ §¨á {e1 , . . . , en }i=k+1®à⮮ନ஢ , ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® «î¡®©xâ ª®©, çâ®x=nPi=k+1ti ei ,®à⮣® -«¥ «î¡®¬ã ¢¥ªâ®àã a ∈ Ve ⇒ Ve ⊥ = L(ek+1 , . .
. , en ). 祢¨¤®, çâ® L(e1 , . . . , ek ) ∩L(ek+1 , . . . , en ) = Ve ∩ Ve ⊥ = {0}. â ª ª ª L(e1 , . . . , ek ) + L(ek+1 , . . . , en ) = E , â®E = Ve ⊕ Ve ⊥ .¥«¥¤á⢨¥ 6.1. «ï «î¡®£® v ∈ E áãé¥áâ¢ãîâ ¥¤¨áâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë a ∈ Ve ,b ∈ Ve ⊥ â ª¨¥, çâ® v = a + b.®ª § ⥫ìá⢮. «¥¤á⢨¥ 6.1 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⥮६ë 6.1 ¨ â¥®à¥¬ë ® ¯ à ««¥«ì®¬¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨¨ ¨§ «¥ªæ¨¨ ü5.¥ää¨ë¥ ¯®¤¯à®áâà á⢠¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.3. k-¬¥àë¬ ää¨ë¬ ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ (¨«¨ k-¬¥à®© ¯«®á-ª®áâìî) ¢ ä䨮¬ ¯à®áâà á⢥ A, ¯à®å®¤ï饬ã ç¥à¥§ â®çªã M0 ∈ A ¨ âïã⮬ã k «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥ªâ®à u1 , . . . , uk ∈ VA , §ë¢ ¥âáï ¬®¦¥á⢮â®ç¥ª M = M (λ1 , .
. . , λk ) ∈ A, λi ∈ R, i = 1, . . . , k, â ª¨å, çâ®k−−−→ XM0 M =λi ui .i=1ਬ¥à 6.1.(6.2)−−−→10 ¢¥á⢮ M0 M = λu, ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯àï¬ãî ¢ ä䨮¬ ¯à®áâà á⢥ A,−−−→20 à ¢¥á⢮ M0 M = λ1 u1 + λ2 u2 ®¯à¥¤¥«ï¥â (2-¬¥àãî) ¯«®áª®áâì ¢ ä䨮¬¯à®áâà á⢥ A,A−1−−−→ dimP30 à ¢¥á⢮ M0 M =λi ui ®¯à¥¤¥«ï¥â £¨¯¥à¯«®áª®áâì ¢ ä䨮¬ ¯à®i=1áâà á⢥ A.ãáâì (Oe1 . . . en ) | ª®®à¤¨ âë© à¥¯¥à ¢ A. ®£¤ (6.2) ¯¥à¥¯¨è¥¬ ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥kk−−→ −−→ −−−→ X−−→ −−→ XOM − OM0 = M0 M =λi ui ⇔ OM = OM0 +λi ui .i=1i=1(6.3)3¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.4.| ä䨮¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ V ää , ¥á«¨ ©¤¥âáï ¢¥ªâ®à®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ A0 ⊂ V ää ¨ â®çª b ∈ V ää â ª¨¥, çâ®AA = b + A0 .(6.4)à ¢¥¨¥ ¯àאַ© ¢ ä䨮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ âàï¬ ï l ¢ ¯à®áâà á⢥ V ää c ä䨮© á¨á⥬®© ª®®à¤¨ â Oe1 .
. . en , ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ â®çªã M0 ∈ V ää á ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ a 6= 0 ®¯à¥¤¥«ï¥âáïª ª ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª M ∈ V ää â ª¨å, çâ®−−→ −−→OM = OM0 + ta,t ∈ R.(6.5)¥ªâ®à a ∈ V §ë¢ ¥âáï ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ ¯àאַ© l.¯à ¦¥¨¥ 6.2. ®ª ¦¨â¥, çâ® § ¬¥ ¢¥ªâ®à a ¢¥ªâ®à λa, λ 6= 0, â ª¦¥ § ¬¥ â®çª¨ M0 «î¡ãî ¤àã£ãî â®çªã M00 , ¥ ¬¥ï¥â £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£®¬¥áâ â®ç¥ª ¯àאַ© l ¢ V ää . ää¨ëå ª®®à¤¨ â å, ¨¤ãæ¨à®¢ ëå ९¥à®¬ Oe1 . . . en à ¢¥á⢮ (6.5)§ ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª0 x1 = x1 (t) = x1 + ta1 ,...,(6.6)0xn = xn (t) = xn + tan ,£¤¥ (a1 , . .
. , an ) | ª®®à¤¨ âë ¯à ¢«ïî饣® ¢¥ªâ®à a, (x01 , . . . , x0n ) | ª®®à¤¨ âë â®çª¨ M0 . à ¢¥¨ï (6.6) §ë¢ îâáï ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯àאַ©á ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ a, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã M0 .ãáâì (a1 , . . . , an ) = (x11 −x01 , . . . , x1n −x0n ) ¤«ï ¥ª®â®à®© â®çª¨ M1 á ª®®à¤¨ â ¬¨(x11 , . . . , x1n ). ®£¤ à ¢¥á⢠(6.6) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥01 x1 = x1 (t) = x1 (1 − t) + tx1 ,...,xn = xn (t) = x0n (1 − t) + tx1n ,(6.7) ¢¥á⢠(6.7) | íâ® ãà ¢¥¨ï ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¤¢¥ â®çª¨ M0 (x01 , .
. . , x0n ),M1 (x11 , . . . , x1n ). á«ãç ¥, ª®£¤ ¢ (6.7) ¯ à ¬¥âà t ¯à®¡¥£ ¥â § ¬ªãâë© ¨â¥à¢ «[0, 1], ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ ®â१ª , ᮥ¤¨ïî饣® â®çª¨ M0 ¨ M1 ( ¯à ¢«¥−−−−→®£® ®â१ª M0 M1 ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ t ¬®®â®® ¢®§à áâ ¥â [0, 1]).ëà ¦ ï ¨§ ãà ¢¥¨© (6.6) ¯ à ¬¥âà t, ¬ë ¯®«ãç ¥¬x1 − x01a1= ··· =xn − x0n.an(6.8)4®à¬ã« (6.8) §ë¢ îâáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯àאַ© l. ®¥ç®, á।¨ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à a ¬®£ãâ ©â¨áì ¨ ã«¥¢ë¥.
ãáâì, ¯à¨¬¥à, a1 = 0. ®£¤ 01¢ ãà ¢¥¨¨ (6.8) á ¬ ï ¯¥à¢ ï ¤à®¡ì ¨¬¥¥â § ¯¨áì x1 −x0 , ¨ ® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â⮦¤¥áâ¢ã x1 (t) = x01 ∀t ∈ R.ãáâì (a1 , . . . , an ) = (x11 − x01 , . . . , x1n − x0n ) ¤«ï ¥ª®â®à®© â®çª¨ M1 (x11 , . . . , x1n ).®£¤ à ¢¥á⢠(6.8) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥x1 − x01x11 − x01= ··· =xn − x0n.x1n − x0n(6.9)àï¬ë¥ ¯«®áª®áâ¨.
¡é¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© áᬮâਬ ãà ¢¥¨ï (6.9) ¤«ï ¯«®áª®£® á«ãç ï ( ¯«®áª®áâ¨), â. ¥. dim V ää =2. ®£¤ (6.8) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤x − x0x1 − x0=y − y0⇒ dety1 − y0µx − x0x1 − x0y − y0y1 − y0¶= 0.(6.10)®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¨§ (6.10) ®§ ç ¥â, çâ® ¢¥ªâ®àë (x−x0 , y −y0 ), (x1 −x0 , y1 −y0 )«¨¥©® § ¢¨á¨¬ë (ª®««¨¥ àë).¥®à¥¬ 6.3. «ï «î¡®© ¯àאַ© l, ¯à¨ ¤«¥¦ 饩 ¯«®áª®áâ¨, áãé¥áâ¢ã¥ââனª ç¨á¥« (A, B, C ), A2 + B 2 6= 0, â ª ï, çâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï¯àאַ© l ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï kAx + kBy + kC = 0 ¤«ï «î¡®£® k ∈ R,£¤¥ (x, y) | ää¨ë¥ ª®®à¤¨ âë ¯«®áª®áâ¨.
ਠí⮬ ¥ áãé¥áâ¢ã¥â âனª¨ç¨á¥« (A1 , B1 , C1 ), ®â«¨ç®© ®â â஥ª ¢¨¤ (kA, kB, kC ), k ∈ R, â ª®©, çâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯àאַ© l ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï A1 x+B1 y +C1 = 0.®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯àאַ© l:½x = x0 + αt,y = y0 + βt,(6.11)t ∈ R,£¤¥ (α, β ) | ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ¯àאַ© l, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã (x0 , y0 ).
®£¤ ½β (x − x0 ) = βαt,⇒ −β (x − x0 ) + α(y − y0 ) = 0α(y − y0 ) = αβt,⇔ Ax + By + C = 0, A = −β, B= α,C= −Ax0 − By0 ;¯®ïâ®, çâ® A2 + B 2 6= 0. ¥¯¥àì ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ©¤¥âáï ¢¥ªâ®à (A1 , B1 , C1 ),A21 + B12 6= 0, â ª®©, çâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¨§ (6.11) ïîâáï à¥è¥¨¥¬ãà ¢¥¨ï A1 x + B1 y + C1 = 0. ᯮ«ì§ãï (6.11), ¯®«ãç ¥¬A1 x + B1 y + C1= A1 x0 + B1 y0 + C1 + t(aA1 + bB1 ) = 0∀t ∈ R.5 ç áâ®áâ¨, A1 x0 + B1 y0 + C1 = 0.
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ë ¨¬¥¥¬µaA + bB= 0,aA1 + bB1=0⇔AA1BB1¶µ ¶ µ ¶a0 .=b0(6.12)।¯®«®¦¨¬, çâ® áâப¨ ¬ âà¨æë ¨§ (6.12) «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë, ⮣¤ ¯® ¨§¢¥áâë¬ á¢®©á⢠¬ «¨¥©®© «£¥¡àë ¬ë ¯®«ãç ¥¬, ç⮵ ¶ µa= AAb1BB1¶−1 µ ¶µ ¶0 = 000,祣® ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì. ç¨â, A1 = pA, B1 = pB ¤«ï ¥ª®â®à®£® ç¨á« p 6= 0. ®£¤ A1 x + B1 y + C1= 0 ⇔ pAx + pB1 y + C1 = 0,®âªã¤ , á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠pAx + pBy + pC = 0, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ C1 = pC1 .¥¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ®¡à ⮥ ª ⥮६¥ 6.3 ã⢥ত¥¨¥ ® ⮬, ç⮠ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥åâ®ç¥ª á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x, y), 㤮¢«¥â¢®àïî騬¨ ãà ¢¥¨î ¢¨¤ Ax + By + C = 0,£¤¥ A2 + B 2 6= 0, ®¡à §ã¥â ¯àï¬ãî; ¬ë ¤®ª ¦¥¬ íâã ⥮६㠢 ¡®«¥¥ ®¡é¥© á¨âã 樨¥¬®£® ¯®§¦¥.¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.5.
à ¢¥¨¥ Ax + By + C = 0, A2 + B 2 6= 0, §ë¢ ¥âáï ®¡é¨¬ãà ¢¥¨¥¬ ¯àאַ© á ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ (B, −A).ãáâì ¢ ®¡é¥¬ ãà ¢¥¨¨ ¯àאַ© B 6= 0. ®£¤ ®® § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥y=−ACx−BB= kx + b.â® ãà ¢¥¨¥ ¨§¢¥á⮠ᮠ誮«ë, ª®íää¨æ¨¥â ª«® ¯àאַ©.k §ë¢ ¥âáï ª®íää¨æ¨¥â®¬¥®à¥¬ 6.4 (® ¢§ ¨¬®¬ à ᯮ«®¦¥¨¨ ¯àï¬ëå ¯«®áª®áâ¨). ¢¥ ¯àï¬ë¥ ¯«®áª®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ᢮¨¬¨ ®¡é¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨½= 0, A2 + B 2 6= 0,A1 x + B1 y + C1 = 0, A21 + B12 6= 0,Ax + By + C10 ¥ ¨¬¥îâ ¨ ®¤®© ®¡é¥© â®çª¨, ¥á«¨20 ᮢ¯ ¤ îâ, ¥á«¨A1A=B1C16=,BCA1A=B1B=C1,C(6.13)630 ¨¬¥îâ ¥¤¨á⢥ãî ®¡éãî â®çªã, ¥á«¨A1B16=.AB ¬¥ç ¨¥ ª ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ⥮६ë 6.4.
᫨ ª ª ï-«¨¡® ¨§ ¯ à (A, A1 ),(B, B1 ), (C, C1 ) ᮢ¯ ¤ ¥â á (0, 0), â® â ªãî ¯ àã á«¥¤ã¥â ¨áª«îç¨âì ¨§ à áᬮâ२ï (®â®è¥¨¥ 00 ¥ ®¯à¥¤¥«¥® ¢ R). ¯à¨¬¥à, ¯ãáâì (B, B1 ) = (0, 0), ⮣¤ à áᬠâਢ ¥¬ á®®â®è¥¨¥ AA1 6= CC1 (á¬. ¯. 10 ), ¨«¨ á®®â®è¥¨¥ AA1 = CC1 (á¬. ¯. 20 ),¯.
30 ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢®®¡é¥ ¥ à áᬠâਢ ¥âáï. ¯®¬¨¬, ç⮽+∞, z1 > 0, z = 0,z1=z−∞, z1 < 0, z = 0.®ª § ⥫ìá⢮. ç « ¬ë ¤®ª ¦¥¬ á«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥¨¥: ¤¢¥ ¯àï¬ë¥ ¯«®áª®á⨠¯ à ««¥«ìë ¨«¨ ᮢ¯ ¤ îâ ⇔ ¨å ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ª®««¨¥ àë.(⇒) áᬮâਬ ãà ¢¥¨ï ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¯à ¢«ïî騥µ ¢¥ªâ®àë¶ ¯àï¬ëå,®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ãà ¢¥¨ï¬¨ (6.13), ¥ ª®««¨¥ àë, ⮣¤ det AA BB 6= 0. ®11£¤ , ª ª á«¥¤ã¥â ¨§ ¨§¢¥áâëå ⥮६ «¨¥©®© «£¥¡àë, á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©µ¶µ ¶ µ¶A Bx−C= −C(6.14)A By111¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¯ à ««¥«ì®á⨠¨«¨ ᮢ¯ ¤¥¨î¯àï¬ëå, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ãà ¢¥¨ï¬¨ (6.13).(⇐) ãáâì ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë (B, −A), (B1 , −A1 ) ¯àï¬ëå, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ãà ¢¥¨ï¬¨ ¨§ (6.13), ª®««¨¥ àë, â.