Образец выполнения этапа №4 курсовой работы (Требование и образец выполнения курсовой работы)

Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #4Курсовая работапо курсу «Дифференциальные уравнения».Выполнил студент группы 7o-201С Иванов И..И.Вариант №1Этап #4Задание:Вариант №1Этап #41. y′′ + 4y = cos(2x) + 4x 2 − 3x ⋅ sin(2x)Задание.1. Определить структуру общего решения ЛНДУметодом подбора частного решения(коэффициенты частного решения неопределять).2. Решить ЛНДУ методом подбора частногорешения.3.

Решить ЛНДУ методом вариациипроизвольгых постоянных.2. y′′ + 4y = 4x 2 − x13. y ′′ + 4y =cos(2x)Часть1.Дано: y′′ + 4y = cos(2x) + 4x 2 − 3x ⋅ sin(2x)Определить структуру общего решения ЛНДУ методом подбора частного решения.Решение:Решаем соответствующее ЛОДУ с той же левой частью:y ′′ + 4y = 0λ2 + 4 = 0λ1,2 = ±2 iy одн = C1 cos(2x) + C 2 sin(2x)Исследуем структуру правой части ЛНДУ:1 слагаемое:2 слагаемое:3 слагаемое:cos(2x)4x 2−3x ⋅ sin(2x)α=0 β=2 m=0α=0 β=0 m=2α = 0 β = 2 m =1Группируем слагаемые с одинаковыми парметрами α и β :1 и3слагаемое:cos(2x)−3x ⋅ sin(2x)α = 0 β = 2 m =11 группа2 слагаемое:4x 2α=0 β=0 m=22 группаСтр. 1Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #4Для каждой группы слагаемых записываем частное решение:Первое частное решение: α = 0 β = 2 m = 1 +B x) ⋅ sin(2x)  ⋅ e0⋅xy част1 = xS ⋅ (A1 + B1x) ⋅ cos(2x) + (A11α + i β = 0 + i ⋅ 2 = 2i → S = 1 (т.к.

имеется один корень характеристическогоуравнения λ1 = 2i ) +B x) ⋅ sin(2x) Окончательно: y част1 = x ⋅ (A1 + B1 x) ⋅ cos(2x) + (A11Второе частное решение: α = 0 β = 0 m = 2y част 2 = x S ⋅ (A 2 + B2 x + D2 x 2 ) ⋅ e0⋅xα + i β = 0 + i ⋅ 0 = 0 → S = 0 (т.к. корней равных 0 у характеристическогоуравнения нет)Окончательно: y част 2 = A 2 + B2 x + D2 x 2Записываем структуру общего решения ЛНДУ:y = yодн + y част1 + y част 2Ответ: +B x) ⋅ sin(2x)  + A + B x + D x 2y = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) + x ⋅ (A1 + B1x) ⋅ cos(2x) + (A11222Стр. 2Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #4Часть 2.Дано: y′′ + 4y = 4x 2 − xРешить ЛНДУ методом подбора частного решения.Решение:Решаем соответствующее ЛОДУ с той же левой частью:y ′′ + 4y = 0λ2 + 4 = 0λ1,2 = ±2 iy одн = C1 cos(2x) + C 2 sin(2x)Исследуем структуру правой части ЛНДУ:1 слагаемое:2 слагаемое:4x 2−xα=0 β=0 m=2α = 0 β = 0 m =1Группируем слагаемые с одинаковыми парметрами α и β :1 и2слагаемое:4x 2−xα=0 β=0 m=21 группаДля полученной группы слагаемых записываем частное решение:Частное решение: α = 0 β = 0 m = 2y част = x S ⋅ (A1 + B1 x + D1 x 2 ) ⋅ e0⋅xα + i β = 0 + i ⋅ 0 = 0 → S = 0 (т.к.

корней равных 0 у характеристическогоуравнения нет)Окончательно: y част = A1 + B1 x + D1 x 2Находим неизвестные коэффициенты частного решения методом неопределенныхкоэффициентов:y част = A1 + B1 x + D1 x 2y ′част = B1 + 2 ⋅ D1 xy ′′част = 2 ⋅ D1y ′′част + 4y част = 4x 2 − x2 ⋅ D1 + 4 ⋅ (A1 + B1 x + D1 x 2 ) = 4x 2 − xПриравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частяхуравнения:Стр.

3Образецx0x2 ⋅ D1 + 4 ⋅ A1 = 024 ⋅ D1 = 4xв ы п о л н е н и я э т а п а #44 ⋅ B1 = −1Из полученной системы находим:A1 = − 12B1 = − 14D1 = 1Окончательно: y част = − 1 2 − 1 4 x + x 2Проверка:y част = − 1 − 1 x + x 224y ′част = − 1 + 2 ⋅ x4y ′′част = 2y ′′част + 4y част = 4x 2 − x2 + 4 ⋅ (− 1 − 1 x + x 2 ) = 4x 2 − x242 − 2 − x + 4x 2 = 4x 2 − x4x 2 − x ≡ 4x 2 − xполучено верное тождество.Записываем решение ЛНДУ:y = yодн + y частОтвет: y = C1 cos(2x) + C 2 sin(2x) − 1 2 − 1 4 x + x 2Стр. 4Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #4Часть 3.1cos(2x)Решить ЛНДУ методом вариации произвольных постоянных.Решение:Дано: y ′′ + 4y =Решаем соответствующее ЛОДУ с той же левой частью:y ′′ + 4y = 0λ2 + 4 = 0λ1,2 = ±2 iy одн = C1 cos(2x) + C 2 sin(2x)В полученном решении заменяем произвольные постоянные на неизвестные функции:y = C1 (x) cos(2x) + C2 (x) sin(2x)Составляем систему алгебраических уравнений:C ′ (x) cos(2x) + C ′ (x) sin(2x) = 02 11′′−2 ⋅ C1 (x) sin(2x) + 2 ⋅ C2 (x) cos(2x) =cos(2x)Решаем полученную систему:1C2′ =21C1′ (x) = − ⋅ tg(2x)2Находим неизвестные функции:1xC2 (x) = ∫ dx = + Cˆ 22211ˆC1 (x) = ∫ − tg(2x) dx = ln cos(2x) + C124Подставляем найденные выражения в решение:1xy =  ln cos(2x) + C1  ⋅ cos(2x) +  + C2  ⋅ sin(2x) =421x= C1 cos(2x) + C2 sin(2x) + ln cos(2x) ⋅ cos(2x) + ⋅ sin(2x)421xОтвет: y = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) + ln cos(2x) ⋅ cos(2x) + ⋅ sin(2x)42Стр.

5.