Образец выполнения этапа №1 курсовой работы (Требование и образец выполнения курсовой работы)

Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #2Курсовая работапо курсу «Дифференциальные уравнения».Выполнил студент группы 7o-201С Иванов И.И.Вариант №1Этап #2Задание:Этап #2Вариант №1а) 2 y ′ + y ⋅ tg ( x ) =Задание. Определить тип (сcos( x )yдоказательством) и найти общее решениекаждого ДУ 1-го порядкаб) (2 y ⋅ cos( x ) + x 2 )dy = ( y 2 ⋅ sin( x ) − 2 x ⋅ y)dxУравнение а)cos( x )yОпределить тип и найти общее решение ДУ.Дано: 2 y ′ + y ⋅ tg ( x ) =Решение:Выразим из ДУ y ′ и определим тип исходного уравнения:− tg(x)cos(x) 1y′ =⋅y+⋅ - это ДУ Бернулли при n = −122ya(x)b(x)ynРазделим обе части уравнения на y −1 :y′ ⋅ y = −tg ( x ) 2 cos( x )⋅y +22Вводим замену: z =1(*)= y 2 , тогда z ′ = 2 y ⋅ y ′ →y −1−1Подставляем полученные выражения в ДУ (*)y′ =z′2ytg ( x )cos( x )z′⋅y=−⋅z+2y22z ′ = − tg ( x ) ⋅ z + cos( x ) - это неоднородное ЛДУ 1-го порядкаСтр.

1Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #2Решаем неоднородное ЛДУ методом вариации произвольной постоянной.Сначала решаем соответствующее однородное ЛДУ:z ′ = − tg ( x ) ⋅ zdz= − tg ( x ) ⋅ zdxdz= − tg ( x )dxzdz∫ z = ∫ − tg( x)dxln z = ln cos( x ) + ln Cz = C ⋅ cos( x )В полученном решении заменяем произвольную постоянную на неизвестную функцию:z = C( x ) ⋅ cos( x )Подставляем полученное решение в ЛДУ:(C( x ) ⋅ cos( x ))′ = − tg ( x ) ⋅ C( x ) ⋅ cos( x ) + cos( x )C′( x ) ⋅ cos( x ) − C( x ) ⋅ sin( x ) = − tg ( x ) ⋅ C( x ) ⋅ cos( x ) + cos( x )C′( x ) ⋅ cos( x ) − C( x ) ⋅ sin( x ) = − sin( x ) ⋅ C( x ) + cos( x )C′( x ) ⋅ cos( x ) = cos( x )C′( x ) = 1Находим неизвестную функцию C(x) :C(x) = ∫ 1 ⋅ dx = x + CПодставляем найденное выражениу в решение:z = (x + C ) ⋅ cos( x )Делаем обратную замену: y 2 = (x + C ) ⋅ cos( x )Проверяем потерянные решения:cos(x)0sin(x) 0cos( x ) = 0 - не решение, т.к.

противоречит исходному ДУ: 2y ′ + y ⋅=0yy=0- не решение, т.к. противоречит исходному ДУ: 2 ⋅ 0 ′ + 0 ⋅ tg(x) =Ответ: y 2 = (x + C) ⋅ cos( x )Стр. 2Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #2Уравнение б).Дано: (2 y ⋅ cos( x ) + x 2 )dy = ( y 2 ⋅ sin( x ) − 2x ⋅ y)dxОпределить тип и найти общее решение ДУ.Решение:Определим тип исходного ДУ.Проверим является ли данное ДУ уравнением в полных дифференциалах:(− y 2 ⋅ sin( x ) + 2 x ⋅ y)dx + (2 y ⋅ cos( x ) + x 2 )dy = 0M ( x , y)N ( x , y)∂M∂N= −2 y ⋅ sin( x ) + 2 x= −2 y ⋅ sin( x ) + 2 x∂x∂y∂M ∂NТ.к.≡ДУ является уравнением в полных дифференциалах.∂y ∂xБудем искать решение в виде: F( x , y) = C , где∂F= M(x, y) = − y 2 ⋅ sin(x) + 2x ⋅ y∂x∂F= N(x, y) = 2y ⋅ cos(x) + x 2∂yДля поиска решения проинтегрируем N(x, y) =∂Fпо у:∂yF( x , y) = ∫ (2 y ⋅ cos( x ) + x 2 )dy = 2 ⋅ cos( x ) ∫ y dy + x 2 ∫ 1 ⋅ dy = cos( x ) ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y + C( x )F(x, y) = cos(x) ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y + C(x)Продифференцируем найденную функцию по x и приравняем M(x,y):∂F= − sin(x) ⋅ y 2 + 2x ⋅ y + C ′(x)∂x− sin(x) ⋅ y 2 + 2x ⋅ y + C ′(x) = − y 2 ⋅ sin(x) + 2x ⋅ y ∂F∂xM(x,y)Следовательно C ′( x ) = 0Тогда C( x ) = ∫ 0 ⋅ dx = ĈЗапишем найденную функцию: F( x , y) = cos( x ) ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y + ĈОкончательно: F( x , y) = C → cos( x ) ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y + Ĉ = C илиcos( x ) ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y = CОтвет: cos( x ) ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y = CСтр.

3.