Домашнее задание. Фомичев А.В. Расчет параметров межпланетных траекторий по методу сфер влияния (1998)

Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаА. В. ФОМИЧЕВРасчет параметров межпланетныхтраекторий по методу сфер влиянияДомашнее задание для студентов кафедры ИУ-1 по курсу«Механика полета КА»(IV курс, VIII семестр)Москва, 1998Постановка задачи:Космический аппарат выполняет полет с Земли к планете P. Старт происходит в день X. Сближение космического аппарата с планетой P должно произойти в момент ее наибольшего сближения с Землей. Известно, что в день весеннегоравноденствия , 22 марта текущего года, угловое расстояние от Земли до планеты P составляет угол .Требуется:1.

Определить параметры орбиты космического аппарата на основанииприближенного решения уравнения Ламберта.2. Рассчитать параметры орбиты космического аппарата в сфере действияЗемли.3. Рассчитать характеристическую скорость оптимального маневра перевода космического аппарата с круговой орбиты ожидания высотой 200 км над поверхностью Земли на найденную в п.2 траекторию межпланетного полета.Оформление отчета.В отчете по домашнему заданию привести все расчеты и использованныесоотношения.

Изобразить в масштабе на миллиметровой бумаге орбиты Земли,планеты P и найденную траекторию космического аппарата с указанием положений планет на момент старта - день X, день весеннего равноденствия , и моментокончания полета - день A , привести соответствующие календарные даты. Изобразить траекторию космического аппарата в сфере действия Земли, указать векторы скорости космического аппарата относительно Земли и относительно Солнца в момент выхода из сферы действия. Изобразить траекторию оптимальногоманевра перевода космического аппарата с круговой орбиты ожидания на межпланетную траекторию.Данные к решению задачи взять из общих данных и данных по вариантамиз Таблицы 1.Общие данные:Радиус орбиты Земли rЗ  1,496  10 8 км  1 а.е.Радиус орбиты планеты P: Венера rВ  0 ,72332 a.e.Марс rM  1,52 a.e.Радиус Земли RЗ  6378 км .Радиус сферы действия Земли R ДЗ  9 ,4  10 5 км .Константы гравитации: Солнца  C  1,3249  10 11 км 3 с 2 .Земли  З  3 ,9858  10 5 км 3 с 2 .Ограничение на время полета   1000 дней .-2-Данные по вариантам:День старта X принять датой своего дня рождения в текущем году.№ в журнале1-56-1011-1516-20ПланетаВенераМарсВенераМарсТаблица 1Угол 300300-300-300Порядок выполнения домашнего задания.1.

Определение параметров межпланетной траектории наоснове решения уравнения Ламберта.Рассмотрим порядок расчета параметров межпланетной траектории.Типичными исходными данными для такого расчета являются известныепараметры орбиты планеты назначения и Земли (для упрощения будем считать ихконцентрическими окружностями, лежащими в плоскости эклиптики и имеющими радиусы rP и rЗ соответственно), а также взаимоположение планет в гелиоцентрической эклиптической системе координат в некоторый момент времени(например, в день весеннего равноденствия , 22 марта текущего года).Дата старта и дата прибытия назначаются из ряда различных соображений,связанных с задачей полета, удобством радиосвязи с КА, особенно в момент егосближения с планетой назначения, экономией энергетических ресурсов на осуществление перелета и т.п.Вполне обоснованным представляется выбирать дату прибытия А КА к цели в момент противостояния Земли и планеты назначения, т.е.

в момент ихнаибольшего сближения, когда они оказываются на одном луче от Солнца. Этимобеспечиваются наилучшие условия радиосвязи с КА в момент прибытия.Дата старта Х в рассматриваемой методике может выбираться достаточнопроизвольно.Рассмотрим следующую постановку задачи:требуется рассчитать параметры межпланетной траектории в гелиоцентрической эклиптической системе координат, обеспечивающей перелет сЗемли на планету Р, которая в день весеннего равноденствия  занимает угловоеположение  (по отношению к оси Ox). Перелет должен начаться в день Х, а завершиться в день А, когда произойдет противостояние Земли и планеты Р.Порядок расчета сводится к следующему.1.1.

Определение даты прибытия А и углового положения-3-планет в этот момент.Поскольку орбиты Земли и планеты Р считаются круговыми, угловые скорости их движения (град/сут) постоянны и составляют360,(1)nЗ TЗгде TЗ  365 ,25 сут - длительность Земного года,rЗ3360nP  nЗ 3 ,TPrPа так как по III-му закону КеплераT P2T З2rP3rЗ3,TP  TЗ(2)rP3rЗ3В день весеннего равноденствия  Земля пересекает ось Ox в гелиоцентрической эклиптической системе координат, а планета, по условию, составляет сэтой осью угол  (рис.1).

Таким образом, уравнения углового движения планет,начиная с момента , имеют вид З t   n З t , P t     nP t ,а текущее угловое расстояние(3)   P t    З t     nP  nЗ t .Условием противостояния планет являетсяk  0 , 1, 2 , ... .  2kПри раскрытии модульного соотношения (3) могут возникнуть четыре различныхслучая:1)   0 , nЗ  nP - тогда первое противостояние происходит на первомвитке через,ta nЗ  nPпоследующие противостояния через  2 k(4а)t ak ,k  1, 2 ,  ;nЗ  nP2)   0 , nЗ  nP - тогда первое противостояние происходит на второмвитке планеты Р относительно Солнца через2  ,ta nP  nЗа последующие через-4--5-2 k  (4б),k  2 , 3 , ;nP  nЗ- тогда первое противостояние происходит на второмt ak 3)   0 , nЗ  nPвитке Земли черезta 2  nЗ  nP,последующие черезt ak 4)   0 , nЗ  nPвитке через2 k  (4в),k  2, 3,;nЗ  nP- тогда первое противостояние происходит на первомta nP  nЗ,а последующие черезt ak 2 k  (4г),k  1, 2 ,  .nP  nЗДата противостояния определяется по календарю или с помощью алгоритма,приведенного в приложении 1, на основании соотношения(5)A    taВ этот момент обе планеты составляют с осью Ox угол (см.

рис. 1)(6) a  nЗ t a  2k ,k  0 , 1, 2 , 1.2 Определение положения планет в момент старта Х.От дня весеннего равноденствия дата старта определяется временем(7)t 0  X   Его тоже можно определить с помощью алгоритма, приведенного в приложении1. Следовательно, Земля в этот момент составляет с осью Ox угол (см. рис. 1)(8) 0  nЗ t 0 ,а планета Р(9) 0 P    nP t 0 .Заметим, что угол  0  0 , если старт происходит позже дня весеннего равноденствия X    , и  0  0 , если дата старта Х более ранняя, чем  X    .1.3.

Определение длительности перелета, угловой дальности,большой полуоси и фокального параметра орбиты.Большую полуось орбиты межпланетного перелета можно найти на основании приближенного решения уравнения Ламберта при знании длительности пе-6-релета  и его угловой дальности  . Эти параметры легко находятся исходя изпроведенных выше вычислений (см.

рис. 1):  A  X сут (10)   a   0  2 k град ,k  0 , 1, 2 , Эти данные позволяют приближенно с помощью номограмм (см. рис. 1-4приложения 3) найти возможные значения больших полуосей изохронных орбитперелета, т.е. орбит по которым КА достигает планеты P за одно и тоже время  .Далее значения больших полуосей следует уточнить непосредственной подстановкой в уравнение Ламберта с последующей линейной интерполяцией, т.е. придания a i незначительной вариации ai  ai  a и определения на прямой  1 ai    2 ai в координатах a  значения ai   для  , найденного в (10).Конкретный вид уравнения Ламберта выбирается из таблицы приложения 2и определяется найденным по (10) углом  и точкой пересечения ординаты  ссоответствующей кривой на номограмме.

Если точка пересечения лежит на верхней части кривой номограммы Ламберта (т.е.   amin  - время полета по траектории минимальной энергии с a  amin ), то a i соответствует орбите охватываю~ щей свободный фокус F (форма траектории 2 или 4 из таблицы приложения 2),если точка пересечения лежит на нижней части кривой (   amin  ) - орбита неохватывает свободный фокус F  (форма траектории 1 или 3). В той же графе таблицы приведено соотношение для расчета фокального параметра pi .1.4. Определение формы и углового положения орбитыперелета.Чтобы полностью связать найденную орбиту перелета с системой координат Oxy  , начальным и конечным положением КА, необходимо знать ее форму иугловое положение линии апсид.~ Зная большую полуось орбиты a i , свободный фокус F или F можнонайти как точки пересечения окружностей радиусами 2ai  rЗ с центром в точке,задающей положение Земли в день старта X , и радиуса 2ai  rP с центром в точке, задающей положение планеты P в момент прибытия A .Вычисленные выше значения a i и p i дают возможность определитьостальные параметры орбиты:- эксцентриситетp(11)  1 ;a- перигелий и афелий орбиты-7-p a1   ,1 - малую полуось орбитыr r p a1    ;1 (12)(13)b  a2  c2  a 1  2 ,здесь c - фокусное расстояние эллипса;- истинную аномалию точек старта и прибытия1 p1 p arccos   1  , arccos   1  ,  rЗ  rP(14)0  a  1p1p2   arccos   1  ,2   arccos   1  ,r  rP ЗСледует заметить, что то или иное из этих соотношений нужно выбирать, сучетом того, чтоa  0    360k , k  0 ,1,2 ,где  - угловая дальность перелета, определяемая по (10).Этот выбор существенно упрощается на основе знания расположения сво~ бодного фокуса орбиты Fi или F , а следовательно и ее линии апсид, проходя~ щей через занятый фокус F (Солнце) и свободный Fi или F .Положение вектора Лапласа, направленного в перицентр орбиты по линииапсид, можно найти и по другому.

Для этого от направления на Землю в моментстарта или в момент прибытия нужно по часовой стрелке отложить угол  0 или a соответственно.После того, как найдено положение линии апсид в системе координатOxy  можно достаточно точно построить целиком весь эллипс траектории перелета, откладывая r и r по линии апсид от фокуса F , и перпендикулярно ей pот фокусов F и Fi и b из центра эллипса соответственно. Помимо этого в силусимметрии эллипс должен пересекать орбиту Земли при значениях    0 , а орбиту планеты Р - при значениях    a (см.