Некоторые сведения из теории поля. Плоскопараллельные потоки

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОЛЯПлоскопараллельные потоки.Во многих задачах гидромеханики рассматривается частный случай движенияжидкостей, при котором векторы скорости в любой точке параллельны некоторойнеподвижной плоскости, при этом векторы скорости во всех точках, расположенных налюбой нормали (любом перпендикуляре) к этой плоскости, совпадают по величине инаправлению (не зависят от расстояния до этой плоскости). Другими словами, движениепроисходит только в параллельных плоскостях, причем во всех плоскостях картинадвижения одинакова. Такое движение называется плоскопараллельным, или плоским.Примером плоского движения является обтекание цилиндрического тела бесконечной длиныпрямолинейным равномерным потоком, или движение такого тела в неподвижной среде,если относительная скорость движения перпендикулярна образующим цилиндра.Если расположить координатные оси так, чтобы плоскость OXY совпадала сплоскостью, параллельно которой происходит движение, то для плоскопараллельногодвижения достаточно рассматривать лишь то, что происходит в этой плоскости OXY, так какво всех остальных плоскостях, не зависимо от значения третьей координаты Z, будетпроисходить то же самое.

Расположенную таким образом плоскость OXY называютплоскостью потока.Очевидно, что плоское движение определяется двумя проекциями скорости ux(x,y) иu x u yuy(x,y), а u z  0 , 0 . Вихри при таком движении, очевидно, могут иметьzzu y u xлишь одну ненулевую проекцию  z , а  x   y  0 . Уравнение линий тока вxydx dyэтом случае имеет вид. Таким образом, при плоском движении любую задачуux uyможно рассматривать как двумерную.

В частности - задачу обтекания цилиндрического теламожно заменить задачей обтекания плоской фигуры в сечении этого тела плоскостью потока,или замкнутого контура, ограничивающего эту фигуру. При этом в ряде практически важныхслучаев такая задача обтекания может быть решена аналитически, т.е. – поле скоростей приобтекании ряда тел можно определить в виде конечных соотношений.Потенциальное установившееся плоское движение.Важные для практического применения результаты могут быть получены длячастного случая плоскопараллельного движения, а именно - когда в рассматриваемойобласти плоскопараллельным является установившееся безвихревое движение сплошнойнесжимаемой жидкости.В этом случае условие безвихревого движения rotu ( x , y)  O приобретает видu y u x0 ,xyа уравнение неразрывности в той области течения, в которой отсутствуют источники истоки, т.е.

divu ( x , y)  0 упрощается до вида1u x u y 0.xyДля безвихревого, т.е. потенциального движения существует непрерывнаядифференцируемая функция (x,y), являющаяся потенциалом рассматриваемого потока, длякоторой ux , u y . Нужно заметить, что в силу дифференциального характера связиyxмежду потенциалом и проекциями скорости, потенциал определяется с точностью доконстанты, т.е., если (x,y) является потенциалом рассматриваемого движения, топотенциалом является также функция (x,y)+const при любом значении константы. При этомскалярное произведение u (r )  dr является полным дифференциалом этой функции, т.е.d dx dy  u x dx  u ydy , а линии уровня этой функции (x,y)constxy(эквипотенциальные линии) перпендикулярны линиям тока.Так как движение происходит в плоскости, то оказывается удобным воспользоватьсяметодами теории функций комплексной переменной.

Для этого рассматриваемую плоскостьOXY отождествляют с комплексной плоскостью, действительной осью которой является осьX, а мнимой - ось Y. Точка с координатами (x, y) соответствует комплексному числу z=x+jy(где j - мнимая единица), скорость в этой точке – комплексной функцииu(х,у)=ux(х,у)+juy(х,у), или u(z)=ux(z)+juy(z), а все рассматриваемые функции также являютсяфункциями комплексной переменной z (не путать введенную комплексную переменную z итретью координату геометрического пространства, обозначаемую той же буквой – такиеобозначения являются традиционными как для комплексных переменных, так и длятрехмерного геометрического пространства).Приведенные выше условия безвихревого движения и уравнение неразрывности дляu y u xплоского течения в точности соответствуют условиям Коши-Риманаиxyu yu xдля комплексной функции uxjuy, т.е.

функции, комплексно сопряженной поxyотношению к скорости u=ux+juy. Функцию u*=uxjuy называют сопряженной скоростью.А условия Коши-Римана показывают, что сопряженная скорость являетсяаналитической функцией (т.е. дифференцируемой и имеющей непрерывные производные вкаждой точке той области, где эти условия выполняются). Т.е., сопряженная скоростьявляется аналитической функцией везде, где течение безвихревое и неразрывное.Одним из свойств аналитических функций является существование и аналитичностьее первообразной u * (z)dz . Обозначим эту первообразную w(z)=(z)+j(z), илиw(x,y)=(x,y)+j(x,y), где (x,y) и (x,y) – действительные функции, сами (в силу аналитичности) связанные условиями Коши-Римана,  .

Итак,x yxydww (z )   u * (z )dz или w (z)  u * (z ) . Взяв соответствующие производные отdz2d  j   jj u x  ju y , получим ux ,dzxx yyx uy , u y , и ux .yxyОтсюда следует, что u . Таким образом, (x,y) является потенциаломjyxскорости (по определению потенциала), а (x,y) хотя и не является потенциалом, обладаетпохожими на него свойствами:, или u* (для сравнения: u );ujjjyxyxxyd dx dy , т.е.

d  u y dx  u x dy (для сравнения: d  u x dx  u y dy ),xydx dyОткуда следует, что для линий тока, для которыхd  0 , илиux uyпервообразнойw (z) (x,y)=const (для сравнения: уравнения эквипотенциальных линий имеют вид (x,y)=const).Итак, получены уравнения линий тока в конечной форме (x,y)=const. Кстати, из-заэтого функция (x,y) называется функцией тока, а комплексная функцияw(x,y)=(x,y)+j(x,y) - комплексным потенциалом плоского течения (потока). Графическина комплексной плоскости комплексный потенциал отображается в виде «сетки»ортогональных линий (x,y)const (эквипотенциальных линий) и (x,y)=const (линий тока),называемой сеткой течения. Любая пара линий тока образует трубку тока.Ортогональность линий тока и линий равного потенциала следует изортогональности градиентов функций (x,y) и (x,y). Действительно, с учетом условий       Коши-Римана для этих функций grad  grad  0 , т.е.x x y y x x x xградиенты этих функций ортогональны.Комплексный потенциал и свойства движения.Но указанное выше удобство использования комплексного потенциала состоит нетолько в наглядности его графического образа.

Функция w(x,y)=(x,y)+j(x,y) наиболееполно и просто выражает основные свойства и характеристики потоков рассматриваемоговида, даже по сравнению с «исходным» способом описания в виде поля скоростей u(x, y) .Во-первых, разность комплексных потенциалов в точках A и B равна комплексномучислу, действительной частью которого является циркуляция скорости вдоль кривой С,соединяющей точки A и B, а мнимой – расход через ту же кривую, т.е.w (B)  w (A)  w B  w A   B   A  j B   A   C  jQ C .Кривая С – любая, но не выходящая из области потенциального неразрывноготечения.Если кривая С – замкнутая (контур), т.е. точки А и В совпадают, то из полученныхвыражений следует, что и расход и циркуляция равны нулю. Однако, это справедливо лишь втом случае, если условие безвихревого движения и уравнение неразрывности выполняютсяне только на контуре, но и для всей области, охваченной этим контуром.

Если внутри3контура имеются изолированные области, в которых эти условия нарушаются (особыеобласти), то расход и циркуляция могут отличаться от нуля, однако, они будут одинаковыдля всех контуров, которые могут быть «стянуты» к рассматриваемому, минуя особыеобласти.Доказывается непосредственно через определения циркуляции и расхода, причемпод расходом через кривую С понимается расход через часть цилиндрической поверхностиS, для которой С является направляющей, а длина образующих равна единице:B  dy   d   d   B   A ;C   u  dc   (u x dx  u y dy)    dx xy  CCCCAB  Q C   u  d s   u  dn   u x dy  u y dx    dx dy    d   d   B   A .xy  CSCCCAЗдесь d c и dn - векторы, модули которых равны длине дифференциалаdc  dx 2  dy 2 дуги этой кривой (dx и dy - проекции дифференциала дуги d c ), анаправление совпадает с касательной и нормалью к кривой соответственно.Следует заметить, что из последнего соотношения следует постоянство расходачерез любое сечение трубок тока, так как для них =const.

Поэтому сужение трубок тока(сгущение линий тока) соответствует увеличению скорости потока, а расширение замедлению.Во-вторых, для комплексного потенциала справедливо свойство суперпозиции, т.е.,если поле может быть представлено в виде суммы полей u  u1  u 2  ...  u n , и для каждогоиз полей существует комплексный потенциал w1, w2, ... wn, то существует комплексныйпотенциал суммарного поля w, равный сумме w = w1 + w2 + ... + wn. Верно и обратное, т.е.возможность представления комплексного потенциала в виде суммы позволяет представитьполе в виде суммы полей с соответствующими комплексными потенциалами. Проверяютсяэти свойства непосредственной подстановкой.Этим и пользуются для составления моделей плоского обтекания.

Для этого берутмодели элементарных течений (с известными простыми полями) и, комбинируя илипреобразуя их подходящим образом, строят модель нужного обтекания.Элементарные плоские потоки.Свойство суперпозиции позволяет представлять сложные для математическогоописания поля в виде суммы простых, называемых обычно элементарными. Примерамитаких элементарных полей являются прямолинейное течение, поле источника (стока), поледиполя, поле изолированного (элементарного) вихря.Прямолинейным течением (потоком) называется поле, в каждой точке котороговектор скорости одинаков.