МУ - М-105 (Связанные маятники)

МГТУ им. Н.Э. БауманаН.А. Гладков, А.Н. Морозов, Е.В. ОнуфриеваСВЯЗАННЫЕ МАЯТНИКИМетодические указания к лабораторной работе М105 по курсу общейфизики20141Цель работы - изучение свободных колебаний механической системы (МС) сдвумя степенями свободы и внутренней упругой связью. Определение амплитудночастотных характеристик этой колебательной системы.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬИзучение основных закономерностей колебательного движения МС с двумястепенями свободы будем проводить на примере колебаний двух маятников,соединенных упругой связью. Условная схема такой колебательной системыприведена на рис.

1. Положение МС, состоящей из двух маятников, будетопределятьсядвумянезависимымиугловымикоординатами1ихарактеризующими2 ,углыотклонениямаятниковотположенияравновесия,т.е.такая МС имеет две степенисвободы.В дальнейшем индексы "1" и"2" относятся к параметрам 1гои2-гомаятниковсоответственно.Рис. 1Маятники состоят из стержней и нанизанных на них массивных тел (дисков)массой m1 и m2 . Поскольку массы стержней значительно меньше массы тел, томоменты инерции маятников относительно осей вращения O1 z1 и O2 z2 , проходящихчерез точки O1 и O2 , и перпендикулярных плоскости чертежа, можно рассчитать по2формулам I1  m1l12 и I 2  m2l22 , где l1 и l2 - расстояния от центра масс тел досоответствующих осей O1 z1 и O2 z2 .

На расстоянии L от осей вращения стержнискреплены пружиной. Для наблюдения вынужденных колебаний внешнеегармоническое воздействие F  t  может быть приложено к одному из маятников.На рис. 1 эта сила приложена ко второму маятнику на расстоянии LF от оси O2 z2 иприводит его в колебательное движение, которое через пружину передаетсяпервому маятнику.

Однако в данной лабораторной работе вынужденные колебанияне рассматриваются.Свободные колебания связанных маятниковДля вывода уравнений колебаний маятников используем основное уравнениединамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси Oz:NI z z   M iz(1)i 1d 2где I z - момент инерции тела относительно оси Oz;  z  2   - угловоеdtускорение тела;NMi 1iz- сумма моментов внешних сил относительно Oz,действующих на данное тело.При этом считаем, что стержни маятников можно рассматривать какневесомые.

Тогда уравнение движения первого маятника в соответствии свыражением (1) примет следующий вид:m1l121  m1 gl1 sin 1  F1L cos 1(2)3где m1 gl1 sin 1  M1z - момент силы тяжести маятника. Знак "минус"указывает на то, что этот момент действует таким образом ,что стремится вернутьмаятник в положение равновесия.Момент упругой силы F1 , действующий на 1-й маятник со стороныдеформированной пружины, будет равен M1z  F1L cos 1 . Упругая сила F1  k x , гдеk - коэффициент жесткости пружины, x - изменение длины пружины. Всоответствии с рис.

1 можно записать F1  kL  sin 2  sin 1  .Поскольку масса и ускорения отдельных частей пружины невелики, тоинерциальными свойствами пружины можно пренебречь, а следовательно,F1  F 2 .В данной работе рассматриваем малые колебания маятников, для которыхсправедливо соотношение следующего вида:sin    ,cos   1 . С учетомизложенного перепишем уравнение (2) в виде:m1l121  m1 gl11  kL2 2  1   01  p111  p122  0 ,или(3)(4)где коэффициенты p11 и p12 равныp11 g kL2kL2 2 ; p12 .l1 m1l1m1l12Уравнения аналогичные уравнениям (3), (4), можно составить и для второгомаятника:2  p222  p211  0 ,где p22 (5)g kL2kL2p;.21l2 m2l22m2l224Такимобразом,полученасистемадвухлинейныходнородныхобыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для функций1  1  t  и 2  2  t  .Анализ системы уравнений (4) и (5) показывает, что свободные колебаниядвухсоединенныхмаятниковхарактеризуютсясобственнымикруговымичастотами I и II , определяющими главные колебания системы.

Эти частотыназываются собственными, потому что зависят от параметров колебательнойсистемы ( l1 , l2 , L, m1 , m2 , k) и не зависят от условий выведения системы изположения равновесия (начальных условий). Первое главное колебание системыописывается уравнениями 1  A1I cos I t  1  , 2  A2I cos I t  1  .

Аналогичнуюзапись имеем и для второго главного колебания системы: 1  A1II cos II t   2  ,2  A2II cos II t  2  .Произвольные постоянные A1I , A2I , A1II , A2II , 1 ,  2 определяют из начальныхусловий движения колебательной системы.

Главные колебания возникают толькопри определенных начальных условиях. В случае произвольного возбужденияколебательной системы колебания маятников происходят на обеих главныхчастотах I и II . При этом колебания каждого маятника складываются из главныхколебаний системы:1  B1 cos I t  1   D1 cos II t   2  ,(6)2  B2 cos I t  1   D2 cos II t   2  .(7)Поскольку функции 1 и  2 должны удовлетворять уравнениям (4) и (5), токоэффициенты B1 , B2 , D1 , D2 - взаимосвязаны. Например,5B1 p12p12B2 ; D1 D2 .2p11  II2p11  IПараметры B1 , D2 , 1 ,  2 (или D1 , B2 , 1 ,  2 ) определяют из начальныхусловий колебательной системы.

Зависимости (6) и (7) представляют собой общеерешение системы уравнений (4), (5).все значительно упрощается, когда связанные маятники одинаковы, т.е.l1  l2  l , а m1  m2  m . В этом случае частоты первого и второго главныхколебаний системы будут соответственно равны:I  g l ,II g 2kL2.l ml 2(8)(9)Действительно, в этом случае p11  p22 , p12  p21 . Поэтому из уравнений (4) и(5) можно составить следующие комбинации:gl1  2   1  2   0 , g 2kL2   2   0 .2  1 l ml 1  2   Если рассмотреть эти уравнения относительно новых переменных   1  2 ,  1  2 , то получим  I2  0 ,  II2  0 .Последние уравнения описывают свободные гармонические колебания скруговыми частотами I и II .6Итак, в случае одинаковых маятников частота первого главного колебаниясоответствует синфазным колебаниям маятников, а частота второго главногоколебания - антифазным (противофазным) колебаниям маятников.Синфазные колебания могут быть получены, если пружина, связывающаямаятники, не будет при их движении деформироваться.

Это достигается тем, чтооба маятника в начальный момент времени отклоняют в одну сторону на один итот же угол и им сообщают равные начальные скорости. При последующемколебательном движении пружина остается недеформированной и не влияет наколебательный процесс. Частота этого колебания определяется формулой (8), т.е.совпадает с частотой математического маятника.Противофазные колебания получаем, если в начальный момент временимаятники отклоняют в разные стороны, но на равные углы и им сообщают равныепо величине, но противоположно направленные начальные скорости. В этом случаеупругие силы со стороны пружины активно влияют на колебательный процесс, аследовательно, II  I [см.

формулы (8) и (9)].Если параметры колебательной системы подобраны так, что второеслагаемое под радикалом в формуле (9) будет много меньше первого, т.е.2kL2 ml 2 g, то в этом случае II  I . Тогда при произвольном отклоненииlколебательной системы из положения равновесия (при произвольном возбужденииколебаний) будем наблюдать биения - колебания с периодически изменяющейсяамплитудой (рис.

2)7Рис. 2Наиболее наглядно биения выражены в случае, если в начальный моментвремени один из маятников отклонить, другой в это время придержать вположении равновесия, а затем оба маятника отпустить. В начале колебанияпервого маятника будут близки к свободным, но в дальнейшем под действиемупругой пружины в колебательный процесс все в большей степени вовлекаетсявторой маятник. (рис. 3).Рис. 3Поскольку энергия маятниковой системы остается постоянной, то будетпроисходить последовательная перекачка энергии от одного маятника к другому. Вто время, когда амплитуда одного из маятников будет максимальной, амплитудадругого маятника станет равна нулю.8Время  (рис. 3) определяет период биения. Период биения не зависит отспособа возбуждения колебаний (см. рис. 2,3), поэтому для одной и той жемаятниковой системы остается величиной постоянной:2.II  I (10)Из формул (8), (9) вытекает следующее выражение:II2  I2  2котороеможноиспользовать,k L2,m l2например,(11)дляопределенияпоэкспериментальным результатам коэффициента жесткости пружины k .9Экспериментальная частьНа рис.

4 представлена установка для изучения колебаний связанныхмаятников, каждый из которых состоит из стержня - 1, диска - 2 (масса диска m = 1кг) и держателя - 3, в который вмонтирован датчик угла поворота маятника.Двойная спиральная пружина - 4, жесткость которой равна k  3 Н/м соединяетмаятники упругой связью. Штативы 5 крепятся к столу с помощью зажимов - 6. Вверхней части маятники крепятся к штативам зажимами - 7.8 - основной модуль Cobra 3.9 - блок питания (источник питания) на 12 В.10 - персональный компьютер.10Рис. 411Порядок работы на установках к лабораторной работе "Связанные маятники".На столе расположены два прибора Cobra 3 и источник питания (ИП).1. Подключить установку Cobra 3 к порту компьютера COM 1, COM 2 или черезUSB.2. Включить источник питания, нажав на тумблер, расположенный на заднейпанели прибора.3.