Семинары 3 семестр Часть 1

СЕМИНАРЫ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ОСЕННЕГО СЕМЕСТРАПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ.Ф.И.О. преподавателя: Семендяев Сергей Вячеславович.Общая информация о семинарах по теоретической механикеСдача заданий будет происходить без отметок в зачетной книжке.Сдача заданий – самый активный процесс обучения после посещения семинаров и лекций идомашней работы.Если кто-то не сдает задания, ему можно в изолированных условиях (без книг) предложить наэкзамене решить три задачи. Задачи не из задачника, без ответов.

Задачи (все и без единойошибки) надо защитить перед комиссией из двух человек. Даже если задачи решены, но сдающийне может объяснить решения, то получит двойку.Когда начинается прием второго задания, у заведующего кафедрой на столе должен лежатьсписок студентов, не приступивших к сдаче первого. Ректорат имеет право таких студентовисключить. Сообщаю об этом заранее.Поощрительная мера нормальному студенту (посещающему занятия, хорошо и во времясдающему задания) – не дают трех задач на экзамене.

Отличившиеся на семинарах и при сдачезаданий могут сдать экзамен досрочно. Это решает преподаватель, ведущий семинарские занятия.Несколько слов о лекциях. Ходите на лекции. Лекции дают общие представления о предмете.Несколько слов об учебниках. Список есть в сборнике программ и заданий. Рекомендую взять всеучебники из списка. Также есть методические пособия на кафедре и на сайте teormech.mipt.ru.ЗАМЕЧАНИЯПовторенье – мать ученья (пословица).• Рекомендую при изучении сперва прочитать текст семинара до конца, особоне вникая в подробности формул, а стараясь уловить суть.• При втором прочтении вникайте в подробности.• При третьем старайтесь запомнить в общих чертах (по смыслу) и затемдословно (формулировки, формулы).С.В.

Семендяев. Семинары осеннего семестра1СЕМИНАР №1.КИНЕМАТИКА ТОЧКИ.Способы задания движения материальной точкиДвижение задается радиус-вектором положения r ( t ) , скоростью υ ( t ) =ускорением W ( t ) =drиdtdυ d 2 r= 2 в каждый момент времени.dtdtКоординатный способ предусматривает введение обобщенных координат. Этолюбые три независимые величины, однозначно задающие положение точки впространстве.

Обознаются: q1 ( t ) , q2 ( t ) , q3 ( t ) .Частный случай обобщенных координат – декартовы координаты x, y, z (см. рис. 1).Эта система ортогональных осей неподвижна. С осями x, y, z связываются ортыi , j , k , соответственно.r = xi + yj + zkυ = xi + yj + zkW = xi + yj + zkzkyjixРисунок 1Наряду с обобщенными координатами вводятся координатные линии – линии,которые описывает точка при изменении каждой из координат при фиксированныхдругих. Выделяется произвольный момент времени t0 . Фиксируется q2 , q3 , т.е.С.В. Семендяев.

Семинары осеннего семестра2q1 ( t0 + t ) , q2 ( t0 ) , q3 ( t0 ) . Эта даст координатную линию q1 . Аналогично:q1 ( t0 ) , q2 ( t0 + t ) , q3 ( t0 ) даст координатную линию q2 , и q1 ( t0 ) , q2 ( t0 ) , q3 ( t0 + t ) дасткоординатную линию q3 (см. рис. 2).q3e3e2q2e1q1Рисунок 2Вводятся орты e1 , e2 , e3 (локальный базис) - единичные векторы по касательным ккоординатным линиям q1 ( t ) , q2 ( t ) , q3 ( t ) . Каждому моменту времени, в общем,соответствует своя конфигурация ортов.

Они могут быть неортогональны.Еще одним частным случаем обобщенных координат являются цилиндрическиекоординаты ρ , ϕ , z (см. рис. 3).zzyϕρxРисунок 3На рисунке выделены жирным координатные линии цилиндрических координат.Каким образом можно выразить скорость через обобщенные координаты?С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра3По правилам взятия производной сложной функции:dr ( q1 ( t ) , q2 ( t ) , q3 ( t ) )υ (t ) =dtОрты: ei =1∂r∂qi⋅3=∑i =1∂rqi∂qi∂r∂qi22⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞∂r= ⎜Вводят величины H i =⎟ +⎜⎟ +⎜⎟∂qi⎝ ∂qi ⎠ ⎝ ∂qi ⎠ ⎝ ∂qi ⎠2- коэффициенты Ламе.С их помощью выражение для скорости принимает вид:3υ ( t ) = ∑ H i qi ei .i =1Когда криволинейные координаты имеют наглядную геометрическую картину(декартовые, цилиндрические, полярные, сферические координаты и т.д.) длянахождения коэффициентов Ламе можно использовать формулу:dsi = H i dqi ,где dsi - элемент дуги вдоль соответствующей координатной линии qi .В декартовых координатах, например, все коэффициенты Ламе равны единице, иds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 .Когда координатная линия является прямой, коэффициент Ламе для нее равенединице.В цилиндрических координатах:dsρ = H ρ d ρ = d ρ ⇒ H ρ = 1dsϕ = H ϕ dϕ = ρ dϕ ⇒ H ϕ = ρdsz = H z dz = dz ⇒ H z = 1Оси криволинейных координат не всегда ортогональны, поэтому стараютсяиспользовать ортогональные, для которых:3υ 2 = ∑ H i2 qi2 .i =1В случае цилиндрических координат:С.В.

Семендяев. Семинары осеннего семестра4υ 2 = ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 .В полярных координатах ρ , ϕ ( z = const ) для компонент скоростей вдолькоординатных линий ρ и ϕ вводятся, соответственно, термины:υ ρ = ρ - радиальная скорость,υϕ = ρϕ - трансверсальная скорость.На рис. 4 показаны направления этих скоростей, в случае ρ > 0, ϕ > 0 .υϕυρρϕРисунок 4Каким образом задается ускорение в обобщенных координатах?Вектор скорости задается векторным разложением по ортам координатных линий.Однако вектор ускорения задается ортогональными проекциями (см. рис 5).υWe2e1Рисунок 5Wqi =1Hi⎛ d ⎛ ∂ ⎛υ2 ⎞⎞ ∂ ⎛υ2 ⎞⎞⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ −⎜ ⎟ ⎟⎟∂∂dtq2q⎝⎠⎝ 2 ⎠⎠ii⎝⎠⎝Нужно помнить, что здесь qi и qi рассматриваются как независимые переменные, ане как конкретная траектория.С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра5Продолжим рассмотрение случая цилиндрических координат.Ранее мы нашли: υ 2 = ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 .ТогдаWρ =1Hρ⎛ d ⎛ ∂ ⎛ ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 ⎞ ⎞ ∂ ⎛ ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 ⎞ ⎞2⎜⎜ ⎜ ⎜⎟⎟ −⎜⎟ ⎟⎟ = ρ − ρϕ22⎠ ⎠ ∂ρ ⎝⎠⎠⎝ dt ⎝ ∂ρ ⎝Wϕ =1Hϕ⎛ d ⎛ ∂ ⎛ ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 ⎞ ⎞ ∂ ⎛ ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 ⎞ ⎞ 1 ⎛ d⎞2⎜⎜ ⎜⎜⎟⎟ −⎜⎟ ⎟⎟ = ⎜ ( ρ ϕ ) − 0 ⎟ = ρϕ + 2 ρϕ22⎠⎠ ⎠ ∂ϕ ⎝⎠ ⎠ ρ ⎝ dt⎝ dt ⎝ ∂ϕ ⎝Wz =1Hz⎛ d ⎛ ∂ ⎛ ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 ⎞ ⎞ ∂ ⎛ ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 ⎞ ⎞⎜⎜ ⎜ ⎜⎟⎟ − ⎜⎟ ⎟⎟ = zdtz2z2∂∂⎝⎠⎝⎠⎠⎠⎝ ⎝В полярных координатах ( z = const ⇒ Wz = z = 0 ) компоненты ускорений называются:Wρ = ρ − ρϕ 2 - радиальное ускорение,Wϕ = ρϕ + 2 ρϕ - трансверсальное ускорение.На рис.

6 показаны направления этих ускорений, в случае ρ − ρϕ 2 > 0, ρϕ + 2 ρϕ > 0 .WϕWρρϕРисунок 6Рассмотрим еще один пример ортогональных координат – сферические r , θ , ϕ (см.рис. 7).Пользуясь формулой dsi = H i dqi , находимHr = 1Hθ = rH ϕ = r sin θС.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра6222⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞Если бы мы воспользовались формулой H i = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ для нахождения⎝ ∂qi ⎠ ⎝ ∂qi ⎠ ⎝ ∂qi ⎠коэффициентов Ламе, у нас бы ушло полстраницы.ereϕr sin θθreθϕРисунок 7Далее3υ 2 = ∑ H i2 qi2 = r 2 + r 2θ 2 + r 2ϕ 2 sin 2 θi =1и подставив в выражение для ортогональной проекции ускорения на осикриволинейных координат, получим:(Wr = r − r θ 2 + ϕ 2 sin 2 θ)1⎛ d 2⎞Wθ = ⎜r θ − r 2ϕ 2 sin θ cos θ ⎟r ⎝ dt⎠( )Wϕ =1 ⎛d 2⎞2⎜ ( r ϕ sin θ ) − 0 ⎟r sin θ ⎝ dt⎠Рекомендую Wθ и Wϕ довести до окончательного вида самостоятельно.Рассмотрим задачу С.1.19.В полярных координатах r =p, где угол ϕ отсчитывается от перигея (см.1 + e cos ϕрис.8).Закон площадей r 2ϕ = c = const является ни чем иным, как одним из законовКеплера.С.В.

Семендяев. Семинары осеннего семестра7Wr ( r ) ,W ( r ) = ?ПеригейrФокусϕРисунок 8Как было найдено ранее радиальное ускорение дается формулойWr = r − rϕ 2 .Постараемся уйти от дифференцирования по t , и перейдем к дифференцированиюпо ϕ .⎛1⎞d⎜ ⎟dr drdr cr== −c ⎝ ⎠ϕ=2dt dϕdϕ rdϕЗдесь мы воспользовались законом площадей r 2ϕ = c = const . Далее2d rd ⎛ dr ⎞=⎜ ⎟ϕ2dtdϕ ⎝ dt ⎠⎛1⎞2⎛1⎞d2 ⎜ ⎟2 d ⎜ ⎟cr c⎝r⎠= −c ⎝ 2 ⎠ 2 = − 2dϕ rr dϕ 2Тогда, с учетом того, что1 1 e= + cos ϕ , найдемr p p⎛ 2⎛1⎞⎞d ⎜ ⎟⎜cc2 ⎛ ec2 ⎛ 1 1 1 ⎞c21⎟1⎞rWr = r − rϕ 2 = − 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ + ⎟ = − 2 ⎜ − cos ϕ + ⎟ = − 2 ⎜ − + + ⎟ = − 2 .r ⎜ dϕr⎟r ⎝ pr⎠r ⎝ r p r⎠pr⎜⎟⎝⎠2В центральном поле трансверсальное ускорение должно быть равно нулю.Проверим:Wϕ = rϕ + 2rϕ = 0 ?Действительно, продифференцируем закон площадей:d 2dr ϕ ) = (c)(dtdtС.В. Семендяев.

Семинары осеннего семестра8, и получим:2 rrϕ + r 2 ϕ = 0 , что и требовалось доказать.Теперь перейдем к следующему способу задания движения точки.Естественный способ задания движения материальной точкиДвижение рассматривается вдоль конкретной заданной траектории, а в качествепараметра выступает длина дуги траектории s .Вводится естественный трехгранник Дарбу, состоящий из ортогональных ортовкасательной, нормали и бинормали к данной точке траектории (см.

рис. 9).WττWnbWnРисунок 9Касательный орт направлен по касательной к траектории в данной точке,нормаль к центру кривизны траектории, а бинормаль строится как векторноепроизведение b = [τ × n ] .Скорость задается выражением:υ=dsτ = υτdtУскорение:dυdυυ22 dττ +υ=τ + n = Wττ + Wn n ,W=ρdtds dtС.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра9где ρ - радиус кривизны траектории.Заметим, что ускорение имеет две компоненты, которые для определенностиназывают:Wτ =dυ- тангенциальное ускорение,dtWn =υ2- нормальное ускорение.ρНормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории.Поскольку базис ортогонален,222⎛ dυ ⎞ ⎛ υ ⎞W= ⎜⎟ +⎜ ⎟ .⎝ dt ⎠ ⎝ ρ ⎠На данную тему предлагается рассмотреть задачу М.3.74 (или М.12.27 взависимости от издания).Движение точки задано в полярных координатахr = aekt , ϕ = kt .Найти уравнение траектории, скорость, радиус кривизны.Уравнение траектории: r (ϕ ) = aeϕ - логарифмическая спираль.В полярных координатах:радиальная скорость υr ( t ) = r = akekt ,трансверсальная скорость υϕ ( t ) = rϕ = aekt k .Поэтому υ = υr2 + υϕ2 = 2akekt = kr 2Радиальное ускорение Wr = r − rϕ 2 = ak 2 e kt − ae kt k 2 = 0 .Трансверсальное ускорение Wϕ = rϕ + 2rϕ = 0 + 2akekt k = 2k 2 r .Так как Wr = 0 , то W = Wϕ = 2k 2 r .Радиус кривизны траектории:υ4k 4r 4 4== 2r .ρ=24k 4 r 2 − 2k 4 r 2⎛ dυ ⎞2W −⎜⎟⎝ dt ⎠С.В.

Семендяев. Семинары осеннего семестра10Совпадают ли по направлению нормальное ускорение с радиальным, атангенциальное с трансверсальным? В общем случае, нет. См. рис. 10, где полноеускорение разложено на компоненты в полярных координатах и в естественных.WτWϕWϕWrWnРисунок 10С.В.

Семендяев. Семинары осеннего семестра11СЕМИНАР №2.ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОГОПРОСТРАНСТВА.ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОГОПРОСТРАНСТВА.(ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ)Материальная точка – геометрическая точка, которой поставлено в соответствиеположительное число m - масса.Твердое тело – такая совокупность материальных точек, что расстояние междулюбыми двумя неизменно.Рассмотрим декартову систему координат x, y, z , в которой расположено твердоетело (см.