Применение методов линейной алгебры в дифференциальных уравнениях

1Применение методов линейной алгебры в дифференциальных уравнениях.А. М. Бишаев, В. Н. ДиесперовИзучение свойств и методов решения линейных дифференциальных уравнений занимает достаточно большое место в годовом курсе ‹‹Дифференциальные уравнения››, который читается для студентов 2го курса. Изучение этогораздела существенным образом опирается на сведения, которые получилистуденты в первый год обучения, прослушав курс ‹‹Аналитической геометрии и линейной алгебры›› . К сожалению в настоящее время в упомянутомвыше курсе уделяется либо мало времени, либо совсем не рассматриваютсявопросы, на которых базируется построение методов решения линейных систем с постоянными коэффициентами.

При чтении курса ‹‹Дифференциальные уравнения›› лекторы не имеют времени для углубленного рассмотренияупомянутых выше вопросов, что приводит к формальному, а значит не достаточно глубокому усвоению студентами этого имеющего базовое значениераздела упомянутого выше курса.По мнению авторов, использование в читаемом курсе ‹‹Дифференциальные уравнения›› такого понятия алгебры, как кольцо сделает изложение этого раздела более целостным и приведет к его лучшему усвоению студентами.2Понятие кольца. Говорят, что на множестве M определена бинарная операция, если для каждой упорядоченной пары элементов этого множества однозначно определен третий элемент, который также принадлежит этому множеству ([1]).Кольцом (К) называется множество, в котором определены два действия ‹‹сложение›› и ‹‹умножение››, сопоставляющие упорядоченным парам элементов их ‹‹сумму›› и ‹‹произведение››, являющиеся элементами того жемножества. При этом предполагается, что действия удовлетворяют следующим требованиям:1.

(a + b) + c =a + (b + c) (ассоциативность сложения).2. a + b = b + a (коммутативность сложения).3. Существует нулевой элемент 0 такой, что ∀a a + 0 =a.4. Для каждого a существует противоположный −a такой, что a + (−a) =0 .5. (a + b)c =ac + bc (левая дистрибутивность).5′ . c(a + b) = ca + cb (правая дистрибутивность).Имеются следующие простейшие следствия из 1-4.Предложение 1. Если a + x = a + y , то x = y .( a ) + (a + y ) .

Откуда ((−a ) + a ) + x =((−a ) + a ) + y =Действительно, (−a) + (a + x) =−= 0 + x = x = 0 + y = y . Из предложения 1 следуют единственность нуля и противоположного элемента. В самом деле, 0 = a + (−a) = a + (−a)′ → (−a) = (−a)′ .Предложение 2. a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0 при любом то a .Действительно, a ⋅ 0 + 0 = a ⋅ 0 = a ⋅ (0 + 0) = a ⋅ 0 + a ⋅ 0 , и в силу предложения 1 a ⋅ 0 =0.Аналогично, 0 + 0 ⋅ a = 0 ⋅ a = (0 + 0) ⋅ a = 0 ⋅ a + 0 ⋅ aЧаще всего возникает необходимость рассматривать кольца, в которых умножение удовлетворяет тем или другим дополнительным требованиям.Наиболее употребительными являются:6. (ab)c = a(bc) (ассоциативность умножения).7. ab = ba (коммутативность умножения).8.

Существование единичного элемента 1 (т. е. такого, что a ⋅1 = 1⋅ a = a ∀a ∈ K )9. Существование обратного элемента a −1 ∀a ≠ 0 .В конкретных кольцах эти требования могут выполняться как порознь, таки вместе. Кольцо называется ассоциативным, если выполнено условие 6,коммутативным, если выполнено 7, коммутативным и ассоциативным, есливыполнены условия 6 и 7.

Если выполнено условие 8, то говорят о кольце сединицей, снабжая слово ‹кольцо› прилагательным в зависимости от выполнения условия 6 и 7.Если в кольце есть единица, то она единственна. Действительно, если 1 и 1′- две , то 1⋅1′ = 1′ ⋅1 = 1 = 1′ .Ассоциативное кольцо называется областью целостности, если из равенства a ⋅ b =0 следует, что хотя бы один из сомножителей a или b равен 0.3Полем называется коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, вкотором каждый отличный от нуля элемент a имеет обратный. Ясно, что любое поле есть область целостности.

Действительно, пусть a ⋅ b =0 и a ≠ 0 . То−1−1−1гда a ⋅ (ab) = a ⋅ 0 = 0 = (a ⋅ a) ⋅ b =1⋅ b =b ⇒ b = 0 .Расширение понятия многочлена от одной буквы x .Пусть А есть коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Одночленомот буквы x с коэффициентами из A называется выражение ax m , a ∈ A, m - целое неотрицательное число.

По определению положим ax 0 = a , так что элементы кольца А являются одночленами частного вида. Выражение вида ax mпока рассматривается как некий символ, для которого определяются действие приведение подобных членов - ax m + bx m =(a + b) x m и действие умножения ax m ⋅ bx n =abx m + n .Выражение, состоящее из нескольких одночленов, соединенных знаком+,называется многочленом (полиномом) от x с коэффициентами из А. Порядокследования одночленов безразличен, подобные одночлены можно соединять,а также вставлять и выбрасывать одночлены с нулевыми коэффициентами.Без нарушения общности можно считать многочлен записанным в каноническом виде - Pn ( x) = a0 + a1 x + ...

+ an x n (т. е. в порядке возрастания степеней) или впорядке убывания степеней - Pn ( x=) an x n + an −1 x n −1 + ... + a0 . При этом1. Многочлены Pn ( x) = a0 + a1 x + ... + an x n и Qm ( x) = b0 + b1 x + ... + bm x m считаютсяравными в том и только в том случае, если n = m и они составлены в канонической записи из одинаковых одночленов, т. е.=a0 b=b1 , ...,=an bn0 , a12.

Суммой двух многочленов Pn ( x ) и Qm ( x ) называется многочлен, получающийся посредством объединения одночленов, составляющие слагаемые.После объединения следует привести подобные члены. Таким образом,Pn ( x) + Qm ( x) = (a0 + a1 x + ... + an x n ) + (b0 + b1 x + ... + bm x m ) = a0 + b0 + (a1 + b1 ) x + ... + cs x s , гдеs=max{n, m}, cs =+as bs , as =0 , если s > n и bs = 0 , s > m .

Ясно, что так определенное действие сложения многочленов коммутативно и ассоциативно. Имеется также нулевой элемент - 0 + 0 ⋅ x + ... + 0 ⋅ x n , а также противоположный ( − Pn ( x )) = ( −a0 ) + ( −a1 ) x + ... + ( −an ) x n .3. Произведением двух многочленов называется многочлен, составленныйиз произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго.После приведения подобных членов будем иметьPn ( x) ⋅ Qm ( x)= a0b0 + (a0b1 + a1b0 ) x + ...

+ ( ∑ ak bl ) x j + ... + anbm x n + m .j= k + lТак определенное действие умножения будет коммутативным и ассоциативным. Действительно,Qm ( x) ⋅ Pn ( x)= b0 a0 + (b1a0 + b0 a1 ) x + ... + ( ∑ bk al ) x j + ... + bm an x m + n . В сумме ∑ bk al замеj= k + lним индексы k ⇔ l . Получим ∑=bk al ∑=bl akj=k +lPn ( x) ⋅ Qm ( x) = Qm ( x) ⋅ Pn ( x) .Пустьj=k +l∑ abj= k + l, откуда в силу 1, имеемl kj=k +lRs ( x ) = c0 + c1 x + ... + cs x s .Тогда4( Pn ( x) ⋅ Qm ( x)) ⋅ Rs ( x=) (a0b0 )c0 ) + (=γ 1, ..., n + m + s − 1.l′= l + σ .ИмеемТогда∑γ = k + l +σ( ∑ a b )cσ ) xγ + (a b∑γσ=j+j=k +lk ln m)cs x n + m + s ,где=a b )cσ ) =∑ (∑∑ σ a b cσ γ ∑ σ a (b cσ ) .γγ = j +σj = k +lak (bl cσ ) =k l∑γ = k +l ′= k +l +ak (k l∑ b cσ ) .l ′ = l +σl= k +l +kПоложимlУчитывая1,имеем( Pn ( x) ⋅ Qm ( x)) ⋅ Rs ( x) = Pn ( x) ⋅ (Qm ( x)) ⋅ Rs ( x)) . Так как очевидно, что имеет место ди-стрибутивность введенного выше умножения по отношению к сложению, тотак построенное множество многочленов от буквы x с коэффициентами изкольца А есть коммутативное и ассоциативное кольцо.

Оно называетсякольцом многочленов от буквы x над кольцом А и обозначается - A( x ) . Рольединицы в этом кольце играет единица кольца А.Если обратить внимание только на действия над коэффициентами многочленов, которые должны выполняться при действиях над самими многочленами, то можно описать эти действия, исходя из расположения многочленовпо возрастающим степеням. Вместо многочленов рассмотрим бесконечныепоследовательности элементов кольца А - (a0 , a1 ,...., an ,...) , все элементы которых, начиная с некоторых, равны нулю. Определим равенство и основныедействия над этими последовательностями.(a0 , a1 ,...., an ,...) = (b0 , b1 ,...., bn ,...) тогдаI.итолькотогда,когда=ai b=0,1,..., n,... .i, i(a0 , a1 ,...., an ,...) + (b0 , b1 ,...., bm ,...) =(a0 + b0 , a1 + b1 ,...., as + bs ,...) .

Ясно, что такII.определенная последовательность будет принадлежать классу рассматриваемых выше последовательностей, ибо все члены этой последовательности с номерами большими , чем s = max{n, m} будутравны нулю.(a0b0 , a0b1 + a1b0 ,..., ∑ ak bl ,..., anbm , 0, 0,...) ,III. (a0 , a1 ,...., an ,...) ⋅ (b0 , b1 ,...., bm ,...) =j= k + l=j 1, ..., n + m − 1 .IV.Из II и III следует коммутативность и ассоциативностьсложения и умножения и дистрибутивность умножения со сложением.Отождествим ∀a ∈ A с последовательностью ( a, 0, .....0, ...) .

Такое отождествление не противоречит I-III. Действительно, ( a, 0, .....0, ...) ++(b, 0, .....0, ...) =(a +b, 0, ..., 0, ...) =a + b . ( a , 0, .....0, ...) ⋅ (b, 0, .....0, ...) =( ab, ..., 0, ...) =ab и( a , 0, .....0, ...) ⋅ (b1 , b2 , ..., bn ...) =( ab1 , ab2 , ..., abn , ...) .буквойТогдаОбозначим последовательность(0,1, ..., 0, ...)x.2(a0 , a1 ,...., an ,...) =и.т.д.Поэтомуx = (0, 0,1, ..., 0, ...)(a0 , 0,...., 0,...) + (0, a1 , 0,...., 0,...) + ...

+ (0, 0,...., an , 0,...) = a0 + a1 x + ... + an x n .Таким образом, описан способ построения кольца многочленов.Ясно. что известный из анализа многочлен Pn ( x ) есть многочлен над полем действительных или комплексных чисел. Следует отметить, что относительно буквы x требуется только те свойства одночлена ax m , которыебыли приведены выше.5При построении кольца многочленов вместоxположим p =d- операdxтор дифференцирования, который действует на множестве бесконечнодифференцируемых комлекснозначных функций действительного переменного f ( x ) , т.