МНеКо интерполяция ур-е переноса
Описание файла
PDF-файл из архива "МНеКо интерполяция ур-е переноса", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вычислительная математика" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Методом интерполяции на нижнем слое или методом неопределенных коэффициентов построить схемунаивысшего порядка аппроксимации для однородного линейного уравнения переносаu t cu x 0 c 0 на предложенном шаблоне.метод интерполяции на нижнем слоеУравнение характеристикdt dx, т.е.
x ct const .1 cПервый интеграл u1 x, t x ct .Общее решение u x, t F x ct постоянно вдоль характеристики x ct const .Выпустим из точки x m , t n 1 характеристику до пересечения с нижним временным слоем, т.е до точкиx , t : xn*m c t n 1 x* c t n , откуда x* x m c .Заметим, что x* x m 1 x* x m h c h и x* x m 2 c 2h . u mn1 u x m , t n 1 u x* , t n u*nПостроим интерполяционный полином для определения u*n на нижнем временном слое в форме Ньютона(шаг h постоянный):u n x xu mn 1x m 1u n xi , x i 1 u in1 u inxi 1 xiu n xi , xi 1 , xi 2 u n xi , xi 1 , x i 2 , xi 3 u mn u mn 1hu mnu mn 1 2u mn u mn 1h 2hxmu mn 1 u mnhu mn 1u mn 2 3u mn 1 3u mn u mn 1h 2h 3hu mn 2 2u mn 1 u mnh 2hx m 1u mn 2 u mn 1hu mn 2xm2Запишем, например, второй интерполяционный полином Ньютона (для интерполяции назад):u mn 2 u mn 1u mn 2 2u mn 1 u mnu x ux xm2 x xm 2 x xm1 h2h 2u n 3u mn 1 3u mn u mn 1 m2x xm 2 x xm1 x xm .6h 3nnm 2n*Т.о.
u unm2u mn 2u mn 2 u mn 1u mn 2 2u mn 1 u mnc 2h c 2hc h +h2h 2 3u mn 1 3u mn u mn 1c 2h c hc .6h 3Вводя для удобства число Куранта K u mn1 u mn 2 u mn 2 u mn 1 K 2 c, получаемhu mn 2 2u mn 1 u mnK 2 3K 2 2u mn 2 3u mn 1 3u mn u mn 1 3K 3K 2 2 K6метод неопределенных коэффициентовЗапишем теперь для однородного линейного уравнения переноса на указанном пятиточечном шаблонеразностноеуравнениеснеопределеннымикоэффициентами:a1u mn 1 a 2 u mn 1 a3u mn a 4 u mn 1 a5 u mn 2 0 .Воспользуемся разложением проекции точного решения на сетку по формуле Тейлора:nu mn1 u mn u t m unmkunm2utt nm O 3 ,2234kh kh kh nn khu u xx m u xxx m u xxxx nm Oh 5 :nx m23!4!2nna1 u mn u t m u tt m O 3 2h 2 u n h 3 u n O h 4 n a 2 u mn hu x m xx mxxx m26n a3 u m h 2 u n h 3 u n O h 4 n a 4 u mn hu x m xx mxxx m262h 2 u n 2h 3 u n O h 4 u n u n .n a5 u mn 2hu x m xx mxxx mt mx m26 Составляем систему из 5 уравнений для 5 неизвестных:1a1 a 2 a 3 a 4 a5 0,a 2 a 3 a 4 a 5 ,a 1, 11a1 , ha 2 ha 4 2ha 5 c, 22или hh22h ca4 a5 0, a2 a 2 a 4 2a 5 ,22h2 333aa4a0,hh2h a a 45 2a5 0 6 2 6 4 a a 8a 0.6 245 3nnnnПри этом u t m O cu x m O h 3 u t m cu x m , т.е.
порядок аппроксимации будет O , h .Целесообразно последние три уравнения системы рассмотреть отдельно: 1 1 2 a 2 c / h 1 1 4 a 4 0 . 1 1 8 a 0 5 1 1 2 c / h1 1 4 0 1 1 8 0 (1)1 1 2 c / h( 3) (1)6 0 0 10 06 c / h ( 2 ) ( 3) / 2 1 0 0 2c / 6h 0 1 0 6c / 6h , т.о. 0 0 1 c / 6h и a3 (1) ( 2 )( 2 ) ( 3)( 3) / 61 0 4 c / h 0 1 0 c / h 0 0 1 c / 6h (1) 4 ( 3)( 2))(3 a2 2 c a4 6 , a 6h 1 5 11 3c a 2 a 4 a5 . 6hПодставляя найденные значения, получаем:1 n1 2c n6cc 1 3c u m u m 1 u mn u mn 1 u mn 2 06h6h6h 6h илиu mn1 u mn 2u mn 1 3u mn 6u mn 1 u mn 2c0.6h.