vmetf

ВМЭТФФедотова МарияМуталова Ренатана основе лекций и при поддержкеКараваевой Наталиипредставляют25 мая 2017 г.11.Когда целесообразно применять в гидродинамике метод частиц в ячейке.Метод частиц в ячейке целесообразно применять, когда для задачи не подходят конечно-разностныеметоды, а именно, когда необходимо отслеживать границу двух сред.Это необходимо в задачах, в которых одно вещество контактирует с другим, например в задаче опадении метеорита в океан.2.Перечислить отличия метода частиц в ячейке Харлоу от метода «Крест».Метод "Крест"относится к конечно-разностным схемам, а метод частиц в ячейке относится к методам частиц.В первой схеме рассчетная область делится на ячейки и величины задаются в центрах и на границахячеек, а во втором методе величины приписаны к специально введенным частицам и далее согласуются таким образом, чтобы в ячейке они совпадали и их можно было бы к ней относить.В методе "Крест"не выделяется этапов, а в методе частиц в ячейке Харлоу есть 3 этапа, первые дваиз них имеют четкую физическую интерпретацию, а третий - их объединение.3.Перечислить отличия метода частиц в ячейке Харлоу от метода Годунова.Метод Годунова в отличие от метода частиц в ячейке Харлоу, относится к конечно-разностным схемам.

В методе же частиц в ячейке Харлоу вводятся частицы.В методе Годунова вводятся эйлеровы координаты (по иксам), величины приписаны к центрам ячеек, где их и ищут. На границах же решается задача о распаде разрыва. Таким образом, величинывнутри ячеек вычисляются через потоки на границах. Потоки считаются по схемам, которые отличаются от схем, по которым считаются величины внутри ячеек.В методе частиц в ячейке Харлоу величины приписаны к специально введенным частицам и далеесогласуются таким образом, чтобы в ячейке они совпадали и их можно было бы к ней относить (счетпроизводится в 3 этапа).4.Какие законы сохранения выполняются в методе частиц в ячейке Харлоу.На первом этапе метод частиц в ячейке Харлоу полностью консервативен.В сумме же 3 этапов выполняются законы сохранения импульса и полной энергии.25.Конечно-разностные уравнения 3-х этапов метода частиц в ячейке Харлоу.1-ый этап: частицы стоят (мы записываем уравнения гидродинамики в конечно-разностной формебез конвективных членов))︁ (˜ ) − ( )1 (︁ ++ 1 , − − 1 , = 022∆∆∆)︁ ) − ( ) (˜1 (︁ + 1 − ,− 1 = 02∆∆∆ ,+ 2(︃)︃(︃)︃˜ − 111 − (ˆ1(ˆ)−(ˆ)(ˆ))1+,−,,+,−2222+ +=0∆∆∆∆2-ой этап: линейный перенос (перенос массы, импульса и энергии осуществляется частицами)+1 = + ˜ +1 = + ˜ ∈ ().

Импульс, который переносит каждая частица:( · ˜ ) → ( + , + )( · ˜ ) → ( + , + )( + , + ) - ячейка, в которой после переноса окажется частица. ∈ {0, ± 1}.Можно вместо ˜ брать . Возможны различные варианты3-ий этап: окончательный. Объединение первых двух этапов.(Вычисление удельных характеристикжидкости в каждой ячейке)∆∆ = . = ΔΔ( )+1=( )+1+1; ( ) =∑︁ (˜ )+,+ , ∈ () , = 0, ± 1 ;( )+1=( )+1+1→ +1=∑︁3( )+1( )+1=( )+1+16.Определение давления в смешанных ячейках в методе частиц в ячейке Харлоу.Исходя из того, что давление непрерывно на разделе сред, то должно быть едино для всех компонент в ячейке.

= .(︂)︂; = - объемная доля частиц сорта Таким образом, задача сводится к решению следующей системы уравнений:⎧⎨ = ∑︁ = 1, = 1,...,0⎩Система легко решается, когда уравнения состояния каждого из веществ в ячейке можно представить в виде: = ( ) . Плотность знаем. Получаем: = . Тогда = ∑︀∑︀Подставляем значение во второе уравнение системы: = 1 = 1. Получаем явное∑︀1выражение для давления в смешанной ячейке: = .

(Напоминает формулу про суммупарциальных давлений.)Возможны и другие подходы к рассчету давлений в смешанных ячейках. Если в ячейке содержитсятри или более веществ, то целесообразно давление в ней определять как среднее значение давленияв соседних ячейках, где количество веществ меньше трех. Если в ячейке нет ни одной частицы, тодавление в ней полагается равным нулю (или какому-либо фоновому давлению).7.Определение распределения внутренней энергии по компонентам среды в ячейке вметоде частиц в ячейке Харлоу. ∈ ())︁(︁˜ = ˜ - переносимая частицей энергия.(Полная внутренняя энергия в ячейке ) ˜ ˜ .˜ к ˜ :Несмежная ячейка: Если ячейка занята только одним веществом, то обратный переход от 1 ˜˜ = Случай смежной сложнее:Если ячейка содержит несколько веществ, то суммарная удельная внутренняя энергия в ней определяется согласно соотношению, однако, в этом случае необходимо выбратьправило для распределения энергии между компонентами.Вариант 1: Предполагается, что все вещества в ячейке получают одно и то же приращение удельной энергии.

в этом случае приращение энергии ∆˜ = ˜ − для вещества сорта l определеляется˜наиболее просто: ∆˜ = ∑︀Δ , где суммирование вещется по всем веществам, попавшим в ячейку.˜ или −∆).˜(частицы каждого сорта изменили свою энергию одинаково: +∆˜˜ . ∆ = Δ .˜ = 1 ˜ = + ∆Вариант 2: Считается, что в смешанной ячейке все вещества имеют одинаковую температуру. Удельная внутренняя энергия вещества сорта l может быть выражена через температуру = , где ˜- удельная теплоемкость. Тогда: ∆˜ = ∑︀ ∆˜ = ∑︀ = ∑︀ = (∑︀ ).‖˜ ˜; = ∑︀ = ∑︀ ∑︀ ˜ ˜ - переносимая энергия для аналогично48.Критерий на шаг по времени и недостатки метода частиц в ячейке Харлоу.Какой нужен шаг по времени? (Шаг по пространству выбираем произвольно).ℎ = min(∆,∆) - шаг по пространству.

|| = min({ }). || ≤ . - адиабатическая скорость звука.≤ℎ||+ 22Обратим внимание, что скорость стоит скорость в числителе. Тогда при малых скоростях нуженбесконечно малый шаг. В тех областях, где поток тормозится, возникнут паразитные колебания(не растут бесконечно). Метод частиц наиболее эффективен для моделирования высокоскоростныхтечений || > . Тогда критерий Куранта приобретает стандартный смысл≤ℎ|| + Один из ключевых недостатков метода - его немонотонность.

Монотонность можно улучшить, есливвести в схему искусственную вязкость.Принципиальным недостатком является отсутствие полной консервативности на втором этапе, и какследствие, в методе в целом.Так как в методе частиц используется эйлерова сетка, этот метод плохо подходит для моделированиязадач с большими сжатиями вещества, когда пространственные масштабы становятся очень малы,что требует применения слишком малых ячеек.Так же к недостаткам можно отнести и то, что метод для своей реализации тербует слишком большой памяти и затрат машинного времени.9.Структура метода частиц в ячейке Харлоу.Этот метод используется для расчета динамики многокомпотентных сред.

Каждая среда задаетсячастицами своего сорта. Метод частиц в ячейке Харлоу состоит из 3 этапов.1-ый этап: частицы стоят (мы записываем уравнения гидродинамики в конечно-разностной формебез конвективных членов)2-ой этап: линейный перенос (перенос массы, импульса и энергии осуществляется частицами)3-ий этап: окончательный. Объединение первых двух этапов.(Вычисление удельных характеристикжидкости в каждой ячейке)510.Метод сглаженных частиц.

Постановка задачи.Метод сглаженных частиц (SPH-метод) является дальнейшим развитием методов частиц в гидродинамике и отличается от предшествующих ему алгоритмов отсутствием привязки к эйлеровой сетке.Таким образом точность рассчетов не зависит от пространственной сетки, и метод можно отнести кчисто лагранжевым.Пусть среда, динамику которой мы хотим смоделировать, в начальный момент времени разбитана некоторые физически малые объемы. Определим каждый из объемов координатами его центрамасс.

Таким образом´вся среда стала представленной совокупностью макрочастиц. Массу этих частицопределим как = . Центрам масс частиц припишем - плотности, - внутренние энергии, давления и - скорости среды, задаваемые в начальный момент времени в соответствующих точкахпространства. Происходит переход к дискретным аналогам непрерывных функций. Далее процессрассматривается на дискретных временных шагах. Центры масс при этом перемещаются в пространстве, подчиняясь соответствующему уравнению движения. Вместе с ними переносятся определенныев этих центрах газодинамические параметры системы.

Чтобы получить значения параметров в какихлибо точках пространства, на новом временном шаге эти параметры интерполируются в соответствующие точки с заданной весовой функцией.Ключевой момент метода: "размазка"значений газодинамических параметров, приписываемых центрам частиц, по окружающему эти центры простнранству. Это можно интерпретировать как описание среды макорчастицами с размытыми(сглаженными) по пространству характеристиками безявного выделения границ этих частиц.Метод хорошо, например для модеоирования течения мощной струи через решетку, когда присутствует значительная турбулентность.11.Отличие метода сглаженных частиц от конечно-разностного лагранжевого методав задачах гидродинамики.Метод сглаженных частиц, в отличие от лагранжевого метода, не относится к конечно-разностым.Метод отличается отсутсвием привязки к эйлеровой сетке.

В SPH методе отсутствуют как таковыепространственные ячейки. В нем вводятся сглаженные частицы. Если в лагранжевом методе, где мыработаем в лагранжевой сетке по массам, есть граница частиц, их форма, то в SPH методе у частицграниц нет и величины заданы в их центрах масс. Именно присутствие/отсутствие границ определяет возможность использования метода в 2D и 3D случаях. Метод сглаженных частиц хорош дляних, а конечно-разностный лагранжев - нет.

Всегда возникают ситуации, что масса эволюционируеточень сложно (а в методе Лагранжа мы следим именно на элементом массы). За несколько шаговячейка может сильно деформироваться, начать перехлестываться, поэтому метод не применим длясложных многомерных задач.Описание среды в методе частиц удачно отличается от лагранжевого описания с помощью выделения коненчых объемов тем, что в новом подходе отсутствуют как таковые пространственные ячейки,макрочастицы не имеют гарничных поверхностей, а также проблем скольжуния граней ячеек друготносительно друга и возможного ложного нарушения сплошности среды.12.Отличие метода сглаженных частиц от метода частиц в ячейке Харлоу.Отсутствуют ячейки как таковые, нет эйлеровой сетки, в отличие от метода частиц в ячейке Харлоу.Отсутствует разеделние на разные этапы, в отличие от метода Харлоу, где есть три этапа (1.покоящиеся частицы, 2.линейный перенос, 3.объединение)Ключевым отличием является так же то, что в SPH методе в отличие от Харлоу частицы "размазаны"по пространству, у них нет формы и границ, а параметры приписаны к их центрам масс.613.Интерполяция искомых величин в заданную точку расчётной области в методесглаженных частиц, требования на весовую функцию.Берем рассчетную область, разбиваем ее на отдельные ячейки, выбираем центр масс ячеек.