Пересчёт систем координат (Домашнее задание "Расчёт координат НКА, азимута и угла места" (2019))

Пространственные координаты Лекция 6Б.Б. Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТПРОТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫПространственные прямоугольные координаты. Рассмотрим пространственные прямоугольные координаты, имеющие большое значение в связи с широким использованиемспутниковых данных. Начало координат - в центре земного эллипсоида, ось X — в плоскости начального меридиана долготы L0, ось Z направлена по оси вращения эллипсоида, при этом оси X и Y лежат в плоскости экватора (рис. 6.1).

Если центр эллипсоида совмещен с центром масс Земли, а начальным меридианом является меридиан Гринвича (L0= 0), то имеет место гринвичскаягеоцентрическая система координат. Если же центр эллипсоида смещен с центра масс Земли, то получим квазигеоцентрическую систему координат.Рис. 6.1. Пространственныепрямоугольные координатыГеоцентрические прямоугольные координаты.

Изрис. 6.1 следует: X   r cos L    Y  =  r sin L  . Z   r tg Φ   Эти уравнения используем в качестве исходных для получения последующих формул.Выразив радиус параллели r через радиус-вектор ρ и геоцентрическую широту Φr = ρ cos Φ ,для координат X, Y, Z получим: X   ρ cos Φ cos L    Y  =  ρ cos Φ sin L  . Z   ρ sin Φ  (6.1)Пусть некоторая точка Q расположена на поверхности эллипсоида.

Определим ее прямоугольные пространственные координаты в функции геодезической широты B и геодезической долготы L. Учитывая формулы для радиуса параллели и для взаимосвязи геоцентрической и геодезической широт для точек на эллипсоиде()r = N cos B , tg Φ = 1 − e 2 tg B ,получим: X o   N cos B cos L    Yo  =  N cos Bsin L  .Z  2 o   N (1 − e ) sin B (6.2)Эти формулы верны только для точек на эллипсоиде. Рассмотрим случай, когда некотораяточка QH приподнята над земным эллипсоидом на геодезическую высоту H.Геодезическая высота H отсчитывается по нормали от точки Q на эллипсоиде. Нормальобразует с плоскостью экватора угол, равный геодезической широте B. Поэтому для приращений координат точки QH над точкой Q (рис.6.1) имеем:86Пространственные координаты Лекция 6Б.Б.

Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТ X − X o   H cos Bcos L   Y − Y o  =  H cos Bsin L  . Z − Z   H sin Bo (6.3)Суммируя координаты (6.2) и (6.3), получаем формулы прямоугольных координат для точек, расположенных на любых высотах H над эллипсоидом: X   ( N + H ) cos B сosL    Y  =  ( N + H ) cos B sin L  .Z  2   ( N (1 − e ) + H ) sin B (6.4)Производные от X, Y, Z по B, L и H. Их используют в разных целях, в частности, дляоценки точности определений прямоугольных координат.∂X / ∂B = −(M + H )sin B cos L; ∂X / ∂L = −( N + H ) cos B sin L; ∂X / ∂H = cos B cos L;∂Y / ∂B = −(M + H )sin B sin L; ∂Y / ∂L = ( N + H ) cos B cos L; ∂Y / ∂H = cos B sin L;∂Z / ∂B = (M + H ) cos B;∂Z / ∂L = 0;∂Z / ∂H = sin B.Для взаимосвязи дисперсий ошибок σ в X, Y, Z и B, L, H имеем (ρ″= 206265″): σ 2X   ((M + H )sin B cos L )2 2 2 σY  =  ((M + H )sin B sin L ) σ 2   ((M + H )cos B )2 Z ПринявH = 10σX = σY =σZ ≈ 0,003 мкм,((N + H )cos B sin L )2 (cos B cos L )2  (σ B ρ" )2 ((N + H )cos B cos L )2 (cos B sin L )2  (σ L ρ" )2  .(sin B )2  σ H 2 0B = L = 45°,σB= σL= 0,0001″,σH=0,003м,получимВычисление геоцентрической широты и радиус-вектора.

Из формул (6.1) следует:sin Φ =tg Φ =ZX 2 +Y2 + Z2ZX2 +Y2,.(6.5 а)(6.5 б)Если точка расположена над полюсом (X = Y = 0), то Ф приписывается широта полюса.Для радиус-вектора имеем:ρ = X 2 +Y2 + Z2 .(6.6)Вычисление геодезической долготы по прямоугольным координатам. Из формул (6.1)или (6.4) следует:Ysin L =,(6.7 а)X2 +Y2tg L =Y.X(6.7 б)87Б.Б.

Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТПространственные координаты Лекция 6Если точка лежит в плоскости меридиана, перпендикулярной плоскости начального меридиана (X = 0), то долгота L принимается равной 0° при Y = 0, 90о, когда Y > 0, и 270o приY < 0. Если Y = 0, то L = 0 при X ≥ 0, и L = π при X < 0.В публикации [10] даётся следующий алгоритм:Y+ π(1 − sign Y ), если Y ≠ 0 ;X +R0 при X ≥ 0 и Y = 0L=;π при X < 0 и Y = 0L = 2 arctgR=X 2 +Y2 .(6.8)Вычисление геодезической широты и высоты.

Выводом формул для вычислений геодезических широт и высот занимались многие учёные. Их работы опубликованы.Предложенные способы можно разделить на две группы:• итеративные, выполняемые последовательными приближениями,• неитеративные, вычисляемые по конечным формулам.В данной лекции представлены основные, разработанные разными авторами, способы решений упомянуты в заголовке задач. Практически они все обеспечивают высокую точностьопределений геодезических координат.1. Итеративный алгоритм вычисления геодезической широты и высоты по отрезку(N+H) нормали к эллипсоиду.

Имея в виду формулы (6.4), введём обозначении:S = sinB . N = a1 − e2 S 2 , P = e2 N S ,X 2 + Y 2 + ( Z + P)2 = (N + H ) .Q=Построим следующую последовательность вычислений:S1 , N1 , P1 , Q1 ,S2 = ( Z + P1 ) / Q1 ,∆ = S 2 − S1 ≤ ε .(6.9)Итерации продолжаются до тех пор, пока абсолютная разность результатов двух последовательных приближений S2 и S1 не станет удовлетворять условию ∆ ≤ ε. Допуск ε определяется погрешностью вычисления геодезической широты. Например, ε = 0,5⋅10-9 (допускаетсяошибка в 0,5 единиц в девятом после запятой знаке синуса) соответствует погрешности0,0001″ в широте или около 3 мм в линейной мере. В начальном приближении принимаетсяS1 = 0. При этом после первого приближения будет вычислена геоцентрическая широта Ф(6.5а).

Поэтому данное действие следует рассматривать не как приближение, а как подготовку к итерациям. Удобно, что такая подготовка органически включена в общую схему приближений. Фактически первое приближение лишь начинается после определения геоцентрической широты. Далее, приняв S1 = S 2 , приступают к следующему приближению. По завершении итераций вычисляются геодезическая широта и высота:()B = arctg S 2 / 1 − S 22 , если ( X 2 + Y 2 ) ≠ 0,B=π Z2 Zпри ( X 2 + Y 2 ) = 0 ,,H = Q2 − N 2 .88Пространственные координаты Лекция 6Б.Б. Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТСпособ отличается простотой теоретических построений, понятностью алгоритма и высокой точностью получаемых результатов.

Он приведён в работе [15] и использован в практикуме [14]. Число приближений зависит от требуемой точности вычислений широты B, и эточисло несколько увеличивается с приближением определяемых точек к экватору (табл. 6.1).В ходе вычислений не возникает необходимости в каждой итерации находить arcsinB илиarctgB. Благодаря этому несколько ускоряется весь процесс приближений.Таблица 6.1Число приближений в способевычисления широт и высот по отрезку (N+H)ТочностьвычисленийsinBЧисло приближений приразных широтах90°89°45°5°10-6123310-91244-121356102. Итеративный алгоритм вычисления геодезической широты и высоты на основегеометрических представлений.

Суть способа можно выяснить на основе геометрическихпредставлений по рис. 6.2. На рис. 6.2а более наглядно представлено изображение в плоскости меридиана долготы L. Заметим, что нормаль к эллипсоиду, проходящая через точки Q и K и радиусвектор ρ = OK, лежат в одной и той же плоскости.Поэтому треугольник nOK является плоским треугольником. Тогда из теоремы синусов следует:sin (B − Φ ) sin (90 − B )=.ρnOОтрезок nO определяет расстояние между центром O эллипсоида вращения и точкой n пересечения нормали с полярной осью эллипсоида.

Этот отрезок равен [9, с.44]Рис. 6.2. К построению итеративногоалгоритма вычислений геодезической широты и высотыnO = e 2 N sin B .Имеем:e 2 N sin Bsin (B − Φ ) =cos BρРадиус-вектор ρ определяется формулой (6.6). Выделим постоянные для точки K величины:e2aZZ; R = X 2 + Y 2 ; Φ = arcsin = arctg .2ρρRВеличина Ф – геоцентрическая широта (6.5а). Учитывая формулу для N радиуса кривизныпервого вертикала, получаем:p=89Б.Б. Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТB = Φ + S , S = arcsinПространственные координаты Лекция 6p sin 2 B1 − e 2 sin B.Эти выражения служат основой для построения итеративного алгоритма. Вначале принимается S1 = 0.

Вычисляются B и S2. Затем выполняется проверка∆ = S 2 − S1 ≤ ε .Если это условие не выполняется, то принимаетсяS1 = S 2 .Вычисления повторяются. Итерации продолжаются до выполнения указанного неравенства. После этого находят H:H = R cos B + Z sin B − a 1 − e 2 sin 2 B .(6.10)Формулу (6.10) легко вывести:R cos B + Z sin B = ( N + H )cos 2 B + ( N + H )sin 2 B − e 2 N sin 2 B =()N + H − e 2 N sin 2 B = H + N 1 − e 2 sin 2 B = H + a 1 − e 2 sin 2 B .Отсюда следует формула (6.10). Погрешность ∆H в высоте H в зависимости от ошибок ∆B в широте определяетсяуравнением [10]:Рис. 6.2а. Треугольник KnO1∆H = − (a + H )∆B 2 .2Если предположить, что половина суммы радиуса Земли с высотой составляет около10 000 км или 1010 мм, ошибка в широте 2″, в радианах это около 10-5, а в квадрате 10-10, топогрешность в высоте составит 1 мм.Такой алгоритм рекомендован в [5].3.