1598082690-7d5dc91b017235df0227872d44deef97 (Лабораторная работа №10a, описание (2013))

НИУ «МЭИ»Измерение моментаинерции тел методомвращательных колебанийЛабораторная работаО.И.Лубенченко1Оглавление1.ВВЕДЕНИЕ...........................................................................................................................................................2КРУТИЛЬНЫЙМАЯТНИК.....................................................................................................................22.ОПИСАНИЕУСТАНОВКИИМЕТОДАИЗМЕРЕНИЙ.....................................................................3ИЗМЕРЕНИЕЖЁСТКОСТИПРУЖИНЫ...............................................................................................4ИЗМЕРЕНИЕМОМЕНТАИНЕРЦИИКОЛЕБАТЕЛЬНОЙСИСТЕМЫ....................................6ТЕОРЕТИЧЕСКИЙРАСЧЁТМОМЕНТАИНЕРЦИИ........................................................................73.ПОРЯДОКВЫПОЛНЕНИЯРАБОТЫ......................................................................................................74.ДАННЫЕУСТАНОВКИ..................................................................................................................................95.ОБРАБОТКАРЕЗУЛЬТАТОВИЗМЕРЕНИЙ........................................................................................9ИЗМЕРЕНИЕЖЁСТКОСТИСИСТЕМЫПРУЖИН......................................................................9РАСЧЁТМОМЕНТАИНЕРЦИИКОЛЕБАТЕЛЬНОЙСИСТЕМЫ..........................................9КОНТРОЛЬНЫЕВОПРОСЫ..........................................................................................................................122Цель работы: измерение и проверка теоретического расчёта момента инерциисвободногостоласзакреплённыминанёмгрузамиметодомвращательныхколебаний;экспериментальнаяпроверкатеоремыГюйгенса-Штейнера1.

ВведениеМоментинерциитвёрдоготелаотносительнооси–мераинертностителавовращательномдвижении;mI = ò r 2dm ,0здесьr–расстояниемалогоэлементамассойdmотоси,m–массатела.Моментинерции–величинааддитивная:I = å Ii ,(1)где Ii–моментыинерциителпростойформы,изкоторыхсостоиттелосложнойформы.Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции I тела относительно некоторойоси равен сумме момента инерции IC этого тела относительно оси, проходящейчерез центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела наквадратрасстоянияdмеждуосями:I = IC + md 2 .(2)Основноеуравнениединамикивращательногодвижения:r uurIε = M ,ruurздесь ε –угловоеускорение, M –главныйвектормоментавнешнихсил.Впроекциинаосьвращенияzd 2φ= Mz ( φ ) .dt 2Вэтомуравненииискомаяфункцияφ(t)–угловоеперемещениетела.I(3)Крутильный маятникКрутильный маятник – твёрдое тело, способное вращаться вокруг неподвижнойосиподвоздействиемдругоготела(нитиит.п.),притомчтомоментсил,описывающий действие этого тела на маятник, направлен против углового перемещениямаятника.Если модуль момента внешних сил пропорционален угловому перемещению маятника:Mz = -Kφ ,(4)где K – вращательный коэффициент жёсткости маятника, то уравнение (3)будетиметьвидгдеd 2φ+ ω2φ = 0 ,2dt(5)3ω=K.I(6)Уравнение(5)–дифференциальноеуравнениесвободныхгармоническихколебаний.Егорешениеφ ( t ) = φ0 cos ( ωt + α ) ,гдеφ0иα–константы,определяемыеначальнымиусловиями.Величина ω, определяемая по формуле (6) – циклическая частота гармоническихвращательных(крутильных)колебаний.ПериодэтихколебанийT=2πI= 2π.ωK(7)Таким образом, момент инерции тела пропорционален квадрату периода гармоническихвращательныхколебаний.2.

Описание установки и метода измеренийЭкспериментальная установка изображена на РИС.1. Она состоитиз двух частей:колебательной системы 1и устройства 2 для измеренияжёсткости пружин. Индикаторнымприборомявляетсяоптический датчик,подсоединённый ккомпьютеру3.213Рис.1Колебательная система изображена на РИС.2. Она состоит из закреплённого навертикальной оси шкива 1, ремень 2 которого связан с упругими пружинами 3,зацепленными за штыри стойки.

К шкиву жёстко прикреплён металлическийпрофиль4срядомотверстий5,вкоторыхфиксируются грузы6.Вращательныеколебаниярегистрируютсяоптическимдатчиком7вформеимпульсовприпере-4крытии оптической оси датчика язычком 8, жёстко скреплённым со шкивом колебательнойсистемы.Рис.2Экспериментсостоитиздвухчастей:измерениежёсткостипружиныиизмерениепериодакрутильныхколебанийсистемы,состоящейизшкива1,профиля4игрузов6.Измерение жёсткости пружиныДляопределениявращательногокоэффициентажёсткости,входящеговформулу(4),необходимоизмеритьжёсткостьпружин.Пусть напружинеподвешен груз массой m0.ЗапишемIIзаконНьютонадляэтихгрузов:uur ur0 = Fт + F упр ,(8)uururгде Fт –силатяжести, F упр –силаупругости.Спроецировавуравнение(8)навертикальнуюось,получимFупр = Fт .ПозаконуГукамодульсилынатяженияпружины,Fупр = kl ,гдеk0–жёсткостьпружины,l–еёудлинение.МодульсилытяжестиFт = m0 g ,гдеg–ускорениесвободногопадения.Получим5k0l = m0 g .(9)Устройство дляизмерения жёсткости пружин показано на РИС.3.

Оно состоитизстойкисподвесом,наборакалиброванныхгрузоввесомпо100гкаждыйиметаллическойлинейки.Рис.3Еслинадвепружины,соединённыепоследовательно,какпоказанона РИС.3,подвеситьгрузысуммарноймассойm1иизмеритьудлинениепружинl1,азатемпригрузахмассойm2–удлинениеl2,тоиз(9)получимìk0 l1 = m1 g ,íîk0 l2 = m2 g.Вычтяверхнееравенствоэтойсистемыизнижнего,запишемk0 ( l2 - l1 ) = ( m2 - m1 ) g .Отсюдаполучимk0 =m2 - m1g .l2 - l1(10)Результат расчёта по этой формуле не будет зависеть от положения нуля на измерительнойлинейке.Величина k0, рассчитанная по формуле (10) – это жёсткость двух пружин, соединённыхпоследовательно.Дляоднойпружиныm - m1(11)k = 2k0 = 2 2g .l2 - l16Измерение момента инерции колебательной системыРемень, связанный с пружинами жёсткостью k (11),надеваютнашкивдиаметраdивыводятсистемуизположенияравновесия,повернувеёнауголφ(РИС.4).Толстой синей стрелкой на РИС.4 показано положениеязычка.Приэтомоднапружинаоказываетсясжатой наdl = φ ,адругая–растянутойнатужевеличину.Поэто2мусуммарныймоментсилупругостистанетравнымddφkd 2= -kd=φ .222Сравнивая это выражение с равенством (4), видим, чтовращательныйкоэффициентжёсткости⊗z 8 φdM z = -2Fупрllkd 2.(12)2Из формул (7) и (12) получим выражение для моментаинерцииколебательнойсистемыK=kd 2T 2.(13)8π 2Рис.4Момент инерции колебательной системы изменяетсяпутём установки, снятия и перестановки грузов 6 в различные отверстия 5(РИС.5).I=Рис.5Изформулы(13)следует,чтомоментыинерцииподвижнойчастиколебательнойсистемыотносятсякакквадратыпериодовихколебаний.ЕслиI0–моментинер-7циисистемывнекоторойэталонной(нулевой)конфигурации,томоментинерциивдругойконфигурации2æT öIэ = I0 ç ÷ .è T0 ø(14)Заэталоннуюконфигурациюпримемпрофильбезгрузов.Теоретический расчёт момента инерцииПоставимодингрузмассы mвположение0.Из(1)следует,чтомоментинерцииподвижнойчастиколебательнойсистемыI0- = I0 + I1 ,(15)где I1–моментинерции грузаотносительноегооси.Еслисместитьгрузвположениеp(p=1,2,3,4),тоI p- = I0 + I1 + mrp2 ,гдеrp–расстояниеp-гогнездаотосисистемы(см.ТАБЛ.1).По теореме Штейнера (2) момент инерции груза (без профиля и шкива) относительноосисистемыПоэтомуI p = I1 + mrp2 .(16)I p = I p - - I0 .(17)ВэкспериментеизмеряютI0,I0–иIp–исравниваютсрезультатомрасчётапоформулам(15),(16)и(17).Еслидобавитьвторойгрузвгнездоq,томоментинерцииколебательнойсистемы()Ipq т = I0 + 2I1 + m rp2 + rq2 .(18)3.

Порядок выполнения работы1.Измерениежёсткостисистемыпружин(РИС.3)1)Подвесьте обе пружины, зацепив их друг с другом, на кронштейн подвесастойки.2)Подвесьтекпружинамдвакалибровочныхгрузаобщеймассойm1=2m0.3)Зафиксируйте статическое положение l1 стрелки на шкале измерительнойлинейки.ЗапишитерезультатвТАБЛ.2.4)Подвесьтекпружинамчетырегрузаобщеймассойm2=4m0.5)Зафиксируйте статическое положение l2 стрелки на шкале измерительнойлинейки.ЗапишитерезультатвТАБЛ.2.2.СборкаколебательнойсистемывсоответствиисРИС.21)Снимитекалибровочныегрузыспружин,аобепружины–сподвеса.2)Прицепитепружиныкобоимконцамремня.3)Наденьтеремень нашкив иприцепитесвободные концыпружинза штыристойки.Отрегулируйтеположениеремня,такчтобыостриеязычканаходилосьстрогоподфотодатчиком.3.

Подключите оптический датчик к входу концентратора, присоединив последнийкUSB-входукомпьютера.84. После включения компьютера запустите программу «Практикум по физике»(окно программы показано на РИС.6). На панели устройств выберите соответствующийсценарийэксперимента(Alt+C) .5.Запуститеизмерениядлявыбранногодатчикаисразупослезапускаприведитевдвижениеколебательнуюсистему(Ctrl+S) .6. После записи нескольких (7-8) импульсов перекрытия остановите измерения(Ctrl+T) .7.Выделитеобластьиз5-6импульсовперекрытиядляеёдетальногопросмотрасувеличенныммасштабом(Alt+леваякнопкамыши).8.

Измерьте период колебаний маятника по передним или задним фронтам соседнихчётных(либонечётных)импульсовперекрытийпутёмпостановкижёлтого (левая кнопка мыши) и зелёного маркера (правая кнопка мыши) на соответствующие фронты импульса перекрытия (РИС.6). Запишите результат в ТАБЛ.3.Проделайтеизмерения5раз.Рис.69. Поставьте один груз в положение 0. Измерьте период колебаний системы поПП.5-8.ЗапишитерезультатывТАБЛ.3.10.Поставьте два груза в положения, указанные преподавателем, например: 2-2(p=2,q=2),1-0(p=1,q=0),какпоразныестороныотосисистемы(периодколебаний Tpq¢ ),такипооднусторону ( Tpq¢¢ ).Измерьтепериодколебаний системыпоПП.5-8, при этом измерения периода колебаний в каждой конфигурации повторить3раза.ЗапишитерезультатывТАБЛ.3.94.

Данные установкиТаблица1МассакалибровочногогрузаДиаметр шкиваm0=100±1гd=100±2ммm=202±1гr1=60±2ммr2=100±2ммr3=140±2ммr4=180±2ммМассагрузаРасстоянияотгнёзддоосиколебательнойсистемы(РИС.5)5. Обработка результатов измеренийИзмерение жёсткости системы пружинТаблица2m1,гm2,гl1,ммl2,мм1.Рассчитатьжёсткостьпружиныпоформуле(11).2.

Определить погрешности измерения масс калибровочных грузов1 и статическогоположениястрелки:Δm1 =K , Δm2 =K , Δl1 =K , Δl2 = K Записатьзначениямасскалибровочныхгрузовистатическогоположениястрелкиввидеm1 = m1 ± Δm1 ит.п.3.РассчитатьпогрешностьжёсткостипружиныпоформулеΔk = kΔm12 + Δm22( m2 - m1 )2+Δl12 + Δl22( l2 - l1 )2.(19)Записатьокончательныйрезультатизмеренийжёсткостипружины2.Расчёт момента инерции колебательной системы1.Рассчитатьсредниезначенияпериодаколебаний T повсемсериямизмерений.ЗанестирезультатырасчётавТАБЛ.3.2.Определитьинструментальнуюпогрешностьпериодаколебаний:ΔTинс =K 3.Рассчитатьслучайнуюпогрешностьпериодаколебанийдлявсехсерийизмеренийпоформуле1Если mi=nm0 (n – число калибровочных грузов, подвешенных на пружинах), то получаетсяΔmi=nΔm0.2Вформуле(19)неучтенапогрешностьg.Длятогочтобыэтупогрешностьможнобылонеучитывать, при вычислениях следует брать значение g с достаточным количеством значащих цифр:g=9,8156м/с2.10nΔTсл = t P ,nå T -Ti =12in ( n - 1).Здесьn–числоизмеренийвсерии(5или3);tP,n–коэффициентСтьюдента,которыйследуетвзятьизсоответствующейтаблицы.4.Найтиполнуюпогрешностьпериодаколебанийдлявсехсерийизмерений:2ΔT = ΔTсл2 + ΔTинс.Записатьокончательныерезультатыизмеренийпериодаколебаний:T0 = T0 ± ΔT0 , T0- = T0- ± ΔT0- , Tpq¢ = Tpq¢ ± ΔTpq¢ , Tpq¢¢ = Tpq¢¢ ± ΔTpq¢¢ .5.РассчитатьсреднеезначениемоментаинерцииI0пустогопрофиляпоформуле(13).Занестирезультатвтабл.3.6.Найтипогрешностьмоментаинерциипустогопрофиляпоформуле2ΔI0 = I022æ Δk öæ Δd ö æ ΔT0 öç k ÷ + 4 ç d ÷ + ç T ÷ .èøèø è 0 ø(20)ЗаписатьокончательныйрезультатизмеренияI0.7.