Лекции по статитической физике для 1 курса магистратуры (Лекции по статитической физике для 1 курса магистратуры.pdf)

ЛЕКЦИИ ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙФИЗИКЕдля студентов 1 курса магистратурыЮ.М. БелоусовМФТИ - 20172ОглавлениеПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Глава 1. Статистические ансамбли . . . . . . . . . . . .1.1. Равновесная матрица плотности . . . . . . . . . . . . .1.2. Микроканонический ансамбль . . . .

. . . . . . . . . .6613Глава 2. Термодинамические соотношения . . . . . . .192.1. Температура. Законы термодинамики . . . . . . . . . 192.2. Термодинамические производные. Якобианы. . . . . . 232.3. Условия термодинамического равновесия . . . . .

. . 242.4. Связь параметров статистического распределения с термодинамич2.5. Флуктуации термодинамических величин . . . . . . . 27Глава 3. Простые примеры . . . . . . . .3.1. Идеальный больцмановский газ . . .3.2. Двухуровневая система . . . . . . . .3.3. Система гармонических осциляторов..................................

.. .. .31313434Глава 4. Идеальные квантовые газы . . . . . . . . . . .364.1. Матрица плотности в представлениичисел заполнения 364.2. Большой канонический ансамбль . . . . . . . . . . . . 38Глава 5. Идеальные ферми- и бозе-газы . . . .5.1. Общие свойства идеальных квантовых газов5.2. Идеальный ферми-газ . . . .

. . . . . . . . . .5.3. Идеальный бозе-газ . . . . . . . . . . . . . . .5.4. Идеальные газы при высокой температуре .........................4343454953Глава 6. Фазовые переходы . . . . . . . . . . . . . . . .556.1. Термодинамика фазовых переходов . . . . . . . . . . . 556.2. Теория молекулярного поля Вейсса и фазовый переход II рода 5736.3. Теория фазовых переходов II рода Ландау . . . . .

.461ПредисловиеСтатистическая физика вводится с еще большим разнообразием,чем квантовая механика. Поскольку мы непрерывно продолжаемнаш курс, постараемся перейти от квантовой механики к статистической постепенно, используя введенные в квантовой механике понятия для описания многочастичных и незамкнутых систем.Естественно, непрерывного перехода от квантовой механики, также как и от классической, к статистической механике не существует, поскольку для описания состояния системы с позиций статистической, макроскопической физики, важнейшую роль играетучастие в ней макроскопически большого числа частиц N À 1 и,соответственно, числа степеней свободы.

Кроме того, в классической и квантовой механике основную задачу представляло описание динамического поведения системы, т.е. эволюция его состоянияво времени. Однако уже в квантовой механике мы видели, что длярешения такой задачи для консервативной системы достаточно решить статическую задачу, т.е. определить стационарные состояния. Ясно, что сама постановка задачи предполагает рассмотрениесостояния, в котором существуют не изменяющиеся во времени физические величины (интегралы движения). С точки зрения статистической физики эти состояния должны определять равновесныесостояния макроскопической системы или ансамбля систем. Так жекак и в квантовой механике важнейшую роль играло определениестационарных состояний (решений стационарного уравнения Шредингера), так и для описания макроскопических систем необходимопрежде всего рассмотреть равновесные (не изменяющиеся во времени) состояния.

Стационарные состояния позволили нам определитьпредставление, в котором изучается любое состояние квантовой системы. Равновесные состояния макроскопической системы такжепозволяют определить в дальнейшем понятия, на языке которыхможно рассматривать и неравновесные состояния и процессы.5Глава 1Статистические ансамбли1.1.Равновесная матрица плотностиВ предыдущей главе мы видели, что матрица плотности позволяетописывать свойства ансамбля систем и, таким образом, имеет тоже значение, что и вектор состояния в квантовой механике приописании замкнутых систем.

Следовательно, матрица плотностидолжна содержать всю необходимую информацию с точки зрениястатистической механики. При переходе к статистической физикенам необходимо сформулировать соответствующие постулаты, которые должны иметь место именно для макроскопических систем.В квантовой механике мы видели, что состояние системы полностью описывается заданием полного набора физических величин,который содержит меньшее их число, которое требовалось в классической механике. Мы знаем, что в классической механике состояниебесструктурной частицы полностью описывается заданием точки вфазовом пространстве, т.е. трехмерного радиуса-вектора r, определяющего координату частицы в конфигурационном пространстве,и импульса p, определяющего “координату” частицы в импульсном пространстве.

Таким образом, для описания классической бесструктурной частицы нам необходимо 6 параметров, соответствующих шести степеням свободы. Если частица находится в областиконфигурационного пространства от точки r до r + ∆r и импульсного пространства от значения импульса p до p + ∆p, то говорят,что она находится в элементе фазового объема ∆G = ∆r∆p.Состояние квантовой бесструктурной частицы можно определить либо только задав ее координаты (определив таким образомволновую функцию), либо ее импульс, при условии, что частицасвободна.

Таким образом, даже для свободной частицы полный на-6бор физических величин существенно меньше числа степеней свободы классической частицы. Зная волновую функцию, мы можемопределить вероятность обнаружить частицу в области пространства от точки r до r+∆r (в объеме ∆V ) как ∆w(r, t) = |Ψ(r, t)|2 ∆V .Если мы задаем состояние частицы в импульсном пространствеΨ(p, t)1 (в импульсном представлении), тогда можем определитьвероятность найти частицу в области импульсного пространства отзначения импульса p до p + ∆p (в объеме ∆p) как ∆w(p, t) =|Ψ(p, t)|2 ∆p. При этом для полного описания квантовой частицымы по-прежнему должны рассматривать фазовое пространство, которое соответствует полному числу степеней свободы, т.е.

рассматривать систему в элементе фазового объема ∆G, но при этом мыдолжны определить в нем число возможных квантовых состояний.Как было показано в квантовой механике на одну степень свободы частицы приходится объем фазового пространства, равный2π~. Этот же результат был получен и в квазиклассическом приближении для частицы, находящейся в некоторой потенциальнойяме. Поскольку в квантовой механике для определения среднегозначения какой-либо физической величины мы должны просуммировать по всем квантовым состояниям, нам необходимо теперь перейти от непрерывного фазового пространства к пространству состояний, определив число состояний в элементе объема фазовогопространства ∆V ∆p как∆Γ =∆V ∆p(2π~)3илиdΓ =drdp.(2π~)3(1.1)Многочастичные системы не позволяют получить полную информацию даже в смысле определения всех всех одночастичныхсостояний.

Однако мы можем определить полное число состояний,понимая, что число степеней свободы определяется числом частиц.Итак, для макроскопической системы важнейшую роль играет число возможных ее состояний. Рассматривая многочастичные квантовые системы, мы видели, что их энергетический спектр вырожден. Часто для описания состояния многочастичной системы удобно выбирать представление, в котором одночастичные состоянияопределяются полным набором свободных частиц. В таком случае1 Мы здесь специально обозначили одно и то же состояние, но в разныхпредставлениях, одной и той же буквой.7энергетический спектр многочастичной системы становится практически непрерывным. При рассмотрении систем с непрерывнымспектром мы видели, что все переходы (изменения состояния) могут происходить только при условии выполнения закона сохраненияэнергии.

Вероятность перехода в единицу времени при этом определяется “золотым правилом” Ферми и пропорциональна плотностиэнергетического спектра g(E), т.е. числу состояний, приходящихсяна интервал энергий от E до E + dE:dΓg(E) =.(1.2)dEИтак, мы видим, что для описания макроскопических систем важную роль играет как число состояний, так и их плотность. Еслимы рассматриваем систему, состоящую из двух (и более) невзаимодействующих подсистем, ее квантовое состояние определяется прямым произведением независимых состояний каждой подсистемы:|Ψ(1, 2)i = |Ψ(1)i ⊗ |Ψ(2)i. Соответственно полное число состояний равно также произведению числа состояний двух подсистем:Γ = Γ1 · Γ2 .Когда мы рассматриваем состояние квантовой системы, мы полагаем, что эта системы замкнута и изолирована. Только в такомслучае она может быть описана вектором состояния, как это былопоказано в предыдущей главе. Рассматривая составные (сложные)системы, мы видели, что описание их вектором состояния требовало включения в состав полного набора физических величин интегралов движения всей системы.

К ним относятся, прежде всего, энергия E = E1 + E2 , а также импульс и момент импульса.Все эти интегралы движения представляют собой “аддитивные” величины. Рассматривая макроскопическую, систему, состоящую издвух невзаимодействующих подсистем, мы характеризуем теперь ееполным числом состояний всей системы. Но число состояний всейсистемы обладает мультипликативным свойством, поэтому не годится для описания сложной системы макроскопической аддитивной характеристикой. Однако мы видим, что аддитивными свойствами обладает логарифм произведения:ln Γ = ln Γ1 + ln Γ2 .(1.3)Величина (1.3) называется статистической энтропией.

Смысл энтропии состоит в том, что ее можно интерпретировать как некоторую меру недостатка информации о системе. В частности, если8замкнутая изолированная система находится в чистом состоянии|ν0 i, то Γ = 1, и этом случае энтропия равна нулю: информациямаксимальна, т.е. полная с точки зрения (квантовой) механики. Сдругой стороны, если мы рассматриваем ансамбль одинаковых замкнутых изолированных систем, то системы ансамбля могут находиться в различных возможных состояниях, поскольку энергетический спектр такой системы вырожден. Для таких систем Γ равнакратности вырождения уровня энергии. Согласно золотому правилу Ферми в ансамбле таких систем все состояния (с данным значением энергии системы) должны иметь одинаковую вероятность,которая, очевидно, равнаµ ¶X11wν =Γ = 1,(1.4)wν = ,ΓΓνгде ν – одно из возможных состояний с данной энергией |E, νi.