Лекция 5 - Методпеременныхсостояния (к экзамену)
Описание файла
Файл "Лекция 5 - Методпеременныхсостояния" внутри архива находится в следующих папках: экзамен, а здесь по делу. PDF-файл из архива "к экзамену", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "управление техническими системами (утс)" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Лекция 5. Метод переменных состоянияМетод переменных состояния в теории управления основан на понятии состояниесистемы. В отличие от описания САУ с использованием аппарата передаточных функций,метод переменных состояния позволяет описать поведение системы во временной областине только в переменных вход-выход. Метод переменных состояния может быть примененк нелинейным, нестационарным и многомерным системам. Описание систем управления спомощью переменных состояния лежит в основе современной теории управления и методов оптимизации.5.1 Уравнение системы в нормальной формеЕсли уравнения системы разрешены относительно старшей производной, то ихвсегда можно преобразовать к системе уравнений 1-го порядка.
Например, пусть системаописывается уравнением(n)( n 1)x F ( x, x ,, x , t )Его можно преобразовать к видуx1 x2x 2 x3x n 1 xnx n F ( x1 , x2 , , xn , t )( n 1)где x1 x, x2 x , , xn x .Аналогичное преобразование можно произвести, когда система описывается несколькими уравнениями. Пусть, например, система описывается уравнениямиy1 F1 ( y1 , y1 , y1 , y2 , y 2 , t ),y2 F2 ( y1 , y1 , y1 , y2 , y 2 , t ) .Введя переменные x1 y1 , x2 y1 , x3 y1 , x4 y2 , x5 y 2 , можно преобразовать этиуравнения в следующую систему уравнений 1-го порядка:x1 x2 ,x2 x3 ,x3 F1 ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , t ),x4 x5 ,x5 F2 ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , t ),y1 x1 ,y2 x4 .В общем случае уравнения управляемой системы (рис.
5.1) можно представить в видеx1 f1 ( x1 , x2 , , xn , u1 , u2 , ur , t ),x2 f 2 ( x1 , x2 , , xn , u1 , u2 , ur , t ),xn f n ( x1 , x2 , , xn , u1 , u2 , ur , t ),y1 h1 ( x1 , x2 , , xn , u1 , u2 , ur , t ),y2 h2 ( x1 , x2 , , xn , u1 , u2 , ur , t ),ym hm ( x1 , x2 , , xn , u1 , u2 , ur , t ),1Рис. 5.1.Здесь x1 , x2 , , xn – фазовые координаты, или фазовые переменные; u1 , u2 , , ur – управляющие параметры, или управления; y1 , y2 , , ym – выходные переменные; t – время.Уравнения, записанные в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производной, называются нормальной формой Коши илипросто нормальной формой.В векторной форме приведенные уравнения принимают видx f (x, u, t ) ,(5.1а)y h(x, u, t ) .(5.1б)Здесь x называют фазовым вектором или вектором состояний, u – вектором управленияили просто управлением, а также входной переменной или просто входом, y – выходнымвектором или просто выходом.
Множество всех векторов состояний (фазовых векторов)называют пространством состояний или фазовым пространством.Уравнение (5.1а) называют уравнением состояния, а уравнение (5.1б) – уравнениемвыхода или уравнением наблюдений.При дальнейшем описании будем всегда рассматривать вектор как вектор-столбец.Так что имеемx ( x1 , x2 , xn )T , u (u1 , u2 ,ur )T , y ( y1 , y2 , ym )T ,где T обозначает операцию транспонирования.Если вход и выход системы являются скалярными величинами, то такие системыназывают одномерными. Если хотя бы одна из указанных переменных является векторной,то такие системы называют многомерными.5.2. Уравнения линейных САУ в переменных состоянияВ общем случае уравнения линейной системы управления в нормальной форме могут быть записаны в следующем виде:x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u 2 b1r u r ,x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u 2 b2 r u r ,xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u 2 bnr u r .(5.2)В матричной форме уравнения (5.2) имеют вид: x1 a11 x a 2 21 x n a n1a12a 22an2 a1n x1 b11 a 2 n x 2 b21 a nn x n bn1b12b22bn 2 b1r u1 b2 r u 2 bnr u r (5.3)В компактной форме система (5.3) может быть описана при помощи уравнения состояния:x Ax Bu .(5.4)Для полного описания системы к уравнениям состояния необходимо добавитьуравнения выхода, устанавливающие связь между переменными состояния и выходнымипеременными, которые обычно представляются в виде системы линейных алгебраическихуравнений:y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn ,y2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn ,ym cm1 x1 am 2 x2 cmn xn .или в компактной векторно-матричной форме:2y Cx .Матрица C называется матрицей выхода.(5.5)5.3.
Матричная передаточная функцияПрименяя прямое преобразование Лапласа к уравнениям (5.4) и (5.5), выраженнымв переменных состояния, получимsX( s ) AX( s ) x(0) BU ( s ),(5.6)Y( s ) CX( s ).Отсюда, исключая X(s) и полагая x(0) 0 , найдемsX( s ) AX( s ) BU ( s ),( sI A) X( s ) BU ( s ),X( s ) ( sI A) 1 BU( s ),Y( s ) C( sI A) 1 BU ( s ),(5.7)где I – единичная матрица.МатрицуФ( s ) C( sI A) 1 B ,(5.8)устанавливающую связь между векторами выхода Y(s) и входа U(s), называют матричнойпередаточной функцией многомерной системы.Если система имеет только один вход u(t) и только один выход y(t), то матрицы B иC в уравнениях (5.6) превращаются в скаляры, которые обозначим через b и c соответственно.
Поэтому для одномерной системыY ( s)Ф( s ) c( sI A) 1 b(5.9)U (s)5.4. Управляемость и наблюдаемость объекта управленияСостоянием системы x(t) можно управлять, изменяя вектор входа u(t), а наблюдатьсостояние системы можно, измеряя вектор выхода y(t). В связи с этим возникает два вопроса, имеющих кардинальное значение для теории автоматического управления.1. Можно ли, выбрав соответствующим образом входы u(t), перевести объектуправления из некоторого произвольного состояния x(t0) в другое произвольное состояниеx(tf)?2. Можно ли, наблюдая вектор выхода y(t) в течение достаточного промежуткавремени, определить начальное состояние объекта x(t0)?Ответ на первый вопрос связан с понятием управляемости, а ответ на второй вопрос – с понятием наблюдаемости.5.4.1.
Управляемость объекта управленияДля определения понятия управляемости рассмотрим управляемую систему (объект), которая описывается уравнениемx f (x, u, t ), x R n , u R r(5.10)где х – вектор состояния, u – управление (вектор управления).Управление u u(t ) (u1 (t ) u 2 (t ) u r (t )) T называется кусочно непрерывным, есливсе его компоненты u i (t ) являются кусочно непрерывными.
Кусочно непрерывные управления называют допустимыми.3Определение 1. Управляемая система (объект) (5.10) называется управляемой иливполне управляемой, если, каковы бы ни были точки x 0 и x f в фазовом пространстве R n ,существует допустимое управление, определенное на конечном интервале [t 0 , t f ] и переводящее систему (5.10) из начальной точки x 0 x(t0 ) в конечную точку x f x(t f ) .Другими словами, если объект вполне управляем, то он может быть переведен допустимым управлением из произвольного начального состояния в любое другое состояниеза конечное время.Рассмотрим линейный объект, который описывается уравнениемx Ax Bu, x R n , u R r(5.11)В случае линейного объекта справедливо следующее утверждение.Утверждение 1.
а) Линейный объект (5.11) вполне управляем, если, каково бы нибыло начальное состояние x(t0 ) x 0 , существует допустимое управление, определенноена конечном интервале [t 0 , t f ] и переводящее объект (5.11) в конечное состояниеx(t f ) 0 , т.е. в начало координат.б) Линейный объект (5.11) вполне управляем, если, каково бы ни было конечное состояние x(t f ) x f , существует допустимое управление, определенное на конечном интервале [t 0 , t f ] и переводящее объект (5.11) из начального состояния x(t0 ) 0 , т.е. из начала координат, в конечное состояние x(t f ) x f .Утверждение остается справедливым, если в первой части в качестве конечнойточки вместо x(t f ) 0 выбрать любую другую фиксированную точку, а во второй частивместо начальной точки x(t0 ) 0 выбрать любую другую фиксированную точку.5.4.2. Управляемость линейных стационарных объектовПусть уравнение (5.11) описывает стационарную систему, т.е.
матрицы А и В являются постоянными. Введем в рассмотрение матрицуУ B AB A 2 B A n1B ,(5.12)столбцы которой представляют собой столбцы матрицы В и произведений матриц АВ,A 2 B, , A n1B . Эту матрицу называют матрицей управляемости.Критерий управляемости линейных стационарных систем. Линейный стационарный объект вполне управляем тогда и только тогда, когда матрица управляемостиимеет максимальный ранг, т. е. когда ее ранг равен n.Напомним, что ранг матрицы равен числу независимых строк, числу независимыхстолбцов и порядку отличного от нуля минора максимальной размерности.Утверждение 2.
Одномерная система управления, описываемая уравнениемb0 p m b1 p m1 bmu, 0 m n ,ya0 p n a1 p n1 anгде не все коэффициенты bi (i 0, 1, , m) равны нулю, вполне управляема.5.4.3. Наблюдаемость объекта управленияОпределение 2. Системуx Ax Bu,y Cx4(5.13)называют наблюдаемой, если по данным измерения или наблюдения векторов y(t) и u(t) наконечном интервале времени [t 0 , t f ] можно однозначно определить начальное состояниеx(t0 ) .
Систему (5.13) называют полностью наблюдаемой, если все ее состояния наблюдаемы в любые моменты времени.Пусть уравнения (5.13) описывают стационарную систему, т.е. матрицы А, В и Cявляются постоянными. Введем в рассмотрение матрицуН C T A T C T ( A T ) 2 C T ( A T ) n1 C T .(5.14)Эту матрицу называют матрицей наблюдаемости.Критерий наблюдаемости линейных стационарных систем. Линейная стационарная система управления полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости имеет максимальный ранг, т.
е. когда ее ранг равен n.5.