o24 (физика лабы 2 курс 3-й семестр (методички))

Московский Государственный технический Университет им. Н.Э. БауманаМатериалы к лабораторной работеО-24«Изучение дифракции Френеля и Фраунгофера»Составлены Вишняковым В.И.Цель работы – изучение дифракции Френеля и Фраунгофера.Теоретическая частьДифракцией света называется явление сложного перераспределения интенсивностисвета, которое наблюдается при прохождении его в среде с резкими оптическими неоднородностями и не описывается законами геометрической оптики.Дифракция обусловлена волновой природой света. Наличие оптических неоднородностей на пути световой волны приводит к нарушению формы волновой поверхности и (или) кизменению амплитуды световых колебаний на той части волновой поверхности, котораяпрошла через область оптических неоднородностей.

Эти изменения распределения фаз и амплитуд в пространстве дают соответствующее перераспределение интенсивности света, тоесть его дифракции. Иными словами дифракция имеет место всегда, когда нарушается фазовая или амплитудная однородность волновой поверхности.Согласно принципу Гюйгенса точки волнового фронта можно рассматривать как центрывторичных возмущений, которые вызывают элементарные сферические волны, а волновойфронт в любой более поздний момент времени является огибающей этих волн. Френель смогобъяснить явление дифракции света, дополнив принцип Гюйгенса утверждением, что вторичные волны интерферируют между собой.

Это сочетание принципа Гюйгенса с идеей интерференции получило название принципа Гюйгенса-Френеля.Рассмотрим часть произвольной волновой поверхности S световой волны, распространяющейся от некоторого источника света (рис.1). Амплитуда светового колебания в точке Р, лежащей перед этой поверхностью, может быть найдена следующим образом. Каждый элементповерхности служит источником вторичной волны, амплитуда А которой пропорциональнаплощади самого элемента dS.

Поскольку амплитуда сферической волны убывает с расстоянием r от источника по закону 1/r, то, следовательно, от каждого участка волновой поверхности dS в точку Р придет световое колебание:nϕdSrPР ис.1(1)dξ(P) = K(ϕ)[A/r] cos(ωt – kr+α)dSгде r – расстояние от элемента поверхности dS до точки Р; k=2π/λ; λ - длина волны; K(ϕ) –коэффициент наклона, описывающий изменение амплитуды вторичных волн в зависимостиот направления; ϕ - угол между нормалью n к поверхности и направлением излучения вторичной волны. Согласно Френелю K(ϕ) должен принимать максимальное значение при ϕ = 0,быстро уменьшаясь с увеличением угла ϕ, обращаясь в нуль при ϕ=π/2.1Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию колебаний (1), взятых для всей волновой поверхностиA(2)ξ ( P ) = ∫ K (ϕ ) co s (ω t − k r + α ) d SrSФормулу (2) можно рассматривать как аналитическое выражение принципа ГюйгенсаФренеля.

Вычисления по этой формуле достаточно сложны. Однако, как показал Френель, вслучаях отличающихся симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебанияможет быть осуществлено простым алгебраическим суммированием.Рассмотрим дифракцию на круглом отверстии, помещенном меду точечным источником света О и экраном Э (см.рис.2)Пусть диаметр отверстия d, а расстояние между отверстием и источником a. Так как в действительности обычно диаметр отверстия значительно меньше указанных на рис.2 длин a и b,то длину a можно считать равной расстоянию от источника света О до преграды, а b - от преграды до точки наблюдения Р.

Наиболее наглядно и просто характер дифракционной картины, возникающей на экране, можно выяснить с помощью метода зон Френеля. Зоны Френеляполучаются при разбиении волновой поверхности S (см. рис.2) на кольцевые области (зоны)так, чтобы расстояние от краев каждой зоны до точки, наблюдаемой на экране Э, отличалисьна λ/2 (λ - длина световой волны в той среде, где распространяется свет).Поскольку полученные таким построением зоны оказываются приблизительно равновеликими по площади, а угол между нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р растетс номером зоны m, то амплитуда Am колебания, возбуждаемого m-й зоной в точке P, монотонно убывает с ростом m.

Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Рзонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:λ/2P3P2P1dОPϕ!nbaa)б)в)Рис.2A1>A2>A3>…>Am-1>Am>Am+1>…2Подберем расстояние b от отверстия до экрана таким образом, чтобы в отверстии укладывалось целое число m зон Френеля. Поскольку фазы колебаний, возбужденные соседними зонами Френеля, отличаются на π, то результирующая амплитуда в центре экрана (в точке Р)будет равна(3)АР=А1- А2+ А3 - А4+…± Аmпричем знак «+» соответствует нечетному номеру зоны Френеля (m = 1, 3, 5,…), а «-» четному номеру зоны Френеля (m = 2, 4, 6,…).Представим выражение (3) для результирующей амплитуды в следующем виде:(4)АР=А1/2+ (А1/2-А2+А3/2)+(А3/2-А4+ А5/2)+…+ Аm-1/2 - Аmесли m – четное(5)АР=А1/2+ (А1/2-А2+А3/2)+(А3/2-А4+ А5/2)+…+ Аm/2если m – нечетное.Поскольку зоны Френеля равновелики по площади, а амплитуда колебаний пропорциональнаплощади зоны, то амплитуду m-й зоны Френеля можно приближенно записать в виде(6)Аm = (Аm-1+Аm+1)/2Тогда согласно (6) выражения, стоящие в круглых скобках, в формулах (4) и (5), можно приближенно считать равными нулю, а последние два слагаемых в формуле (4) приближенноравными (-Аm /2).В итоге для результирующей амплитуды в точке Р можно записать приближенную формулу(7)АР = (А1 ± Аm)/2Выясним характер дифракционной картины, получающейся на экране.Для малых m амплитуда Am мало отличается от A1 и, следовательно, для четных m результирующая амплитуда в центре экрана AP ≈ 0, а в случае нечетных m AP≈A1,.

Другими словами,в зависимости от того, какое число зон Френеля укладывается в отверстии, в центре экранаможет быть либо минимальная, либо максимальная освещенность.Если m очень велико, то Am =0, а АР=А1/2=А0, то есть действие всех зон в точке Р (что равносильно отсутствию какой-либо преграды на пути света) равно половине действия первой зоны.Сместимся теперь немного относительно точки Р в любом радиальном направлении вдольэкрана, например, в точку Р1. Проведя аналогичные построения зон Френеля для точки Р1,можно убедиться, что в этом случае отверстие будет перекрывать верхнюю часть m-ой зоны,одновременно открывая нижнюю часть m+1 зоны.

Тогда, в зависимости от того, четное илинечетное число зон Френеля укладывалось в отверстии, мы будем иметь соответственно либо увеличенные, либо ослабленные интенсивности в т. Р1. Наконец, в некоторой точке Р2интенсивность достигает или максимума или минимума. При дальнейшем перемещениивдоль экрана к точке Р3 интенсивность вновь будет либо уменьшаться, либо увеличиваться,так как в отверстии дополнительно появится частично (m+2) –я зона и частично (m+1) –язона.Вследствие симметричного расположения отверстия относительно прямой ОР дифракционная картина, получающаяся на экране, будет представлять собой систему чередующихсясветлых и темных колец.Примерное распределение интенсивности вдоль экрана для четного m показано на рис.2.б, адля нечетного m на рис.2в.Рассмотрим теперь кратко дифракцию от диска, помещенного между точечным источникомсвета О и экраном Э (см. рис.3).3λ/2PdOϕ!naba)б)Рис.3Пусть расстояние b от диска до экрана таково, что диск закрывает m зон Френеля.

В этомслучае результирующая амплитуда в центре экрана (точка Р) будет равнаAP = Am+1 – Am+2 +Am+3 + … = Am+1/2 + (Am+1/2 – Am+2 +Am+3/2) + …Учитывая соотношение (6) получаем:(8)AP = Am+1/2Если m невелико, то Am+1 мало отличается от амплитуды центральной зоны A1, и в точке Ринтенсивность будет почти такой же как и без преграды. Как следует из формулы (8), в этомслучае в центре дифракционной картины наблюдается светлое пятно, получившее названиепятно Пуассона.Распределение интенсивности вдоль экрана при дифракции от диска показано на рис.3б.Итак, если действуют или закрыто небольшое число первых зон Френеля (до тех пор, покаАm=А1=2А0), то дифракция проявляется наиболее эффектно (темное пятно за отверстием,светлое пятно за диском и т.д.).

Эта область дифракции называется дифракцией Френеля.При дифракции Френеля получается дифракционное изображение препятствия.Если же работает малая часть первой зоны Френеля, то в точу Р вторичные волны приходятпо почти параллельным направлениям с практически одинаковыми фазами колебаний. Вэтом случае амплитуда колебаний в точке Р всегда отлична от нуля. Дифракция в параллельных лучах называется дифракцией Фраунгофера.

При дифракции Фраунгофера дифракционная картина представляет собой дифракционное изображение источника света.Рассчитаем дифракцию Френеля на круглом отверстии.4b + mλ/2POδabРис.4Найдем радиус m-ой зоны Френеля, схематически изображенной на рис.4. Радиус m-ой зоны,как это видно из рис.4, может быть найден из рассмотрения треугольников ОАВ – АРВ. Действительно, имеем:из ∆ОАВ: rm = a2 – (a - δ)2из ∆АРВ: rm = (b + m λ/2)2 – (b + mλ/2)2Исключая затем из этого уравнения и отбрасывая члены второго порядка малости, получим:abrm = mλa+bДля наблюдения дифракции Френеля необходимо, чтобы выполнялось соотношение:(9)b << d2/λВ этом случае в отверстие помещается не менее одной зоны Френеля.

Действительно, согласно формуле (8) радиус первой зоны Френеля r ≈ λ b при a → ∞.Таким образом, выбор точки наблюдения должен удовлетворять условию (9) – условию наблюдения дифракции по Френелю.В этом случае освещенность центра дифракционной картины в точке О будет зависеть отчисла зон Френеля, вырезаемых отверстием из поверхности волнового фронта.

Число такихзон m, согласно формуле (8) равно(10)m= d2(a + b)/(4λab)Тогда, подсчитав число m (по виду дифракционной картины) и измерив расстояния а и bможно вычислить длину световой волны λ.ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ.В лабораторной работе в качестве источника света используется гелий-неоновый лазер (см. [4] стр. 323). Для электромагнитного излучения лазера характерны: 1) высокая степень монохроматичности (Δλ≈ 10-2 нм), 2) высокая временная и пространственная когерентность, 3) большая интенсивность, 4) узость пучка, 5) поляризованность излучения.Эти свойства лазерного излучения позволяют определить его волновые характеристики воптическом диапазоне без использования дополнительных устройств, как в классическихсхемах интерференционных и дифракционных опытов.

Волновые свойства света обнаруживают себя особенно наглядно в явлениях интерференции, дифракции, поляризации света.ЗАДАНИЕ 1.Определение размеров мелких частиц с помощью лазера дифракционным методом. Дифракция Фраунгофера.5На пути лучей света мелкие частицы представляют собой непрозрачные преграды вформе дисков.КЭЛРис.6Дифракцию от мелких круглых частиц легко наблюдать, если на пути луча лазера Лпоставить прозрачную камеру К с частицами (частички ликоподия – споры растения плауна)и экран Э. На рис.6 приведена схема такой установки.Поместим камеру с круглыми частицами на такое расстояние от экрана, чтобы выполнялось неравенство b>>d, где d – диаметр частичек. Поскольку лазерный пучок имеет ничтожно малый угол расхождения, то можно считать, что кювета К освещается практическипараллельным пучком лучей.