1589806164-1a1a56808b8ec06d2ecaff7ccac4c5cb (Практический курс физики ЭЛЕКТРИЧЕСТВО Под редакцией проф. Г.Г. Спирина), страница 9

(3.16)iПроводники в электрическом поле.В проводниках большая доля зарядов может перемещатьсявнутри вещества. При помещении проводника во внешнееэлектрическоеполенаграницахпроводникавозникаютиндуцированные заряды противоположных знаков, поле которыхпротивоположно внешнему, что приводит к ослаблению внешнего поля.Напряженность электрического поля внутри проводника,помещенного в электростатического поле, равна нулюE 0.(3.17)Свободныезарядывнутрипроводникаотсутствуют,араспределяются только по его поверхности. Силовые линии вблизипроводника перпендикулярны к его поверхности.Напряженность вблизи поверхности проводника (вне его) равна(3.18)E/ 0,где - поверхностная плотность зарядов на поверхности проводника.Потенциалы всех точек поверхности проводника (и внутри него)одинаковы, т.е. поверхность проводника является эквипотенциальной(3.19)const.52На этом свойстве основан метод зеркальных изображений, сутькоторого изложена в разобранной задаче 3.5.Соединение заряженного проводника с другим проводникомприводит к перераспределению зарядов так, что потенциалы телвыравниваются.

Поэтому потенциал заземленного проводника равеннулю (т.к. потенциал Земли равен нулю)(3.20)0.Электрическая емкость. Конденсаторы.Электрическая емкость уединенного проводника или конденсатораq,(3.21)Cгде q – заряд, сообщенный проводнику (конденсатору);изменение потенциала, вызванное этим зарядом.Величина С зависит от геометрических размеров, формыпроводника и свойств среды, в которой находится уединенныйпроводник (или среды между обкладками конденсатора).Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусомR, находящейся в среде с диэлектрической проницаемостью(3.22)C 4 0 R.Электрическая емкость плоского конденсатора0 SС,(3.23)dгде S - площадь одной пластины конденсатора, d - расстояние междупластинами, - диэлектрическая постоянная среды внутри конденсатора.Электрическая емкость сферического конденсатора (двеконцентрические сферы радиусами R1 и R2, пространство междукоторыми заполнено средой с диэлектрической проницаемостью )4 0 R1R2С,(3.24)R2 R1где R1 - радиус внутренней сферы, R2 - радиус внешней сферы.Емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальныхцилиндра длиной L и радиусами R1 и R2, пространство междукоторыми заполнено средой с диэлектрической проницаемостью )С2 0,ln( R 2 R1 )(3.25)где R1 - радиус внутреннего цилиндра, R2 - радиус внешнего цилиндра.При последовательном соединении конденсаторов емкостьбатареи С определяется соотношением11111....(3.26)С С1 С 2 С3Сn53При параллельном соединении конденсаторов емкость батареи Сопределяется соотношениемС = С1+ С2+ ....+ Сn.(3.27)Энергия электростатического поля.Из (2.6) следует, что заряд q, находящийся в точке с потенциалом, обладает потенциальной энергией(3.28)W q .Потенциальная энергия двух точечных зарядов, находящихся вбезграничнойдиэлектрическойсредесдиэлектрическойпроницаемостью на расстоянии r друг от друга равнаq1q2W.(3.29)4 0 rПотенциальная энергия W взаимодействия системы точечныхзарядов q1, q2,……qn определяется работой, которую система зарядовможет совершить при удалении их относительно друг друга вбесконечность, и выражается формулойn1(3.30)Wqi i,2i1где I – потенциал поля, создаваемого всеми (n – 1) зарядами заисключением i – ого, в точке, где расположен заряд qi.Потенциальная энергия проводника емкостью С1 2 1q2(3.31)WCq.222CОбъемная плотность энергии112wED ,(3.32)0E22где Е – напряженность электрического поля в среде с диэлектрическойпроницаемостью ; D – электрическое смещение (индукция).Энергия поля в объеме VE2V - для однородного поля, (3.33)2W0Ww dV - для неоднородного поля(3.34)VПримеры решения задачЗадача 3.1.

Шар радиусом R равномерно заряжен зарядом q. Нарасстоянии r>R от центра шара находится свободно ориентированныйточечный диполь с электрическим моментом р. Найти модуль силы,действующей на диполь и потенциальную энергию диполя.54РешениеНапряженность поля шара известна (1.17)q,E4 0r 2поэтому по (3.7) находим силу, действующую на диполь,2pqdE.Fr pcosdr4 0r 3Здесьучтено,чтосвободноориентированныйдипольустанавливается в электрическомполетак,чтоегоосьсовпадаетпонаправлению с вектором E , т.е.

cos= 1.Потенциальная энергия диполя определяется по формуле (3.8)pqW pE.4 0r 2Задача 3.2. В центре О полусферы, равномерно заряженной споверхностной плотностью заряда, расположен свободноориентированный точечный диполь с электрическим моментом р.Найтипериодегомалыхколебанийотносительнооси,перпендикулярной оси симметрии полусферы (ось А 1А2). Моментинерции диполя относительно оси вращения равен J (рис.3.3).РешениеA2ОпределимнапряженностьполяEdLполусферы в ее центре О, для этого разделимRdполусферу на узкие кольца и рассмотрим одноdExтакоекольцо.РадиусRполусферы,проведенный из центра О в любую точку этогоOкольца составляет угол с осью ОХ (рис.3.3).Радиус кольца r (не показан на рисунке)dEA1равен r = Rsin ; ширина кольца dL = Rd .Площадь кольца dS = 2 r .dL = 2 R 2sin d .Рис.

3.32Заряд на кольце dq = dS = 2 R sin d .Каждый элемент кольцасоздает в точке О поле, векторнапряженности которого dE составляет угол с осью ОХ (рис.3.3). Всилу симметрии результирующий вектор напряженности поля кольцанаправлен вдоль оси ОХ (ось симметрии полусферы). Проекцияэлементарного вектора dE поля кольца на ось ОХsin cos ddq.dE x dE coscos2 04 0R2Интегрируя это соотношение по в пределах от 1 = 0 (наиболееудаленное кольцо) до 2 = /2 (ближайшее кольцо), находим552E02sin cos d2 00sin d(sin )2 020sin22/204.0Поле полусферы найдено. Далее решаем механическую задачу намалые колебания твердого тела с моментом инерции J относительнооси вращения. Если вывести диполь из положения равновесия,повернув его на малый угол относительно оси А1А2, то на дипольбудет действовать вращательный момент М, который по (3.6) равенpM pE sinsin .4 0Из второго закона Ньютона для вращательного движения твердоготела относительно оси вращения, получаемd2pJ 2Msin .4 0dtТак как угол - мал, то sinи последнее соотношение можнозаписать в видеd2pd22J 20 или0,024 0dtdtгде0p- угловая частота колебаний, которая связана с4 0Jпериодом колебаний Т соотношениемТ2400Jp.+qSЗадача 3.3.

Одной из пластинплоского конденсатора площадью S– 1d11+ 1сообщили заряд q, другая пластинасоединена с Землей. Расстояние d– 2d22междупластинамиd.Между+ 2пластинами(параллельноим)находятсястеклянная( 1)иРис. 3.4фарфоровая( 2)пластины,толщины которых соответственно равны d1 и d2. Определитьнапряженности электрического поля в стекле Е1 и фарфоре Е2, атакже поверхностные плотности 1’ и 2’ связанных зарядов на них(рис.3.4).РешениеНапластинахконденсаторараспределенысвободныеэлектрические заряды с плотностью= q/S, на диэлектрикахсвязанные электрические заряды с плотностями 1’ и 2’, которыетребуется определить. Задачу можно решить двумя способами.561) Метод суперпозиции.

Поля свободных E0 и связанных E1’ и E2’зарядов, расположенных на двух параллельных плоскостяхопределяются по (1.15)q1'2'E0; E1'; E2 '.S0000Так как силовые линии нормальны ко всем поверхностям, тоЕ1n = Е1; Е2n = Е2.Поверхностная плотность зарядов считается по формуле (3.15):1)E1 ;1)E2 .1'0( 12'0( 2Учитывая принцип суперпозиции (1.6) и направление полей,созданных связанными зарядами, получаем:qE1 E0 E1'( 1 1)E1 ,S0отсюда напряженность Е1 равнаqE1.S0 1Аналогично напряженность Е2 равнаqE2.S0 2Окончательно получаем формулу для плотности связанных зарядов( 1 1)q( 2 1)q;.1'2'1S2S2) Метод Гаусса. По теореме Гаусса (3.16) определяем векторэлектрического смещения в любом диэлектрике:D S = S, D = = q S .Далее по (3.14) находим напряженности Е1 и Е2 электрическогополя в диэлектрикахqqE1; E2.0 2S0 1SПлотности связанных зарядов1 и2 по формуле (3.15)соответственно равны:( 1 1)q( 2 1)q;.1'2'1S2SЗадача3.4.Двеконцентрическиеq1+q2металлические сферы радиусов R1 и R2>R1q1имеют соответственно заряды –q 1 и +q 2.–q1ОПространство между сферами заполненоR1эбонитом ( = 3).

Определить потенциалА ВСэлектрического поля в точках А, В и С,R2расположенныхнарасстоянияхr1<R1,R2>r2>R1 и r2>R2 соответственно (рис.3.5).Рис. 3.557Решение1) Метод суперпозиции. Результирующее поле создаетсясвободными зарядами -q 1 и q 2 и связанными зарядами + q1' и – q2 ' . Длянахождения связанных зарядов по (3.15) необходимо знатьнапряженность Е(r), поля в диэлектрике, которую находим по теоремеГаусса (1.17) и (3.14)q1.E(r )4 0 r2Пусть 1’ и 1’’ - поверхностные плотности связанных зарядов q1' иq1' ' . Тогда из (3.15)( 1)q1( 1)q1;=(–1)Е.021 = 0( –1)Е114 R124 R 22Отсюда величины связанных зарядов равныq1'1 '42R1(1)q1; q1"1"4R22(1)q1.Таким образом, все четыре заряда q1, q2, q1' , q1" , создающиерезультирующее поле, определены. Они расположены на сферах.Известно, что для равномерно заряженной сферы радиусом R в любойточке внутри и на поверхности сферы потенциал поля (в вакууме)q,4 0Rа для точки вне сферы на расстоянии r от центраq.4 0rИспользуя принцип суперпозиции (1.6), определяем потенциалв точке А, расположенной на расстоянии r 1<R 1 от центра Оq1q1"q2q1'++=01= 1+ 2 + 3 + 44 0R1 4 0R1 4 0R2 4 0R2( 1)q1q1q2.4 0 R1 4 0 R 2 4 0R2Потенциал02Потенциал0301в точке В на расстоянии r2 (R1<r2<R2) равенq1q1"q1"q2=024 0r2 4 0r2 4 0R2 4 0R2q1q2( 1)q1=––+.4 0 r24 0 R 2 4 0R 2в точке С, создается свободными зарядами -q1 и +q2q1q2+.03= –4 0r3 4 0r3582) Метод Гаусса.