1589806164-1a1a56808b8ec06d2ecaff7ccac4c5cb (Практический курс физики ЭЛЕКТРИЧЕСТВО Под редакцией проф. Г.Г. Спирина), страница 6

Рассчитать потенциал поля точечного диполя 1 вточке А, расположенной на оси диполя на расстоянии r от его центраи потенциал 2 в точке В, находящейся на перпендикуляре к осидиполя, проходящем через центр диполя О, также на расстоянии r откаждого заряда (рис.1.5).РешениеТак как дана система точечных зарядов, то для нахожденияпотенциалов i каждого заряда можно использовать формулу (2.8).Рассмотрим точку А (рис.1.5).

По формуле (2.8) определяемпотенциал 1 поля отрицательного заряда1и14q0 (r L 2)поля положительного заряда14q.0 (r L 2)Учитывая, что r>>L, по принципу суперпозиции (2.9) находимрезультирующий потенциал 1 в точке АqLp,1= 1124 0r4 0r 2где p = qL - модуль электрического момента диполя.Рассмотрим точку В. Так как33q2то42=0r2+q,2240r,= 0.Задача2.2.Определитьпотенциалэлектрического поля, созданного равномернозаряженным тонким диском радиусом R = 1 м вточке А, расположенной на оси диска нарасстоянии а = 2 м от плоскости диска (рис.

2.1).Поверхностнаяплотностьэлектрических2зарядов на диске = 2 мкКл/м .RhadrРис. 2.1РешениеЗаряд на диске не является точечным, поэтому разделим диск надостаточно узкие концентрические кольца. Рассмотрим одно такоекольцо шириной dr, расположенное на расстоянии r от центра диска.Заряд кольца dq = 2 rdr не является точечным, однако,потенциал d , создаваемый этим зарядом в точке А, определяется поформуле (2.8)dq2 rdrd ==,4 0h 4r 2 a20поскольку все элементы кольца находятся от точки А на одинаковомрасстоянии h. Положение каждого кольца определяется его радиусомr, поэтому в качестве переменной интегрирования выберем r.Интегрируя выражение для d по r в пределах от 0 до R, получимR02Rrdr4040 0Rd(r 2 a2 )r2a22r02a202R2 a2 a2,6 10 4 B0Теперь, если найден потенциал, то по формуле связинапряженности  и потенциала (2.12) можно найти векторнапряженности E .Если каким-то образом найдем вектор E , то по этой же формуле(что значительно труднее) можно найти потенциал .Задача 2.3.

Из решения задачи 2.1, зная потенциалточке А, найти напряженность Е1 в этой же точке (рис.1.5).1диполя вРешениеНаправим ось ОХ (рис.1.5) вдоль оси диполя . Тогда переменные rи х не отличаются друг от друга. По формуле (2.14)ddE Er Ex, ибо Ey Ez 0 .drdx34Подставляя значения потенциала в точке А, найденные в задаче2.1, получаем значение напряженности в этой точкеE1 = –d 1dp=–dxdx 4 0 x 2=2p430x,что совпадает со значениями напряженности в точке А, полученнымив решении задачи 1.1Задача 2.4. В условиях задачи 2.1, зная напряженность Е1 диполяв точке А, определить потенциал 1 в той же точке (рис.1.5).РешениеНаправим ось ОХ вдоль оси диполя. Тогда переменные r и х неотличаются друг от друга.

Напряженность Е1 поля диполя в точке Аперепишем в виде2pE1=.4 0 x3Учитывая формулу связи напряженности и потенциала (2.14), получаем:dd2pE1 = – 1 , или – 1 =.dxdx4 0 x3Разделяя переменные в полученном соотношении, находим:d2pdx140x3.Интегрируя обе части полученного соотношения, получаемp2p dxили+C114 0 x34 0x2Постоянную интегрирования С обычно находят, если известнозначение потенциала в какой либо точке. Такой точкой в данномслучае является бесконечно удаленная точка ( ). В этой точкепотенциал условно считается равным нулю. Таким образом, приконстанта С = 0, и значение потенциала 1 имеет видxp,14 0 x2что совпадает с потенциалом 1 ,найденным в задаче (2.1).Задача 2.5.

Металлический шар радиусомR1 = 1 м равномерно заряжен зарядом q = 1 нКлиокруженконцентрическойзаземленнойсферической проводящей оболочкой радиусомR 2 = 5 м. Определить потенциалв точке А,отстоящей от центра О шара на расстоянииr= 2 м (рис.2.2).R2Or AR2Рис. 2.235РешениеЗаряд q на шаре неточечный, но напряженность в точке А отзаряженного шара известна (1.17)qЕ=.4 0r 2Используя связь напряженности и потенциала (2.15), получаемдифференциальное уравнение для определения неизвестнойфункции (r)dЕ=–.drИз этих двух соотношений находимqdrd =–,4 0r 2После интегрирования определяем потенциал как функцию rqС.=4 0rПостоянную интегрирования С можно найти, если известенпотенциал какой либо одной точки.

В данном случае такой точкойявляется любая точка на заземленной сферической оболочкерадиусом R 2. Потенциал Земли условно принимают за ноль, такимобразом, получаемq0=С,4 0R2отсюдаСq40R 2.Подставляя значение С в выражениеокончательно получаем его значениеq401 1r R2дляпотенциала,2,7 В .Задача 2.6.Шар из диэлектрика ( = 1)равномернозаряжензарядомсобъемнойплотностью . Найти потенциал поля шара в егоцентре и в произвольной точке А внутри шара,отстоящей от его центра О на расстоянии r<R, где R- радиус шара (рис. 2.3).РешениеИз определения объемной плотности зарядазаряд шара qRAOrРис. 2.3(1.13) находим36q4R3 .3VНапряженность поля внутри шара определяем по формуле (1.17)rq=.Er3 04 0R3Учитывая связь напряженности и потенциала (2.15), получаемrdr ,d =–3 0откуда после интегрирования, находим значение потенциалаr2C.3 0 2Для нахождения константы интегрирования С используемзначение потенциала на поверхности шара.

Согласно формуле (2.8)потенциал R на поверхности шара равенR2q==.R4 0R 3 0Из последних двух соотношений получаемR2R2С=+C3 03 0 2R2.2 0Подставляя значение постоянной C в выражение для потенциала,находим распределение потенциала внутри шара:R2r21.2 03R2Учитывая, что потенциал в центре шара (при r = 0)0 =R2,2 0окончательно получаем0 (1r 2 / 3R2 ) .Задача 2.7. Электрическое поле создано длинным цилиндромрадиусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью= 20 нКл/м. Определить работу поля по перемещению зарядаq = 1 нКл между двумя точками, находящимися на расстоянияха1 = 0,5 см и а2 = 2 см от поверхности цилиндра в средней его части.РешениеРабота поля по перемещению заряда между двумя точкаминаходится по формуле (2.10).

Для определения разностипотенциалов ( 1 – 2) воспользуемся формулой связи междунапряженностью и потенциалом (2.15)37dEdr .Интегрируяпоследнеесоотношение,найдемразностьпотенциалов двух точек, отстоящих от оси цилиндра на r1 и r2r22Edr .1r1Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части,то для выражения напряженности поля можно воспользоватьсяформулой (1.16). Подставив это выражение в разность потенциалов,получимr22120 r1drrln20r2r1r2.2 0 r1Подставляя значения заряда q и значения r1 R a1 и r2формулу для работы, получимqR a2Aln2,5 10 7 Дж.2 0 R a1или12lnЗадача 2.8.Электрон массой m =–319,1 10кг и зарядом е = 1,6.10–19 Кл сначальной скоростью v 0 = 107 м/с влетает воднородноеэлектрическоеполес–3напряженностью Е = 10 В/м под углом= 60 к силовым линиям поля (рис.

2.4). Вкакой момент времени скорость электронабудет минимальной?.R a2 вyvv00eРис. 2.4EхРешениеПоле Е известно, следовательно, можно найти силу, действующуюна электрон (отрицательный заряд)FeE i ,где i - орт оси ОХ. Таким образом, вдоль оси ОХ электрон движетсяравнозамедленно с начальной скоростьюvox v0 cos ,а вдоль оси ОУ равномерно со скоростьюvoy v0 sinconst.Законы движения электрона вдоль осей OX и OY можно записать ввидеat 2x v 0 cos t,238y v0 sin t .Ускорение а найдем из второго закона НьютонаeE.amТаким образом, перед нами основная задача кинематики:известны законы движения частицы вдоль осей OX и OY, требуетсянайти скорость и время.Определим компоненты скорости частицыv x = x = v ocos – at = v ocoseEt,mv y = v osin = const.Модуль скорости электронаvv 2xv 2yбудет минимален, если v x = 0. Таким образом, из зависимостискорости vx от времени находим t, когда скорость электрона будетминимальнаmv 0 cost2,8.10–2 c.eELЗадача 2.9.

Протон массойm =–191,67.10–27 кг и зарядом е = 1,6.10Кл,v0eдвижущийся горизонтально со скоростьюv o,влетаетвсерединуплоского d/2хконденсатора параллельно его пластинамдлиной L. Расстояние между ними d. Вyэтот же момент времени к пластинамРис. 2.5прикладывается разность потенциалов= t 2, где = const. Какой должна быть величина , чтобы протонне вылетел из конденсатора (рис.2.5)?РешениеНапряженность поля E между пластинами конденсатора легкоопределить, учитывая связь напряженности и потенциала (2.16), атакже то, что поле внутри конденсатора однородноt2.EddТаким образом, найденное поле хотя и однородно, но зависит отвремени t по квадратичному закону.

Следовательно, и силаe t2,Fy eEdдействующая на протон непостоянна, а значит, и ускорение протонабудет зависеть от времени39e t2.aymmdТаким образом, перед нами обратная задача кинематики: известназависимость компоненты ускорения ay от времени t, требуется найтизависимость координаты у протона от времени (закон движения пооси ОУ). Для нахождения скорости протона проинтегрируемвыражение для ускорения по времениe t2e t3vya y dtdt =C1 .md3mdПостоянную интегрирования С1 находим из начальных условий:при t = 0, v y = 0. Следовательно С1 = 0.Для нахождения закона движения вдоль оси OY полученноевыражение для скорости проинтегрируем по времениe t3e t4yv y dtdtC2 .3md12mdПостоянную С2 определяем из начальных условий: при t = 0 y = 0.Следовательно, С2 = 0.

Окончательно закон движения протона по осиОУ имеет видe t4.y12mdПо оси ОХ протон движется равномерно со скоростью v 0,следовательно, закон движения вдоль оси OXx = v 0t.Чтобы протон не вылетел из конденсатора необходимовыполнение условийx v0t Le t4d.y12md 2Исключая время t из этих двух соотношений находим, что при значении46md 2 v 0eL4протон не вылетит из конденсатора.FyЗадача 2.10.На оси равномернозаряженного зарядом +q тонкого кольца +qрадиусом R в точке А, находящейся наOрасстоянии х 0 от центра кольца О находитсяRэлектрон. Определить скорость электрона вцентре кольца (точке О).

Начальная скоростьэлектрона v0 равна нулю (рис.2.6).Lm,ех0Рис. 2.6.A40РешениеОпределим потенциал 1 поля кольца в центре О и 2 в точке А.Эти точки находятся на одинаковом расстоянии от всехэлементарных участков кольца. Поэтомуqq;.12224 0R4 0 R x0Применим теорему об изменении кинетической энергииЕк = А,где А = е( 1 – 2) - работа по перемещению электрона из точки А вточку О. Так как начальная кинетическая энергия электрона быларавна нулю, тоmv 2Ek,2где v - искомая скорость электрона в точке О.Подставляя значения потенциала в теорему об изменениикинетической энергии, получаемv2eq401m R1R2x 02.Задачи для самостоятельного решения2.11. Точечный заряд q = 10 нКл, находясь в некоторой точке поля,обладает потенциальной энергией W = 10 мкДж. Найти потенциалэтой точки поля.2.12. Поле создано точечным зарядом q = 1 нКл.