1589806164-1a1a56808b8ec06d2ecaff7ccac4c5cb (Практический курс физики ЭЛЕКТРИЧЕСТВО Под редакцией проф. Г.Г. Спирина), страница 3

Определитьнапряженность поля шара в двух точкахА и В, находящихся соответственно нарасстоянии r 1<R и r 2>R (рис.1.12) отцентра шара О.Br2drAr1rРис. 1.12R16РешениеВ задаче имеется сферическая симметрия, поэтому для решениязадачи удобно применять теорему Гаусса. Рассмотрим точку А.Построим замкнутую поверхность, проходящую через точку А (сферарадиусом r 1 с центром в точке О). Поток ФE1 через эту поверхностьФE12E1 4 r1 ,E1S1где Е1 напряженность в точке А. Осталось определить заряд q 1,расположенный внутри этой поверхности.

В данной задаче нельзяопределять заряд какq 1= V 1,4 3где V1r1 - объем шара радиусом r 1, т.к. это справедливо, только3если = const.В нашем случае объемная плотность зависит от r. Поэтому длярасчета q 1 применим следующий метод. Разделим шар радиусом r 1на столь тонкие шаровые слои, чтобы объемная плотность зарядавнутри такого слоя была приблизительно постоянна. Рассмотримодин такой шаровой слой толщиной dr и произвольным радиусомr < r 1.

Тогда по формуле (1.13) заряд dq 1 внутри этого слояdq1dV ,2где = /r, а dV=4 r dr - объем слоя.Таким образом, заряд внутри шарового слоя равен4 r 2r 2 drdq14 rdr .rСуммируя заряды всех шаровых слоев, получаем искомый зарядr1q14rdrr2420r122r1 .0Используя теорему Гаусса (1.10), определяем напряженность Е1 вточке А2E1 4 r122const .2 0Проведем те же операции для точки В. Рассмотрим замкнутуюповерхность - сферу радиусом r 2 c центром в точке О.

Поток ФE2через эту поверхность равенФE2 E2S2r1E12E2 4 r2 .Зарядвнутриэтойповерхностинаходитсяаналогичнопредыдущему случаю, только интегрирование ведется в пределах от0 до R17Rq24rdr2R2 .0По теореме Гаусса, определяем напряженность Е2 в точке В2 R2q2E2 4 r22 2 R2E2224 or24 0r2 .Задача 1.8. Тонкий стержень длиной L = 1 м равномерно заряжензарядом q = 1 нКл.

Определить напряженность поля этого заряда вточке А, расположенной на оси стержня на расстоянии d = L = 1 м отего конца (рис.1.13).РешениеЗаряд на стержне неточечный.dxxИспользовать теорему Гаусса весьмасложно (нет полной симметрии). Для xAрешения задачи используем формулуLd=Lнапряженности точечного заряда (1.5) ипринцип суперпозиции (1.6).Рис. 1.13Разделим стержень на столь малыеучастки, чтобы каждый из них можно было принять за материальнуюточку. Поэтому заряд, расположенный на таком участке, можносчитать точечным, и для его поля справедлива формула (1.5).Рассмотрим один такой участок длиной dx, отстоящий от точки А нарасстоянии х. Заряд этого участка точечный и равенqdx.dqLЗаряд dq создает электрическое поле, напряженность dE которогов точке А может быть определена по формулеdqqdx.dE24 0x4 0Lx 2Вектора dEi от всех элементарных участков направлены в однусторону.

Поэтому геометрическое их суммирование по принципусуперпозиции (1.6) заменяется алгебраическим.Интегрируя полученное выражение по х, получаем искомуюнапряженность поля в точке А.d LEdqdx4 0Lx 2q4d L1( )x d0L4qL)0 d( d4,5 В/м.Задача 1.9. Полуокружность радиусом R = 2 м равномернозаряжена зарядом q = 1 нКл. Определить напряженностьэлектрического поля, созданного этим зарядом в геометрическомцентре полуокружности (точка А) (рис.1.14).18РешениеЗарядq,находящийсянаqполуокружностинеточечный,ибоонdqdE2расположен на теле, размеры которого RсравнимысрасстояниемR, Oрассматриваемом в данной задаче.

Поэтомуxформулу (1.5) использовать нельзя. ТеоремаRdE1Гаусса бесперспективна.Разделим полуокружность на стольРис. 1.14малые дуги длиной dL, чтобы зарядqdqdL каждой такой элементарной дуги был точечным.RРассмотрим один такой точечный заряд.Он создает электрическое поле, вектор напряженности dEкоторого в точке А составляет уголс осью ОX. Очевидно, чтолюбому элементарному заряду в верхней полуплоскости найдетсясимметрично расположенный зарядв нижней полуплоскости.Геометрическая сумма векторов dE1 и dE2 - вектор, направленныйвдоль оси ОX.Следовательно, при суммировании необходимо учитывать толькопроекции элементарных векторов напряженности на ось ОX:dE xdqcos4 0R 2dE1 cosq cos dL.4 2 0R 3Далее необходимо выбрать переменную интегрирования.Положение точечного заряда на полуокружности определяется углом, поэтому угол и выберем в качестве переменной интегрирования.Выразим длину дуги окружности dL через угол .dLRd .Тогда проекция вектора напряженности на ось OX будет выраженачерез переменную dq cos d.dE x4 2 0R2Интегрируя это выражение по углу, получаем искомуюнапряженность поля в точке А:2Eq4220R2cos dq420R2sinq222220R1,4 В/м .19Задача 1.10.

Определить напряженность поляотрезка, равномерно заряженного с линейнойплотностью , в точке О, удаленной от отрезка нарасстояние r 0. Углы 1 и 2 заданы (рис.1.15).Решение2DРазделим отрезок на столь малые элементы,чтобы заряд, находящийся на каждом такомэлементе, был точечным. Рассмотрим один такойэлемент АВ длиной dL с зарядом dq (рис.1.16).dqВточкенапряженность(рис.1.16) равнаdEОполяdq4 0r 2dL .элементарнаяэтогозарядаdL.4 0r 2BdLAO1r0Рис. 1.15CdrODdExxr0dEВыразим dE как функцию переменнойdEy yугла .

Из треугольника ADO находимРис. 1.16r r0 / cos .Проведем дугу АС радиусом r с центром в точке О.Образовавшийся элементарный криволинейный треугольник АВСявляется прямоугольным, причем угол ВАС равен . Так какAC r dr0d / cos ,то из треугольника АВС определяем гипотенузу АВ = dLdL AC / cosr0 d / cos 2 .Подставляя значения r из и dL в выражение для напряженностиdE, получаемr0d cos 2ddE.224 0 cosr0 4 0r0Далее находим проекции вектора dE на оси ОX и ОY (рис.1.16)cos dsin ddE x dE cos, dE Y dE sin,4 0r04 0r0Отсюда после интегрирования определяем компоненты искомоговектора E2EX1cos d=44 0r00 r0(sin1sin2 ) ),202EY1sin d=44 0r00 r0(cos1cos2).В частном случае (- 1 = – /2, 2 = + /2) можно получить формулу(1.16) для напряженности поля, создаваемого прямой бесконечнойнитью, равномерно заряженной с линейной плотностью .Получив выражения для напряженностей полей отрезка и нити,можно решить десятки задач на расчет поля, созданного различнымикомбинациями равномерно заряженных отрезков, бесконечных иполубесконечных нитей (поле “треугольника”, “квадрата”, “угла” ит.д.).Задачи для самостоятельного решения1.11.

Два шарика с массами m = 0,1 г каждый подвешены в однойточке на нитях длиной L = 20 см каждая. Получив одинаковый заряд,шарики разошлись так, что нити образовали между собой угол= 60 . Найти заряд каждого шарика.1.12. Два положительных точечных заряда q и 4q закреплены нарасстоянии L = 60 см друг от друга. Определить, в какой точке напрямой, проходящей через заряды, следует поместить третий зарядтак, чтобы он находился в равновесии. Какой знак должен иметь этотзаряд, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещениевозможно только вдоль прямой, проходящей через заряды.1.13.

Расстояние между двумя точечными зарядамиq1 = 1 мкКл иq2 = -1 мкКл равно d = 10 см. Определить силу F , действующую наточечный заряд q = 0,1 мкКл, удаленный на r1 = 6 см от первого иr2 = 8 см от второго заряда.1.14. В вершинах шестиугольника со стороной a = 10 смрасположены точечные заряды q, 2q, 3q, 4q, 5q, 6q (q = 0,1 мкКл).Найти силу, действующую на заряд q, лежащий в плоскостишестиугольника и равноудаленный от его вершин.1.15. Два одинаковых металлических заряженных шара находятсяна расстоянии r = 30 см.

Сила притяжения шаров F1 = 90 мкН. Послетого, как шары были приведены в соприкосновение и удалены друг отдруга на прежнее расстояние, они стали отталкиваться с силой F2 =160 мкН. Определить заряды q1 и q2, которые были на шарах досоприкосновения.1.16. В вершинах квадрата находятся одинаковые зарядыq = 0,3 нКл каждый. Какой отрицательный заряд q1 нужно поместить вцентре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительныхзарядов была уравновешена силой притяжения отрицательногозаряда.211.17.

Сила взаимного гравитационного притяжения двух водяныходинаковозаряженныхкапельуравновешиваетсясилойэлектростатического отталкивания. Определить заряд капель, если ихрадиусы равны R = 1,5.10–4 м.1.18. Два шарика в вакууме взаимодействуют с такой же силой нарасстоянии r1 = 11 см, как в скипидаре на расстоянии r2 = 7,4 см.Определить диэлектрическую проницаемость скипидара.1.19. Три одинаковых заряда q расположены в вершинахравностороннего треугольника. Какой заряд q1 нужно поместить вцентреэтоготреугольника,чтобырезультирующаясила,действующая на каждый заряд, была равна нулю.1.20.

Шарик массой m = 50 мг подвешен на непроводящей нити иимеет заряд q = 10–8 Кл. На расстоянии L = 32 см от него снизуподносится другой шарик. Каким должен быть заряд этого шарика,чтобы натяжение нити увеличилось в n = 2 раза?1.21. У основания гладкой наклонной плоскости с углом наклона кгоризонту= 300 закреплен заряженный шарик. Второй шарик,одноименно заряженный с первым, находится в равновесии наплоскости. Во сколько раз изменится расстояние между шариками,если угол наклонно плоскости увеличить в два раза?1.22. Три одинаковых шарика, расположенные на однойгоризонтальнойпрямой,соединеныдвумяодинаковыминепроводящими пружинами жесткостью k каждая.

Расстояние междукрайними шариками равно L0. Всем шарикам были сообщеныодинаковые по величине и знаку заряды. При этом расстояние междукрайними шариками стало равно L. Определить величину зарядакаждого шарика.1.23. Чтобы измерить ускорение свободного падения в данномместе поступили следующим образом. В одной и той же точке нанитях с одинаковой длиной L = 1 м подвесили два одинаковых шарикамассой m = 4,5 10–4 кг. Шарикам сообщили одинаковые зарядыq = 10–6 Кл. При этом угол между нитями стал прямым. Определить поэтим данным ускорение свободного падения в данном месте.1.24. Металлическое кольцо радиусом R несет на себеэлектрический заряд q.

При этом натяжение проволоки, из которойсделано кольцо, равно Т. Какой заряд Q нужно поместить в центркольца, чтобы оно разорвалось? Проволока выдерживаетмаксимальное натяжение Т0.1.25. В центр металлического кольца радиусом R и зарядом Qпоместили точечный заряд q. На сколько при этом изменилась силанатяжения кольца?221.26.

Два небольших одинаково заряженных шарика, каждыймассы m, подвешены к одной точке на шелковых нитях длиной L.Расстояние между шариками x<<L. Найти скорость утечки зарядовdq/dt с каждого шарика, если скорость их сближения меняется по/ x , где - постоянная.закону v1.27. Два точечных заряда q1 = 2q и q2 = –q находятся нарасстоянии d друг от друга. Найти положение точки на прямой,проходящей через эти заряды, напряженность поля в которой равнанулю.1.28. Найти напряженность электрического поля в точке, лежащейпосередине между зарядами q1 = 8 нКл и q2 = –6 нКл, расстояниемежду которыми равно L = 10 см.1.29. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами q1 =30 нКл и q2 = –10 нКл.