1589806164-1a1a56808b8ec06d2ecaff7ccac4c5cb (Практический курс физики ЭЛЕКТРИЧЕСТВО Под редакцией проф. Г.Г. Спирина), страница 2

1.4E S cosEn cos .(1.8)где En E cos - проекция вектора E на направление нормали.Если поле неоднородно и поверхность S, через которую ищутпоток, не плоская, то поверхность S разбивают на бесконечно малыеплоские элементы dS, так что поле, пронизывающее этим элементы –однородное. Элементарный поток через такую площадку равенПолныйпотокчерезпроизвольнуюdФE E dS cosEndS .поверхность S равенФEdФSE cos dSSEndS .(1.9)SДля расчета полей, созданных неточечными зарядами,расположенными на телах, правильной геометрической формы,применяется теорема Остроградского- Гаусса: в вакууме потоквектора напряженностичерез произвольную замкнутуюEповерхность равен алгебраической сумме электрических зарядов,заключенных внутри этой поверхности, деленной на 0 .ФEdФS1Nqi .(1.10)0 i 1При распределении электрических зарядов на линии вводитсяпонятие линейной плотности электрических зарядов (или , или ).По определениюq dqlim.(1.11)L 0 LdLПри распределении электрических зарядов на поверхностивводят понятие поверхностной плотности электрических зарядов.

По определениюq dqlim.(1.12)S 0 SdS9При распределении электрических зарядов по некоторому объемуиспользуют понятие объемной плотности электрических зарядов .По определениюq dq.(1.13)limV 0 VdVПрименение теоремы Гаусса в случае, если в системе зарядовимеется плоская, цилиндрическая или сферическая симметрия даетследующие результаты для вакуума ( = 1).Напряженность поля одной бесконечной плоскости, равномернозаряженной с поверхностной плотностью электрического зарядаE2.(1.14)0Напряженность поля двух параллельных бесконечных плоскостей,равномерно заряженных с поверхностными плотностями электрическогозаряда + и - находят, используя принцип суперпозиции полейE.(1.15)oНапряженность поля прямой бесконечной нити, равномернозаряженной с линейной плотностью заряда в точке, отстоящей отнити на расстоянии rE20r.(1.16)Напряженность поля вне шара (или сферы), равномернозаряженного зарядом q в точке, расположенной на расстоянии r отего центра,q.(1.17)E4 0r 2Напряженность поля внутри шара, радиусом R, равномернозаряженного зарядом q, в точке, расположенной на расстоянии r<R отего центраq(1.18)Er.4 0R3Итак, основной задачей в электростатике являетсярасчет поля.Если напряженность электростатическогополя E известна, то из (1.3)можно определить силу F , действующую на заряд q 0, находящийся вэтом поле.(1.19)F qoE .Зная силу F , действующую на заряд q 0, можно рассмотретьдинамическуюзадачунадвижениеэтогозарядавэлектростатическом поле.10Для изотропных диэлектриков вводят вектор электрическогосмещения D, который связан с вектором напряженностиэлектрического поля соотношением(1.20)DoE ,где - диэлектрическая проницаемость среды, которая показывает восколько раз поле в среде меньше поля в вакууме.Еще раз подчеркнем, что для расчета напряженности поля назаряженных телах правильной геометрической формы используетсятеорема Гаусса (1.10).Для расчета напряженности поля на заряженных телахпроизвольной формы используется принцип суперпозиции (1.6)совместно с определением напряженности точечного заряда (1.5).Примеры решения задачЗадача 1.1.

Рассчитать напряженность поля точечного диполя вточке А, расположенной на оси диполя на расстоянии r от его центра,и в точке В, находящейся на перпендикуляре к оси диполя,проходящем через центр диполя О, также на расстоянии r от каждогозаряда диполя (рис.1.5).Решение+qOE1E1АE2E2-qrE2rВ Рис. 1.5Рис.1.5Так как диполь точечный, тоr>>L. Рассмотрим точку А. Поформуле (1.5) определяем модульвекторанапряженностиE1 ,создаваемогоположительнымзарядом в точке АqE14(r L / 2)2 ,0и модуль вектора напряженностиE1 , создаваемого отрицательным зарядом в той же точке АqE1.4 0 (r L / 2)2Используя принцип суперпозиции (1.6) и учитывая, что r>>L,находим модуль результирующего вектора E1 в точке АИли в векторном видегде pE1E1E1E12p,4 0r 32qL4 0r 3qL - электрический момент диполя.2p.4 0r 311Напряженность поля в точке В создается как положительным, таки отрицательным зарядами, величины напряженности поля которыхравныqE2 E24 0r 2 .Изгеометрических соображений (подобия треугольников)E2Lнаходим, что.

Следовательно, модуль результирующегоrE2вектора напряженности в точке В равенE2или в векторном видеE2qL4 0r 3p4p430r30r,.Задача 1.2.Два точечных положительных заряда q 1 и q 2находятся на расстоянии r друг от друга. Определить напряженностьполя этих зарядов в точке А, находящейся на расстоянии r 1 отпервого заряда и r 2 от второго.РешениеПоформуле(1.5)находимнапряженности точечных зарядов q1 иq2 в точке А:q1q2, E2.E124 0r14 0r22Модуль вектора результирующейнапряженностиопределимпотеореме косинусов из треугольникаАВСE2E12 E22 2E1E2 cos(180E2AEE1r1r2q1q2Рис.1.6),где уголАВС: r 2находится по той же теореме косинусов из треугольникаr12 r22 2r1r2 cos .E1 Задача 1.3.

Рассчитать напряженностьEполядвухбесконечныхплоскостей,+ 2Аравномерно заряженных с поверхностнойEплотностьюзаряда+ 1и+ 2,2пересекающихся под углом , в произвольной+ 1точке А (рис.1.7).Рис. 1.712РешениеНаходим напряженности плоскостей в точке А по формуле (1.14)1E12;E2022.0Результирующую напряженность в точке А находим по правилусложения двух векторов (диагональ АЕ параллелограмма,построенного на двух векторах E1 и E2 ). Так как вектор E1перпендикулярен плоскостиа вектор E2 перпендикулярен1,плоскости 2, то угол при вершине Е1 в треугольнике АЕ1Е равен .Тогда по теореме косинусов находимE2E12 E22 2E1E2 cos .Задача 1.4. Две прямые бесконечные параллельные нити,равномерно заряженные с линейной плотностью 1 = 5.10–9 Кл/м и.–9Кл/м, расположены на расстоянии r = 0,5 м друг от друга.2 = –5 10Найти напряженность электрического поля нитей в точке А,отстоящей от каждой нити на расстоянии r = 0,5 м (рис.1.8).РешениеВеличина напряженность поля от каждойнити определяется по формуле (1.16)E1E2Направления120rr.E1векторовE1 ,E2120r2E2rE2ирезультирующего вектора E показаны нарис.1.8.

Так как треугольник АЕ2Е равносторонний, тоEr1AEE1Рис. 1.8= 180 В/м.Задача 1.5.Два бесконечных тонкихцилиндра с радиусами R 1 = 40 см иR2= 80 см расположены коаксиально. Цилиндрыравномерно заряжены с поверхностной2плотностью заряда1 = 3 нКл/м и2= –1 нКл/м2 соответственно. Определитьнапряженности электрического поля цилиндровв трех точках А, В и С, расположенных нарасстояниях r 1 = 20 см, r 2 = 60 см, r 3 = 1 м, отобщей оси цилиндров (см. рис.1.9).1СВr1r2Аr32R2R1Рис.

1.913РешениеДля расчета напряженности поляцилиндровприменимтеоремуГаусса. Рассмотрим точку А. Сначаланеобходимо построить замкнутуюповерхность, проходящую через этуточку. В силу симметрии задачи такойповерхностьюявляетсяцилиндрпроизвольной высоты L, радиускоторого равен r 1 = 20 см, а осьсовпадает с общей осью цилиндров(рис.1.10). Определим поток ФE1nCBAr1EnLR1R2через эту поверхность по формулеРис. 1.10(1.8)ФE1 E1S1 cos ,где α-угол между вектором E1 и нормалью к поверхности n , S1 –площадь боковойповерхности цилиндра.Вектор E1 в любой точке построенной замкнутой поверхности(цилиндр радиусом r 1) перпендикулярен лишь боковой поверхности1.этого цилиндра. Угол α между векторами E1 и n равен нулю, cosТогда поток вектора напряженности через боковуюповерхностьцилиндра равен ФE1 E1 2 r1L .

Поток вектора E1 через основанияцилиндра равен нулю т.к. угол между нормалью к основанию90 0 .цилиндра и вектором напряженности равенДалее необходимо определить алгебраическую сумму зарядов,находящихся внутри построенной замкнутой поверхности. Но внутрицилиндра радиусом основания r1 зарядов нетqi0.Тогда по теореме Гаусса (1.10) получаемE1 2 r1 L 0 ,таким образом E1 0 .Рассмотрим точку В. Снова строим замкнутую поверхность,проходящую через эту точку. В силу симметрии задачи это цилиндррадиусом r2 = 60 см и произвольной высотой L, ось которого совпадает собщей осью цилиндров. Находим поток ФE2 через эту поверхностьФE2E2S2 cosE2 2 r2 L .Внутри построенной замкнутой поверхности (цилиндр радиусом r 2и высотой L) электрический заряд q 2 располагается на поверхностицилиндра радиусом R 1 и высотой L.

Используя (1.12), находим14qiq22 R1L1.Используя теорему Гаусса (1.10), получаем2 R1L 1E 2 2 r2L,0следовательно, напряженность E2 равна1R1E2226 В/м.0 r2Для точки С также строим замкнутую поверхность (цилиндррадиусом r 3 = 1 м и высотой L, ось которого совпадает с общей осьюцилиндров) и определяем потокФE3 E3 2 r3 L .Заряды внутри этой поверхности располагаются на поверхностицилиндра радиусом R 1 и высотой L и на поверхности второгоцилиндра радиусом R 2 и высотой L. Общий заряд (их алгебраическаясумма)qi 2 R1L 1 2 R 2L 2 ,здесь 1 и 2 входят со своими знаками.Далее по теореме Гаусса находим2 L ( 1R1E 3 2 r3L2R2 ),0отсюда напряженность в точке С равна1R12R 2E30r345 В/м.Задача 1.6. Полый шар из диэлектрика ( = 1) с внутреннимрадиусом R 1 и внешним R 2 равномерно заряжен с объемнойплотностью .

Найти напряженность электрического поля пологошара в четырех точках А, В, С и D, расположенных соответственно нарасстояниях: r 1<R 1; R 1<r 2<R 2; r 3 = R 2; r 4>R 2 (рис. 1.11).РешениеДля расчета напряженностей используемтеорему Гаусса. В силу симметрии задачи вовсех случаях замкнутые поверхности - этосферы соответствующих радиусов с общимцентром в точке О (рис.1.11.). Очевидно, чтонапряженность в точке А равна нулю, т.к.заряда внутри сферы радиусом r1<R1 нетE1 0 .Рассмотрим точку В. Построим замкнутуюповерхность, проходящую через эту точкуС DВr 4 r3r2Аr1R1Рис. 1.11R215(сфера радиусом r 2 причем R 1<r 2<R 2). Потокчерез этуФE2поверхностьФE22E2 4 r2 .E2S2Далее находим заряд q 2 внутри этой поверхности.

Онсосредоточен в шаровом слое толщиной (r 2 - R 1). Учитывая (1.13),определяемq2( Vr2 VR1 ) ,4 34 3r2 - объем шара радиусом r 2; VR1R1 - объем шара33радиусом R 1: ( Vr2 - VR1 ) - объем шарового слоя толщиной (r 2 - R 1).где Vr2Таким образом, заряд q2 равен433433(r2 R1 ).3Подставляем значение потока ФE2 и заряда q2 в теорему Гауссаqiq2(1.10), получаем(r2 R1 ),3 0отсюда значение напряженности E2 равноE2 4 r223E23R1(r2r202).Для точки С, после проведения тех же операций, что и для точкиВ, находимE3(R 32R13 )3 0R 22.Точно так же для точки D можно определить напряженность E43E43(R2 R1 ).3 0r42Задача 1.7.Сплошной шар издиэлектрика (= 1) радиусом Rнеравномерно заряжен так, что в любойего точке, отстоящей от центра шара Она расстоянии r, объемная плотностьзаряда = /r, где = const.