1589806164-1a1a56808b8ec06d2ecaff7ccac4c5cb (Практический курс физики ЭЛЕКТРИЧЕСТВО Под редакцией проф. Г.Г. Спирина), страница 10

По теореме Гаусса (3.16) и (3.14) находимнапряженности Е01, Е02 и Е03 в точках А, В и Сq1q2 q1Е01 = 0; Е02 =;Е=.034 0 r224 0r32Для нахождения потенциала воспользуемся формулой связи Е и(2.12). Потенциал на поверхности второй сферы 03 известен, т.к. онсоздается только свободными зарядами q1 и q2.q q1(R2) = 2.4 0R 2Интегрируя выражение для Е02 по r в пределах от r2 до R2, иучитывая значение (R2), получаемq1q1(R2) – (r2) =–.4 0 r2 4 0 R 2Отсюда определяем (r2) = 02q1q2( 1)q1–+,02 = –4 0 r2 4 0 R 2 4 0R 2что совпадает с результатом, полученным методом суперпозиции.Интегрируя Е02 в пределах от R1 до r2, находимq1q1(r2) – (R1) =–.4 0 r24 0 R1Отсюда определяем (R1) = 01.q2( 1)q1q1–+,01 =4 0 R 2 4 0R 24 0 R1что совпадает с результатом, полученным методом суперпозиции.Задача 3.5.

Точечный заряд q = +2.10–8 Кл находится на расстоянииL = 1 м от бесконечной заземленной металлической плоскости (рис.3.6).Определить силу взаимодействия между зарядом и плоскостью.РешениеДля решения задачи применим методзеркальных изображений, который основан +qна следующем положении.

Если вLпроизвольном электростатическом поле=0заменить эквипотенциальную поверхностьOметаллической поверхностью такой жеLформы и создать на ней такой жепотенциал, то данное электростатическое –qполе не изменится.Рис. 3.6Рассмотрим электрическое поле междуточечным зарядом +q и бесконечной металлической плоскостью,59потенциал которой= 0 (рис.3.6). В силу выше сформулированногоположения это поле эквивалентно электрическому полю, созданномуданным точечным зарядом +q и точечным зарядом –q, являющимсязеркальным изображением данного заряда +q в металлическойплоскости (рис.3.6).Металлическая плоскость находится в электростатическом полеточечного заряда. Вследствие явления электростатической индукциина стороне металлической плоскости, ближайшей к точечному заряду,появляются наведенные электрические заряды противоположногознака.

Поэтому возникает сила взаимодействия между даннымточечным зарядом и зарядами, наведенными на плоскости.Потенциал заземленной плоскости равен нулю. Следовательно,согласно методу зеркального изображения, электрическое полемежду точечным зарядом и плоскостью эквивалентно полю,созданному данным зарядом +q и его зеркальным изображением вметаллической плоскости –q. По закону Кулона сила взаимодействияq2F9 10 7 H.24 0 (2L)Задача 3.6.В условиях задачи 3.5определить плотностьнаведенныххзарядов на плоскости в точке А, отстоящейот точки О на расстоянии ОА = х (рис.3.7).qLРешениеИз рис.3.7видно, что вектор результирующегополя E1 направлен вдоль оси АY и равенE1 = 2E+sin , где E+ напряженность полязаряда +q в точке А, равнаяqE+ =.4 0 (L2 x 2 )O=0LqxxEEEYРис.

3.7x2 , то для напряженности E1 получаем2qLЕ1 =.322 24 0 (Lx )Так как sin = L / L2Учитывая, что поле Е2 наведенных зарядов внутри плоскости Е2 =x,0а также что Е1 = Е2, находим искомую плотностьзарядов на плоскости в точке А2qL.х=322 24 (L x )хнаведенных60При x = 0 получим плотность заряда в точке О, которая лежит налинии, соединяющей данный точечный заряд и его изображение вплоскости2q.04 L2Задача 3.7.

Определить емкость уединенногошарового проводника радиусом R 1, окруженногоприлегающим к нему концентрическим слоемоднородного диэлектрика с проницаемостьюинаружным радиусом R 2 (рис.3.8).РешениеR2R1..О..Рис. 3.8Сообщим шаровому проводнику заряд q. Тогдавне и на поверхности проводника возникаетэлектрическое поле. Зная потенциал проводника (R 1), по (3.21)можно найти емкость С.По теореме Гаусса при R 2>r>R 1:D 4 r2 q .Следовательно, напряженность поля в диэлектрике (по 3.14)qЕ =.4 0 r2По формуле связи напряженности и потенциала (2.15) послеинтегрирования получаем распределение потенциала в диэлектрикеqqdr==+ сonst.4 0 r2 4 0 rПостояннуюинтегрированияconstнайдемизусловияq(R2) =, то есть4 0R 2qq=+ const.4 0R 2 4 0 R 2Следовательноq( 1)const =.4 0 R2Окончательное распределение потенциала в диэлектрикеq11(r) =.4 0 r R2Используяусловие непрерывности потенциала, находимпотенциал (R 1) шарового проводника(R1) =q401R11R2,61и его емкость4 0 R1q=.R1( 1)(R1 )1R2При R 2из полученного выражения получаем C 4 0 R1 , т.е.емкость шара радиусом R 1, погруженного в однородную бесконечнуюсреду с диэлектрической проницаемостью .C=Задача 3.8.

Определить емкость сферическогоконденсатора с радиусами обкладок R1 и R2 (R2>R1),который заполнен изотропным диэлектриком спроницаемостью, изменяющейся по закону = а/r2,где а - постоянная, r - расстояние от центраконденсатора (рис.3.9).РешениеСообщив внутренней обкладке заряд q, потеореме Гаусса рассчитаем напряженность полявнутри диэлектрикаqqЕ==24 0a4 0 rи разность потенциаловR2R1..О.=а/r2.Рис. 3.9между обкладкамиR2=R1qqdr(R 2=4 0a 4 0 aR1 ) .Следовательно, емкость такого сферического конденсатора равна4 0aqС==.R 2 R1Задача 3.9.

В вершинах равностороннего треугольника состороной а находятся три одинаковых точечных заряда. Во сколькораз потенциальная энергия этой системы зарядов большепотенциальной энергии двух таких же зарядов, находящихся нарасстоянии а друг от друга?РешениеПо (3.29) находим энергию взаимодействия двух точечных зарядовq2W2 =.4 0aИз (3.30) определяем энергию взаимодействия трех точечных зарядов31q i.W3 =2i 162Учитывая, чтоi=2q40a- потенциал, созданный двумя зарядами,в точке, где располагается i заряд, получаем3q 2W3=.4 aНаходим теперь отношение энергий W3/W2 = 3.Задача 3.10.Сфера, равномернозаряженная зарядом q, и тонкий однородныйqстержень длиной L, равномерно заряженныйс линейной плотностью , расположены так, Oчто один из концов стержня находится нарасстоянии х0 от центра сферы О.

Определитьвзаимную потенциальную энергию сферы истержня (рис.3.10).х0LdqХхdхРис. 3.10РешениеЗаряд стержня неточечный. Поэтому разделим стержень на стольмалые участки, чтобы заряд каждого участка был точечным.Рассмотрим один такой участок длиной dx, расположенный нарасстоянии х от центра сферы. Заряд этого участка dq = dx.Этот заряд находится в точке, потенциал которой равенq=.4 0xТогда по (3.28) потенциальная энергия сферы и элементарногозаряда равнаq dxdW = dq =.4 0xИнтегрируя это выражение по х от х 0 до х 0+L, получаемx0 Lx0 Lqq dxqLln xln 1W===.4 0x04 0x 4 0x0x0Задача 3.11. Точечный заряд q = 1 нКлрасположен в вакууме.

Определить энергию поляэтого заряда, сосредоточенную в шаровом слоетолщиной от R1 = R = 10 см до R2 = 2R = 20 см.Сравнить эту энергию с энергией поля точечногозаряда в шаровом слое толщиной от R2 = 2R = 20см до R3 = 3R = 30 см. (рис.3.11).РешениеНапряженность поля точечного зарядаR2R1 rqdrR3Рис.

3.1163qE=.4 0r 2Объемы шаровых слоев известны44 3R ;[( 2R)3 R 3 ] = 7.V12 =3344 3[(3R)3 (2R)3 ] = 19.R .V23 =33Энергию шарового слоя будем искать по формуле (3.33) длянеоднородного поля. Разделим шаровой слой на узкие элементарныеслои. Энергия одного такого шарового слоя радиусом r и толщиной dr.dW = w.dV,где плотность энергии w, равнаw=0E22=02 42q0r2а объем слоя dV = 4 r2dr.Таким образом, энергия узкого шарового слоя равнаq2 drdW =.2 4 0r 2Интегрируя это выражение по r в пределах от R до 2R и от 2R до3R, находим энергии в первом и втором слоях:2R2Rq2 drq21q2W12 ==== 2,25.10–8 Дж;22 4 0r4 4 0R2 4 0rRRq2.12 4 0RОтношение энергий равноW12 W23 3 .W23 =Задачи для самостоятельного решения3.12. Расстояние между зарядами диполя q = 3,2 нКл равноL = 0,12 м.

Найти напряженность Е и потенциал поля, созданногодиполем в точке, удаленной на расстояние r = 0,08 м как от первого,так и от второго заряда.3.13. По тонкому кольцу радиусом R распределен равномернозаряд –q. В центре кольца расположен точечный заряд +q. Чемуравен электрический дипольный момент p этой системы зарядов?3.14.

Диполь с электрическим моментом р = 100 пКл м свободноустанавливается в однородном электрическом поле, напряженностькоторого равна Е = 9 МВ/м. Диполь повернули на малый угол и64предоставили самому себе. Определить частоту собственныхколебаний диполя в электрическом поле. Момент инерции диполяотносительно оси, проходящей через центр диполя J = 4.10–12 кг.м2.3.15. Диполь с электрическим моментом р = 100 пКл м свободноустанавливается в однородном электрическом поле напряженностьюЕ = 150 кВ/м.

Вычислить работу А, необходимую для того, чтобыповернуть диполь на угол = 1800.3.16. Точечный диполь с электрическим моментом р = 10–8 Кл мнаходится на биссектрисе прямого двугранного угла между двумяпроводящими плоскостями на расстоянии L = 10 см от вершины угла.Ось диполя ориентирована вдоль биссектрисы угла. Определитьпотенциал поля точки, в которой находится диполь.3.17. Два диполя с электрическими моментами р1 = 1 пКл м ир2 = 4 пКл м находятся на расстоянии r = 2 см друг от друга.

Найтисилу их взаимодействия, если оси диполей лежат на одной прямой.3.18. В поле точечного заряда q на расстоянии r от него помещенсвободно ориентированный точечный диполь с электрическиммоментом р. Найти модуль силы, действующей на диполь.3.19. Диполь с электрическим моментом р = 4 пКл м свободноустановился в поле точечного заряда q = 100 нКл на расстоянииr = 10 см от него. Определить для этой точки величину dE / dr ,характеризующую степень неоднородности поля в направлениисиловой линии, и силу F, действующую на диполь.3.20. Две бесконечные плоскости заряжены одинаковым зарядом споверхностной плотностью заряда= 100 нКл/м2.