2sem_8 (лекции по молекулярной физике)

1МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКАГлава 5. Явления переноса.До сих пор мы почти всегда рассматривали системы, находящиеся в состоянии термодинамического, илистатистического равновесия. Однако, несмотря на безусловно важную роль равновесных состояний, они все жепредставляют собой особый случай. Во многих задачах, представляющих огромный физический интерес, мыимеем дело с системами, не находящимися в равновесных состояниях.Наука, изучающая процессы, идущие при нарушении равновесия, называется физической кинетикой.Физическая кинетика рассматривает необратимые процессы в телах, протекающие с конечными скоростями.Рассмотрение неравновесных процессов, приводящих систему в состояние равновесия, представляет собойвесьма сложную задачу. Поэтому мы подойдем к рассмотрению проблемы с помощью простейшихприближенных методов, выбрав в качестве объекта исследования разреженный газ.

Тем не менее, такой подходпозволяет получить ясное представление о физической сути явлений. Более того, оказывается, что полученныетаким образом результаты могут быть применены к рассмотрению неравновесных процессов в системах,находящихся в других фазовых состояниях (например, твердых телах), и с их помощью удается получитьхорошие численные оценки в тех случаях, когда точные вычисления становятся весьма затруднительными.Процессы, протекающие в неравновесных системах, называются процессами переноса.Сущность процессов переноса – стремление системы достичь равновесного состояния. Характеристикойскорости процессов переноса является время релаксации – время, в течение которого система достигаетравновесного состояния (время термолизации - время, за которое система возвращается к распределениюМаксвелла).Мы будем рассматривать явления переноса только при малых отклонениях системы от равновесногосостояния.

Явления переноса можно классифицировать следующим образом:а) внутреннее трение или вязкость - перенос импульса;б) теплопроводность - перенос кинетической энергии (тепла);в) диффузия - перенос массы.Вообще говоря, явления переноса объединяют более широкий класс процессов. К ним также относится,например, перенос электрического заряда под действием внешнего электрического поля, называемыйэлектропроводностью. Однако электропроводность, как и некоторые другие явления переноса, составляют темуотдельного обсуждения, которое будет проведено в следующем разделе курса.Целью нашего рассмотрения является получение уравнений, описывающих протекание процессов встатистически неравновесных системах, состоящих из нейтральных атомов или молекул.

При решении этихзадач физическая кинетика исходит из представлений о молекулярном строении рассматриваемых сред ихарактере взаимодействия между частицами. Введем основные понятия, необходимые для количественногоописания рассматриваемых явлений.5.1. Эффективное сечение и длина свободного пробега.1.1. Эффективное сечение.Молекулы газа не все время движутся свободно, а сталкиваются с другими молекулами, в результате чегоизменяют направление движения. Столкновения могут приводить и к другим последствиям, например,ионизация, реакция, возбуждение и девозбуждение и т.д.Для описания вероятности столкновения с определенным результатом вводится эффективное сечение σ.Будем считать падающую частицу точечной, а частицу мишени имеющей такие размеры, чтомаксимальная площадь, перпендикулярная направлению падающей частицы, равной σ.

Это воображаемаяплощадь, а не геометрическая. Она подбирается такой, чтобы вероятность рассматриваемого результатастолкновения была равна вероятности того, что падающая частица, двигаясь прямолинейно без взаимодействияс другими частицами, попадет в площадку σ.Ранее в курсе механики мы вводили понятие эффективного дифференциального сеченияdσ =dNn0 v(1.1)как отношения числа частиц dN , рассеянных в углы от ϑ до ϑ + dϑ , к плотности потока nv падающихчастиц (интенсивности пучка).

Так, для дифференциального сечения рассеяния на твердом шаре получали:dσ =π R022Sinϑ dϑ ,(1.2)2а полное сечение рассеяния (выбывания частицы из начального пучка) равнялось:σ = π R02 ,(1.3)где R0 − радиус твердого шара.R эфф = dРис.1В нашем случае молекулы газа также имеют размеры, которые можнозадать введением некоторого параметра.

Введем понятие эффективногодиаметра молекулы по аналогии с радиусом эффективного твердого шараd = Rэфф , на котором рассеивается молекула, рассматриваемая какматериальная точка.Как видно из рисунка 2 , эффективный диаметр молекулы d уменьшается сростом температуры, но это изменение сравнительно мало. Поэтому можно записать эффективное сечениерассеяния молекул аналогично рассеянию на твердом шаре:σ = πd 2U (r )(1.4)Поскольку в объеме, в котором движется молекуласодержится не одна, а много других молекул газа, тонадо определить вероятность столкновениярассматриваемой молекулы с одной из молекул,оказывающихся на пути её движения.Пусть концентрация молекул мишени равна n0 .W2 = const 2 (~ T2 )Тогда на пути dx в объеме с поперечным сечением Sсодержится n0 Sdx молекул мишени.W1 = const1 (~ T1 )r0d2rВ этом случае суммарное сечение рассеяния равноdS = σ ⋅ n0 Sdx .Поэтому вероятность того, что частица попадетв одну из молекул мишени, т.е.

рассеетсяd1dP =Рис.2dS= σ ⋅ n0 dx .S(1.5)1.2. Длина свободного пробега. Распределение по длинам свободного пробега.Длина свободного пробега – это путь, который проходит молекула за время между двумя последовательнымистолкновениями.Используя выражение (1.5), можно провести сравнительно простое рассуждение, позволяющее определитьсреднюю длину свободного пробега молекулы.Эффективное сечение σ и концентрация частиц n0 не зависят от координаты x , поэтому вероятностьстолкновения растет пропорционально x . Длина пути, на которой вероятность столкновения рассматриваемоймолекулы с другими молекулами газа P равна единице, и есть средняя длина свободного пробегаσ ⋅ n0 λ = 1 ,(1.6)откуда имеем для средней длины свободного пробега, обозначаемой1λ=.σn 0λ:(1.7)Поскольку каждая молекула движется хаотически, а все молекулы газа статистически распределены пообъему, то иногда молекуле между двумя последовательными соударениями удается преодолеть довольнобольшое расстояние, в других случаях это расстояние может быть весьма малым.

Т.о., длина свободногопробега является случайной величиной и должна подчиняться статистическим закономерностям.Найдем распределение по длинам свободного пробега и среднюю длину свободного пробега молекулы,используя методы статистической физики.x0ll + dlОпределим число частиц в пучке, которые испыталистолкновение с молекулами мишени на промежутке от lдо l + dl .Пусть число частиц, которые пролетели расстояние l безстолкновения равно N , а расстояние l + dl → N − dN .Тогда относительное число частиц, «выбывших» из пучка,NN − dNN03равноdN= −σ ⋅ n0 dlN(1.8)Знак “минус” в формуле (1.8) показывает, что число частиц в пучке убывает с ростом l .Обозначимλ = 1σn0.ТогдаdNdl=−λNИнтегрируем (1.8) с учетом того, что число падающих на мишень частиц (при x = 0 ) равно N 0 .Получаем−lN = N 0 e λ = N 0 exp(− n0σ ⋅ l )(1.9)Формула (1.9) определяет число молекул N , проходящих путь l без столкновений.

Тогда вероятностьмолекуле пройти путь l , не испытав столкновений, равнаN (l ) l= exp − (1.10)P (l ) =N0 λЧтобы получить функцию распределения ρ (l ) запишем вероятность того, что частица испытает столкновениена участке от l до l + dl :N 0 exp − l ⋅ − dldNλλ = 1 exp − l  ⋅ dldP(l ) = −=−N0λN0 λ1 ldP(l ) = ρ (l )dl = exp −  ⋅ dl(1.11)λ λ()()Итак, плотность вероятностиρ (l ) =Условие нормировки записывается в виде:∞1λe−lλ(1.12)l l∫ dP(l ) = ∫ exp − λ d  λ  = 1(1.13)0Найдем среднюю длину свободного пробега.∞∞l1l − ll = ∫ l ⋅ dP(l ) = λ ∫  e λ d   = λ =n 0σλλ001l =λ =σn 0(1.14)Но этот результат справедлив в предположении, что все молекулы мишени неподвижны.1.3. Учет движения молекул мишени.Движение рассеиваемой молекулы можно представить как полет внутри некого туннеля – коленчатогоцилиндра.Объем коленчатого цилиндра (при l >> d ) равенπd 2 v ∆t .Число столкновений, которые испытаетинтересующая нас молекула, равно числу молекулмишени, попавших в объем такого цилиндра:ν = nπd 2 v ∆t ,где n − концентрация молекул газа.(1.15)4Если бы все молекулы в объеме были неподвижны, то под средней скоростью v следовало бы пониматьсреднюю скорость налетающей частицы.

Однако все молекулы газа находятся в непрерывном движении,поэтому среднюю скорость v следует рассматривать как среднюю скорость движения молекул относительнодруг друга, т.е. v отн . По определению относительная скорость равна:GG Gvотн = v 2 − v1 , vотн = v12 + v 22 − 2v1v 2 Cosϑ(1.16)G Gгде ϑ − угол между векторами скоростей v1 и v 2 (налетающей молекулы и молекулы-мишени).Чтобы найти среднее значение относительной скорости v отн , можно использовать распределениеМаксвелла по скоростям. Однако при этом придется производить довольно сложные вычисления, поэтому мывоспользуемся более простым приемом.GG2vотн= v12 + v 22 − 2 v1v 2 = 2 v 2 .GGПоскольку v1v 2 = v1v 2 cos α и все значения углаαравновероятны (скорости сталкивающихся молекулGGмогут быть с одинаковой вероятностью направлены под любым углом друг к другу), то v1v 2 = 0 .Далее, используя тот факт, что v ср.

кв . ~ v ср. , получимvотн = 2 v .Тогда число соударений, определяемое средней скоростью относительного движения молекул, за время ∆tбудет равноν = 2πd 2 v n0 ∆t .Средняя длина свободного пробега λ может быть представлена как отношение пути, пройденногомолекулой за время ∆t к числу столкновений с молекулами газа за тот же промежуток времени.λ=v ∆tνОтсюда средняя длина свободного пробега молекулы:1λ=2σn0=.(1.17)12πd 2 n0Примечание:1). Если температура постоянна T = const , то средняя длина свободного пробега λ ~n0 =p.kT( )1, т.к. плотностьp2).