2sem_6 (лекции по молекулярной физике)

15. Фазовое пространство. Функция распределения.5.1. Фазовое пространство.В статистической физике для описания поведения макроскопических систем вводят, так называемое,фазовое пространство.Пусть состояние некоторой макроскопической механической системы в данный момент определяетсязначениями s координат qi и s соответствующих им импульсов pi (выбор импульсов, а не скоростей даетряд весьма существенных преимуществ), где индекс i пробегает значения 1,2,..., s . Говорят, что такаясистема обладает s степенями свободы.Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, с помощьюкоторых может быть задано положение системы.Многомерное пространство, осями которого служат все координаты (обобщенные координаты) qi иимпульсы pi ( i = 1,2,..., s ) механической системы с s степенями свободы, называется фазовымпространством.Различные состояния системы можно представить точками в фазовом пространстве, являющемся, конечно,чисто математической абстракцией.

При этом каждая система имеет свое собственное фазовое пространство,число измерений которого равно удвоенному числу её степеней свободы. Всякая точка фазового пространства,соответствуя определенным значениям координат системы qi и её импульсов pi , представляет определенноесостояние этой системы. С течением времени состояние системы изменяется, и, соответственно, изображающаясостояние системы точка фазового пространства (фазовая точка системы) будет описывать в нем некоторуюлинию, называемую фазовой траекторией.Например, для описания подсистемы, состоящей из одной частицы (молекулы) вводят 6-ти мерноепространство её координат и импульсов: x, y , z , p x , p y , p z .

Таким образом, эти шесть величин задаютположение частицы и ее состояние.z( x, y , z )yxp z (v z )(p , pxp x (v x )y, pz )p y (v y )Если система состоит из 2-х молекул, то их состояние задается 6 + 6 = 12 величинами, т.е. для такойподсистемы мы уже имеем 12-ти мерное фазовое пространство.Итак, каждая система имеет свое фазовое пространство.Вероятность реализации различных состояний системы есть функция координат и импульсов этой системы.Поскольку координаты и импульсы частиц системы меняются непрерывным образом, то фазовые точки,соответствующие изменению координат от qi до q i + dqi и импульсов в пределах от pi а до pi + dpi , лежатв бесконечно малом элементе фазового пространства (фазовом объеме) dΓ = dΓq ⋅ dΓ p (произведениекоординатной и импульсной частей объема).Например, для одной частицы элемент фазового объема равен dΓ = dx dy dz dp x dp y dp z .Для системы, состоящей из n частиц соответствующий элементарный фазовый объем:dΓ = dΓq ⋅ dΓ p = dx1 dy1 dz1 dx 2 dy 2 dz 2 ...

dp1x dp1 y dp1z dp2 x dp2 y dp2 z ... dp nx dp ny dp nz .(5.1)Найдем вероятность dP реализации состояний, изображаемых фазовыми точками этого элемента фазовогопространства, т.е. вероятность того, что координаты и импульсы частиц системы имеют значения, лежащие взаданных бесконечно малых интервалах qi ÷ qi + dqi и pi ÷ pi + dpi , соответственно.Рассмотрим эту задачу применительно к идеальному газу.Если пространство, в занимаемом газам объеме V однородно и изотропно, то вероятность нахождениячастицы в малом объеме ∆V = ∆x∆y∆z , принадлежащем объему V , в силу равновероятности нахождения2частицы в любой точке пространства, определяется как P ~∆V, где ∆V - координатная часть элементаVфазового пространства, V - весь объем.В идеальном газе можно следить за состоянием одной частицы вzтечение длительного времени (и определить ∆t i в каждом i − ом∆V=∆Γqсостоянии) или следить сразу за всем коллективом и считать, сколькочастиц попало в заданный элемент фазового объема в данный моментвремени.

Итак, для координатной части вероятность: dP ~ dxdydzy(если нет внешнего поля).xpzПри определении фазового объема необходимо помнить, что∆Γpэнергия замкнутой системы постоянна2pypxpW = const = ∑ i ,i 2m(5.2)и это условие накладывает ограничения на импульсную часть элементафазового объема.Искомую вероятность можно записать какdP = ρ (q1 , q 2 ,..., q s , p1 ,..., p s )dΓ ,(5.3)где функцию ρ ( q1 ,..., q s , p1 ,..., p s ) = ρ ( q, p ) = ρ , имеющую смысл плотности вероятности в фазовомпространстве, называют функцией статистического распределения (или функцией распределения) даннойсистемы.Такое определение вероятности справедливо для любой квазизамкнутой системы.Таким образом, наша задача теперь сводится к нахождению функции распределения ρ ( q, p ) .5.2. Свойства функции распределения.Рассмотрим основные свойства функции распределения.1) Функция распределения должна удовлетворять условию нормировки:∫ ρ ( p , q )dΓ = 1 ,(5.4)Γгде интегрирование ведется по всему фазовому объему.2) Средние значения определяются: если теперь имеем некоторую физическую величинуf ( p, q) = f ( x1 , y1 , z1 ,..., p1x , p1 y , p1z ,...) , то для среднего значения этой величины получаем:f = ∫ f ( p , q ) ρ ( p , q ) dΓ .(5.5)Γ3) Свойство стационарности.Предположим, что мы наблюдаем некоторую подсистему в течение весьма длительного промежуткавремени.

Разобьем этот промежуток времени на очень большое (в пределе бесконечное) количествоодинаковых малых интервалов, разделенных моментами времени t1 , t 2 ,... В каждый из этих моментоврассматриваемая подсистема изображается в её фазовом пространстве точками, скажем A1 , A2 ,...Совокупность полученных точек распределится в фазовом пространстве с плотностью (количество фазовыхточек в каждой единице объема этого пространства), пропорциональной значению функции распределенияρ ( p, q ) , определяющей вероятности различных состояний подсистемы.Однако вместо того, чтобы рассматривать точки, изображающие состояние одной подсистемы в различныемоменты времени t1 , t 2 ,... , можно формально ввести в рассмотрение очень большое число (в пределебесконечное – столько подсистем, сколько моментов времени t1 , t 2 ,...

) совершенно одинаковых подсистем,находящихся в некоторый момент времени в состояниях A1 , A2 ,...Т.е., вместо того, чтобы рассматривать состояние одной и той же подсистемы в разные моменты времени,можно рассматривать совокупность одинаковых подсистем (статистический ансамбль), находящихсяодновременно в разных состояниях, фазовые точки которых распределены в фазовом пространстве сообразно сфункцией распределения ρ ( p, q ) .Будем теперь следить за дальнейшим передвижением фазовых точек, изображающих состояния этихподсистем, в течение не слишком большого промежутка времени – такого, чтобы квазизамкнутую подсистемуможно было с достаточной точностью рассматривать как замкнутую.3Передвижение фазовых точек будет происходить согласно уравнениям механики, содержащим координатыи импульсы частиц подсистемы.По истечении времени ∆t состояния всех одновременно рассматриваемых подсистем изменятся всоответствии с законами механики, совпав при этом с состояниями исходной подсистемы в моменты t1 + ∆t ,t 2 + ∆t …, и поэтому будут изображены в фазовом пространстве точками, распределенными с той жеплотностью ρ ( p, q ) .

Т.е. обе совокупности точек подчиняются одной и той же функции распределения. Этосвойство квазизамкнутых систем называется свойством стационарности статистического распределения.Чисто формально это передвижение фазовых точек можно рассматривать как стационарное течениенесжимаемой жидкости в 2 s − мерном фазовом пространстве и применить к нему уравнение непрерывности,выражающее неизменность общего числа частиц (здесь – фазовых точек) жидкости.Обычное уравнение непрерывности имеет вид:G∂ρ+ div( ρv ) = 0 .∂t(5.6)Уравнение (5.6) определяет баланс вещества внутри кубика объемом ∆x ⋅ ∆y ⋅ ∆z в окрестности точкиx, y, z в момент времени t , т.е.

рассматривается приход и уход вещества через каждую пару параллельныхграней кубика.Если рассматривать таким же образом движущиеся фазовые точки в 2 s − мерном пространстве, то можноаналогично записатьG∂ρ (q, p, t )+ Div ρV = 0 ,∂tGdρ (q, p, t ) ∂ρ (q, p, t ) G∂ρ (q, p, t ) G+ VDiv(ρ ) + ρDiv V = 0 ,=+ VDiv( ρ )dt∂t∂t( )(5.7)()илиGdρ (q, p, t )+ ρDiv V = 0 ,dt()(5.8)dρ− скорость изменения плотности ρ (q, p, t ) вблизи движущейся фазовой точки, а Div − символdt2 s − мерной дивергенции.гдеС помощью несложных формальных преобразований (оставим их для курса теоретической физики)доказывается, что в нашем случаеGDivV = 0 ,(5.9)т.е.

изображающие точки в фазовом пространстве движутся в фазовом пространстве как несжимаемаяжидкость. Совместно из уравнений (5.8) и (5.9) следует, что плотность ρ (q, p, t ) в изображающей точке,движущейся вдоль фазовой траектории, остается постоянной. Отсюда следует, что объем dΓ , содержащийзаданное число членов ансамбля dN , при их движении остается постоянным, хотя его форма, вообще говоря,меняется.

Последнее утверждение остается справедливым и для конечного объема фазового пространства,содержащего заданное число членов ансамбля.Сформулированные выше эквивалентные утверждения составляют содержание теоремы Лиувилля.Теорема Лиувилля (J.Liouville, 1838): всякий объем фазового пространства при своем движениисоответственно изменению состояния системы остается по величине неизменным.Т.о.,∫ dΓ = const ,(5.10)Γи здесь интегрирование относится к той движущейся области фазового пространства, которую занимают точкипервоначально выбранной области. Другими словами, если в начальный момент времени фазовые точки q i , piнепрерывно заполняли некоторую область Γ в фазовом пространстве, а с течением времени перешли в другуюобласть Γt этого пространства, то, согласно теореме Лиувилля, соответствующие фазовые объемы ( 2 s -мерныеинтегралы, где s − число степеней свободы системы) равны между собой:∫ dqdp = ∫ dqdp = ∫ dΓ = const .ΓΓtΓ(5.11)4Из теоремы Лиувилля непосредственно следует, что функция распределения должна выражаться лишь черезтакие комбинации переменных p, q , которые при движении замкнутой подсистемы остаются постоянными.Этому условию удовлетворяют механические инварианты, т.е.