2sem_5 (лекции по молекулярной физике)

1Статистические распределения.Любая макроскопическая система состоит из очень большого числа атомов или частиц. Положения(координаты) и скорости всех частиц в момент времени t дают наиболее полную информацию о всехчастицах. Однако попытки представить описание свойств макротел на основании известных законов движениякаждого отдельного атома или молекулы оказываются несостоятельными. Вся эта информация практическинеобозрима, поскольку её объем превосходит возможности любых технических средств, не говоря ужепроведении обработки. Так, например, в 1 см3 газа при нормальных условиях находится 2.7⋅1019 молекул, т.е.,записывая информацию об их координатах и скоростях, надо запомнить 6⋅2.7⋅1019 чисел. Если будемфиксировать 106 чисел в секунду, то время необходимое для “запоминания” всей совокупности данныхсоставит 6⋅2.7⋅1013 с ≈ 5⋅106 лет.

Но даже если бы удалось все это запомнить, то малейшая неточность вопределении координат (например, погрешность ~10-10), через секунду привела бы неопределенностидальнейшего развития ситуации.Поэтому подобное динамическое рассмотрение задачи невозможно и бесперспективно – такое описаниеинтересующей нас системы неосуществимо с технической, непригодно с теоретической и бесполезно спрактической точек зрения.Исключительно важно, что сложность системы означает гораздо большее, чем невозможностьинтересоваться поведением каждой молекулы или частицы. Во многих случаях сложность приводит кпоявлению новых качеств, которые могут оказаться совершенно неожиданными.

Совершенно не ясно,например, как из микроскопической информации о газе как системе одинаковых атомов должно следовать, чтотакой газ может быть внезапно сконденсирован в жидкость. Можно ли, опираясь на знание атомной структуры,ожидать, что несколько простых атомов, образующих молекулы определенного типа, дадут началобиологическим системам, способным к росту и самовоспроизведению?На первый взгляд из вышесказанного можно заключить, что невообразимо возрастающая по мереувеличения числа частиц сложность и запутанность свойств механической системы не позволить найти иследов какой-либо закономерности в поведении макроскопической системы.

Однако это не так! Оказывается,что при большом числе частиц появляются новые своеобразные закономерности.Для понимания поведения макроскопических систем, состоящих из огромного числа частиц, необходимо,прежде всего, сформулировать новые понятия, отвечающие такому качеству, как необычайная сложностьсистемы. Эти понятия, основанные на фундаментальных законах микрофизики, должны указать параметры,наиболее удобные для описания макроскопических систем, установить закономерности, действующие в такихсистемах, и дать приемлемые методы для количественного определения и предсказания свойств таких систем.Как было показано выше, с молекулярной точки зрения в макроскопической физике физические величины(давление, плотность, температура, средний квадрат смещения частицы при броуновском движении и др.),характеризующие состояние системы, имеют смысл средних значений, которые принимают при определенныхусловиях функции микросостояний системы.

Говорят, что такие величины имеют статистический характерили являются статистическими. Такие величины подчиняются определенным закономерностям, которыехарактеризуют поведение системы как целого, но не отдельных её атомов или молекул. Эти закономерности,обусловленные «массовостью», т.е. колоссальным количеством частиц в макроскопических телах, называютсястатистическими или вероятностными закономерностями.Почти все законы макроскопической физики – статистические.

Необходимо отметить, что предсказаниясделанные на основе статистических законов, носят характер прогнозов, которые, вообще говоря, могут и неоправдаться. Поэтому может показаться, что, опираясь на статистические законы, “мы играем с Богом в кости”.Но это не так. Колоссальность числа атомов и молекул в физических телах превращает статистические законыфизики и основанные на них предсказания в практически абсолютно достоверные.Чтобы проиллюстрировать сказанное, рассмотрим простой опыт, проведением которого, когда-либозабавлялся каждый из присутствующих, – подбрасывание монеты.Движение монеты строго определяется законами механики, но на это движение и на начальные условиявлияет множество случайных и неконтролируемых факторов, делающих результат бросания непредсказуемым.Другими словами, мы не можем достоверно наперед указать, что выпадет – орел или решка.

В то же время, помере увеличения количества опытов, числа выпадений орла и решки становятся примерно одинаковыми. И чембольше подбрасываний будет произведено, тем надежнее мы приближаемся к равенству. Именно в этом ипроявляется закономерность, которую мы называем статистической.Замечательно, что к успеху в понимании свойств таких систем приводят достаточно простые концепции.Основная причина такого успеха состоит в том, что наличие очень большого числа частиц дает возможностьэффективно использовать статистические методы.Т.о., мы переходим к изучению раздела физики, называемого статистической физикой.

Заметим взаключение параграфа, что общий характер статистических закономерностей чаще всего не существеннозависит от классического или квантового описания движения отдельной молекулы.2Элементы теории вероятностей.Для математического описания различных явлений, например, теплового движения атомов или молекул, встатистической физике используют представления теории вероятностей. Теория вероятностей, в свою очередь,оперирует понятием случайного события.Случайные события.Случайным называется такое событие, которое при осуществлении заданных условий (т.е.

при данномиспытании) может как произойти, так и не произойти и для которого имеется определенная вероятность егонаступления.Для понимания смысла термина «случайное событие» совершенно не обязательно обращаться к гигантскимсовокупностям молекул или атомов. Случайные события – обычное явление в жизни.Именно с такими событиями мы встречаемся, когда бросаем монету, кубик (кости), или, что гораздо менееприятно, когда на голову падает кирпич и т.д. Случайными событиями являются также результаты измеренийкоординат и скоростей отдельных частиц.Как уже отмечалось, непредсказуемым результат делает множество случайных и неконтролируемыхфакторов, которые могут повлиять на поведение интересующего нас объекта, хотя само движение этогообъекта строго подчиняется законам механики.Чтобы ввести понятие вероятности наступления какого-либо события, рассмотрим сосуд, в которомнаходится всего одна молекула, мысленно разделив объем сосуда на две части, и зададимся вопросом – гденаходится молекула? Проведя большое число N наблюдений, получаем, что изних N л раз частица оказывается в левой половине сосуда.Тогда вероятность нахождения частицы в левой половине сосуда можноопределить как отношение “положительного” результата к полному числуиспытаний при достаточно большом их числе.Наличие у случайного события определенной вероятности p его наступленияпроявляется в том, что при большом числе испытаний частота его наступления оказывается близкой к p .Это частотное определение вероятности:P( левая ) = limN →∞NлN(1.1)Такое определение вероятности как предельного значения относительной частоты принадлежит немецкомуматематику Р.

Мизесу.Вероятность случайного события может быть определена как количественная мера ожидаемойвозможности его появления.Опыт или совокупность условий, в результате которых появляется то или иное событие, называетсяиспытанием.Если при данных условиях некоторое событие обязательно произойдет, то оно называется достоверным.Если какое-либо событие произойти не может, то его называют невозможным.Рассмотрим для примера бросание кубика. Вероятность выпадения какого-либо числа i от 1 до 6:Ni.N →∞ NPi = limВ силу равновероятности выпадения любой грани, что определяется симметрией правильного куба, сделанногоиз однородного материала, имеемP(1) = P(2 ) = ... = P(6) =1.6Сумма вероятностей всех таких событий, т.е.

выпадения какого-либо числа, равна единице. Т.о., мы приходим кпонятию нормировки вероятности. Говорят, что вероятность нормирована на единицу, еслиNi∑P = ∑ Nii= 1.(1.2)iИначе можно сказать, что выпадение при бросании кубика какого-либо числа от 1 до 6 включительно, естьдостоверное событие.В то же время ни при каком количестве испытаний на таком кубике не может выпасть число 7 . Этоневозможное событие.Достоверное и невозможное события можно рассматривать как предельные варианты случайных событий.Вероятность достоверного события равна единице, а невозможного – нулю.Для молекулы, находящейся в сосуде объемом V , можно рассмотреть вероятность того, что эта частицапопадет в выделенный малый объем ∆V , принадлежащий тому же сосуду. Для этого в течение длительноговремени τ через равные временные промежутки ∆t определяем положение молекулы.

Число проведенных3наблюдений составит N =τ∆t. Пусть за всё время наблюденияτчастица проводит внутри малого объема∆V время t i , тогда число “положительных“ результатов будет равно N i =ti.∆tВероятность того, что частица будет обнаружена в объеме ∆V , определяется какNit= lim iN →∞ Nτ →∞ τP = lim(1.3)Если время наблюдения достаточно велико, то время пребывания частицы в выделенном элементе объемаt i ~ ∆V , тогда вероятность наступления интересующего нас событияP=∆V.V(1.4)Теперь пусть положение частицы задается координатой x . Если эта величина принимает дискретный рядзначений xi ( i =1,2,3,...), то вероятность того, что молекула находится в состоянии с координатой xi , такжеопределяется выражением (4.3), где N i − число измерений, в которых для координаты частицы полученозначение xi , а N - полное число измерений, t i − время, которое частица проводит в состоянии xi .Непрерывное распределение вероятности.Если допустить теперь непрерывное изменение координаты, то бессмысленно говорить о вероятностинахождения частицы точно в точке с координатой x .

Действительно, непрерывная случайная величина xимеет бесчисленное множество возможных значений (так называемое «несчетное множество»), сплошьзаполняющих некоторый промежуток. Поэтому составить таблицу, в которой были бы перечислены всевозможные значения такой случайной величины, невозможно. Кроме того, каждое отдельное значениенепрерывной случайной величины обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью, т.к.