Диссертация (Обоснование применения в мостостроении комбинированных систем в виде арки с затяжкой и пересекающимися гибкими подвесками), страница 7

В случае статики, уравнение балансамоментов в каждой точке стержня позволяет сформулировать:σ x  yx  zx bx  0xyz xy σ y  zy by  0xyz xz  yz σ z bz  0xyz(2.12)Приэтомвсилузаконапарности xy   yx ; xz   zx ; yz   zyu;  yy ;  zz xyzu u  ;  xz ;  yz y xz xz y xx  xyРавенствомоментовстержнейполучается(2.13)путеминтегрирования формулы (2.12) по поперечному сечению. Покоординате х в этом случае имеем: σ x  yx  zxbA  x y z x dA  0(2.14)Сделав допущение, что изменение размеров поперечногосечения не происходит (или незначительно мало):51fdAA x x A fdAfA y dA  s fny dSfA z dA  s fnz dS (2.15)Где S – периметр поперечного сечения.

После интегрированияформула (2.14) имеет вид:Р qx  0х(2.16)Где Р – действующая осевая сила, нагрузка qx действует понаправлению координаты х:P    x dAAq x   bx dA   ( yx n y   zx nz )dSAs(2.17)Аналогично, интегрируя по координатам y и z имеем:S y qy  0xS z qz  0x(2.18)гдеS y    yx dAAq y   by dA   ( y n y   zy nz )dSAsS z    zx dAAq z   bz dA   ( yz n y   z nz )dSAs(2.19)В результате действующие на стержень моменты получаются изпар уравнений:52 y  σ x  yx  zx0bdAA  z  x y z x  0(2.20)Интегрируя (2.15) получаем соотношения:M z S y  mz  0xM y S z  my  0x(2.21)гдеM z    y x dAAmz    ybx dA   y ( yx n y   zx n z )dSAAM y    z x dAAm y    zbx dA   z ( yx n y   zx n z )dSAA(2.21)В случае воздействия на стержень кручения, момент кручениявычисляется из касательных напряжений, действующих в стержне:T   ( y xz  z xy )dAA(2.22)Согласно решению принципа Сен-Венана о проблеме кручениястержней, имеем право пренебречь компонентами σy , σz и τyz.   xz   xyA  y x  bz   z x  by dA  0(2.22)При этомT mx  0x(2.23),Приэтомравномерно-распределенныйстержня mx вычисляется как:53моменткрученияmz   ybz  zby dAAРазвитиетеории(2.24).стержнейвмеханикебазируетсянаформулировке кинематического поля для каждого поперечногосечения стержня.

Необходимо обозначить основные элементарныетеории, принятые в гипотезе плоских сечений стержней. Опишемполе перемещений:u x ( x, y, z )  u ( x)  z y ( x)  y z ( x)u y ( x, y, z )   ( x)  z x ( x)u z ( x, y, z )   ( x)  y x ( x)(2.25)Где u,v,w,перемещения по локальным осям стержня, θx , θy , θz– малые углы поворота относительно координатных осей. Наосновании перемещений, полученных в (2.25) имеем ненулевыеотносительные деформации:(2.26)В целом в нестрогой формулировке проблем изгиба стержнейимеем 2 основные гипотезы – Бернулли-Эйлера и С.П.

Тимошенко.Формулировка теории Бернулли-Эйлера в нестрогой формеосуществляется (аналогично с проблемами осевых сил и кручения)на базе компонент My, сдвиговой переменной Xy и компонентыперемещения W. В итоге общая форма гипотезы Бернулли-Эйлерасводится к следующей формулировке:54   ( , M y ,  y )    y M y (  y )  M y   A  q z dx yL  2  2   M y  2   y  MdxMyy2Lxxx M y S z  S  0z(2.27)Важным аспектом данной формулировки является наличие двухграничных условий по краям рассматриваемого бруса. При этом сцелью выражения функции распределения в моментах задействуемпринцип Хелингера-Рейснера: y   y ( M y )(2.28)С подстановкой в (2.27) имеем: 2  2  M y ( , M y )    M y 2 M(Aq)yz dx 2Lxx   M y  y ( M y )dx  My S z  S  0zLx M y(2.29)Неприводимая форма функции Бернулли-Эйлера достигаетсяпутем подстановки 2 y   2  yx 2 y   2   yx(2.30)в формулу (2.27):  2     ( )     2 M y (  y )  ( A  q z )dx L x My S z  S  0zx M y55(2.31)Соответственно, в линейно упругой постановке в итоге имеем:  2M y  M y (  y )  EI y  y   EI y 2x (2.32)В неявной форме теория балок Тимошенко предполагает по 2компоненты перемещения, напряжения и силы и формируется вполях перемещений, напряжений и сил:   ( ,  y , S z , M y ,  z ,  y ) z  ( A  q )     y ( M y (  y ,  z )  M y )   z ( S z (  y ,  z )  S z ) dx LLzy( I yy  m y ) dx   y   M y   y   S z   y   z dx L x x  y   My   y  S z dx   y M y  S z  S  0M yzLxx(2.33)В данной формулировке обращение к форме ГеллингераРейснера требует определения пары универсальных соотношений,таких как: yy xz yx(2.34)Данноевведениесущественноусложняеткомплексностьпроблемы, и за исключением линейно-упругих постановок широконе применяется.

Для данной формулировки:56   ( , y , S z , M y ,  z ,  y ) z  ( A  q z )   y ( I yy  m y ) dx L y   M y S z   y dx Lx x  y   My   y  S z dx L x  x  M y  y ( M y , S z )  S z z ( M y , s z ) dx   y M y LM y S z  S  0(2.35)Несокращаемаяудовлетворенияформадостигаетсякритериямнапряженийпутемистрогогоотносительныхдеформаций. Соответственно, для гипотезы балок Тимошенкоимеем следующую зависимость: y       ( , y )   M y ( y , z )   y S z (  y , z )dx L x x  ( A  q z )  y ( I yy  m y )dx yL y M y M y S z  S  0z(2.35),где yy xz yxТаким образом, формулировка матрицы жесткости балочногоэлемента в общей постановке в МКЭ выглядит следующимобразом:57z 62EIy  3LeKe  3 Le   6 3Le 3Le2 L2e3LeL2e 3Le L2e 3Le 2 L2e 63Le63Le(2.36)В конечном счете, согласно уравнению   u~ bt   B bT D b B b dx u~ b   NT q z dxLeLe (2.37)сформируем матрицу жесткости для балочного элемента подвоздействием равномерно-распределенной нагрузки.

При этомпримем в качестве констант - Lе, EIy, kzGzA.0 00 3 e EI y 0 0K 3Le 0  30 0 36 18 LekG A z z   3636 Le   18 Le 24 Le0 0 00  3 0 0 0 00 3 00 0 16  18 Le9 L2e18 Le9 L2e12 L2e 3618 Le3618 Le24 Le 18 Le9 L2e18 Le9 L2e12 L2e 24 Le 12 L2e 24 Le  (2.38)2 12 Le 16 L2e При этом вектор внешних воздействий выглядит следующимобразом:(2.39)58Вектор воздействий, за исключением последнего нулевогозначения матрицы, в остальном полностью идентичен вектору силтеории Бернулли-Эйлера.Таким образом, получена смешанная формулировка матрицжесткости и векторов воздействий МКЭ для балочных элементовсогласно теориям Бернулли-Эйлера и Тимошенко в статике.Сформулирована общая постановка математической модели МКЭприменительно к механике стержней. Раскрыты и обозначенывариационные принципы вычислительной механики – ПринципыминимумапотенциальнойэнергииЛа-Гранжаигибриднаяформулировка Ху-Вашицы.

Данные алгоритмы и постановкиреализованы в программном продукте МКЭ Midas Civil 2011.Из всех возможностей данного пакета следует отдельновыделить модуль расчета систем на подвижные нагрузки.ФункциярасчетаMIDAS/Civilнаиспользуетсяпроектированиямостовыхподвижнуюдлянагрузкустатическогоконструкций,программырасчетанаходящихсяиподвоздействием подвижного транспортного средства, и сводится кследующим процедурам: Построение линий и поверхностей влияния перемещений,внутренних усилий в элементах и опорных реакций отподвижных нагрузок Расчетмаксимальных/минимальныхзначенийузловыхперемещений, внутренних сил в элементах и опорныхреакций,возникающих при движении по сооружениюзаданноготранспортногосредствасиспользованиемпостроенных линий и поверхностей влияния Расчет мостовой конструкции на подвижную нагрузкусостоит из серии расчетов при всех условиях нагружения,созданных с учетом полного пути подвижной нагрузки.

Врезультате этих расчетов определяются максимальные и59минимальныезначениянеобходимыхпараметров,используемыев дальнейшем в качестве результатовварианта подвижной нагрузки.Для расчета на подвижную нагрузку, необходимо задатьнагрузки от транспортного средства, линии или полосы движениятранспортного средства и определить метод приложения нагрузокот транспортного средства,а затемприкладывать единичнуюнагрузку к различным точкам линий или полос движения длярасчета линий влияния или поверхностей влияния.Линиявлияниярасполагаетсявдольпутидвиженияипредставляет собой специальный компонент результатов расчета,полученныйспомощьюстатическогорасчетамостовойконструкции на действие единичной нагрузки, перемещающейсявдоль пути движения транспортного средства. Поверхность влиянияпредставляет собой специальный компонент результатов расчета,полученный в результате статического расчета плоскости полосыдвижения транспортного средства мостовой конструкции надействие единичной нагрузки, располагающейся в узлах элементаплиты, и представлена значениями в точках приложения нагрузки.Компоненты результатов, для которых могут быть рассчитанылинии или поверхности влияния, включают узловые перемещениямодели конструкции, усилия в элементах типа ферма,балка иплита и опорные реакции.Процедурарасчетаконструкциинадвижениепонейтранспортного средства с использованием линий или поверхностейвлияния сводится к следующему: Определение нагрузок транспортного средства,методаприложения подвижных нагрузок и полос или поверхностейдвижения транспортного средства. Построение линий или поверхностей влияния для каждогонеобходимого параметра путем проведения статического60расчета на единичные нагрузки, которые перемещаютсявдольполосыиливдольповерхностидвижениятранспортного средства. Получениевоздействиемрезультатоврасчетаподвижногоконструкциитранспортногосредстваподспомощью линий и поверхностей влияния в соответствии сприкладным методом расчета на подвижную нагрузку.Описанная выше процедура расчетарезультатовмаксимальныеивыдает в качествеминимальныезначениясоответствующих компонентов при действии одной подвижнойнагрузки, которые могут быть скомбинированы с результатами,полученными при других условиях нагружения.

Комбинациинагружений для получения максимальных и минимальных значенийсоставляются отдельно. Результаты расчета включают узловыеперемещения, опорные реакции и внутренние усилия в элементахтипа ферма, балка или плита. Для элементов других типов в расчетеучитывается только их жесткость, но результаты расчета для этихэлементов не генерируются.Единичнаянагрузка,котораяиспользуетсяврасчетеконструкции под воздействием подвижного транспортного средствадля построения линий и поверхностей влияния, прикладывается внаправлении,противоположном направлению оси Z глобальнойсистемы координат GCS.Важным аспектом при проведении расчетов является отличиезначений действующих временных вертикальных нагрузок позарубежным нормативным документам и отечественным. Этонакладывает свою специфику на определение основных критериевпроектирования пролетных строений комбинированных систем снаклонными подвесками.