Диссертация (Обоснование применения в мостостроении комбинированных систем в виде арки с затяжкой и пересекающимися гибкими подвесками), страница 6

Обычно, все степени свободысобираются в матричный вектор, обозначаемый U и называемыйвектором степеней свободы или вектором состояния. Термин векторузловых перемещений обычно используется в механическихприложениях.Ваналитическоймеханикекаждойстепенисвободысоответствует сопряженная переменная, представляющая собойобобщеннуюсуществуетсилу.подобноеВнемеханическихмножествоприложенияхсопряженныхтакжепеременных,которые для универсальности называются силами или силовымипеременными.

Эти силы объединяются в матричный вектор,обозначаемый F. Отметим, что внутреннее произведение векторасил на вектор степеней свободы имеет смысл внешней энергии илиработы.Предполагается, что соотношение между U и F являетсялинейным и однородным. Последнее означает, что если Uстремится к нулю, то и F стремится к нулю, в этом случаесоотношение между ними выражается следующим основнымуравнением:42(2.1)K для универсальности называется матрицей жесткости, даже вслучае нечисто механических приложений, поскольку к настоящемувремени нет общего соглашения по обозначению этой матрицы вразличных дисциплинах.

При этом в деформациях формулировкаМКЭ выглядит следующим образом:  LUu  U     Заметим,00  x 0y0 00 z L0zy z0 x 0  y  xчтоперемещениямиеслилинейное,соотношениеномеждунеоднородное,силамиуравнениеи2.1обобщается на следующее соотношение:(2.2)Здесьесть узловой вектор начальных сил, которыйвозникает, например, при решении задач термоупругости для учетаначальных температурных напряжений;- вектор механическихсил.В задачах механики основными неизвестными величинамиявляются поля перемещений, деформаций и напряжений.

Согласноранеесделаннымпредположениям,всеосновныеискомыефизические переменные не зависят от нормальной координаты z иявляются функциями только координат x и y.Перемещения. Вектор перемещений состоит из двух компонент:43Нормальная компонента перемещенийв общем случаеотлична от нуля из-за эффекта коэффициента Пуассона и зависит отz. Однако это перемещение не входит в разрешающее уравнениезадачи и может быть вычислено отдельно по найденным основнымкомпонентам.Деформации. Деформации, лежащие в плоскости, формируюттензор, определяемый тремя независимыми компонентами:и.

Для удобства формулировки конечно-элементных уравненийматричной формы компоненты тензора деформации представим ввиде трехкомпонентного «вектора деформации»:Удвоенная компонентасдвигапредставляет собой деформациюи используется для сокращения записи выраженияэнергии деформации. Остальные сдвиговые компонентыиравны нулю согласно исходным предположениям. Нормальнаякомпонентаобычно не равна нулю из-за эффекта Пуассона.Однако также как перемещениенормальная компонентадеформации не входит в разрешающее уравнение как неизвестная.В выражении энергии деформации произведениеноль, поскольку нормальное напряжениеобращается вравно нулю поисходным предположениям.Напряжения.

Тензор напряжений также определяется тремянезависимыми компонентамии, лежащими в плоскостипластины. Как и в случае с деформациями для удобствапредставления конечно-элементных уравнений в матричном видесформируем трехкомпонентный «вектор напряжений»:44Закон Гука в общей форме для анизатропных элементов вматричном виде:  c Где С – матрица констант материалов, записываемая как: xx  c11 c12 c13 c14 c15  c22 c23 c24 c25 yy   zz  c33 c34 c35 c44 c45 yz   xz  sy.c55   xy  c16   xx  c26   yy c36   zz  c46   yz c56   xz  c66   xy 000c11 c12 c12c11 c12000c11000c(c11  c12 ) 200sy.(c11  c12 ) 20(c11  c12 )2При этомc11 c cE (1   )E; c12 ; 11 12  G(1  2 )(1   )(1  2 )(1   )2Рассмотрим основные типы конечных элементов и их свойства,называемые атрибутами элементов.Собственнаяописыватьсяразмерность.одной,двумяКонечныеилитремяэлементымогутпространственнымикоординатами в зависимости от размерности задачи, для решениякоторой они предназначены.

Соответствующее число внутреннихили локальных координат называется собственной размерностьюэлемента. В динамическом анализе время рассматривается как45дополнительнаяиспользуютсяразмерность.такжеОтметим,специальныечтоврасчетахэлементыснулевойразмерностью, такие как, точечные массы или сосредоточенныеупругие элементы (пружины).Узловые точки.

Каждый элемент описывается множествомхарактерных точек, называемых узловыми точками или узлами длякраткости. Узлы предназначены для описания геометрии элемента идля задания физических степеней свободы (числа неизвестныхфункций). Узлы обычно находятся в угловых или крайних точкахэлемента, но могут быть также расположены между угловымиузлами и внутри элемента.

Данное различие связано с порядкомаппроксимации, который обеспечивает данный конечный элемент.Элементы, имеющие только угловые узлы, называются линейнымии обеспечивают линейную интерполяцию геометрии и функций.Элементы, имеющие дополнительные узлы на своих границахмежду угловыми точками, могут обеспечивать квадратичную илидаже кубичную интерполяцию. В первом случае такие элементыназываются квадратичными.

Отметим также, что существуютэлементы,имеющиевнутренниеузлы.Теоретическитакиеэлементы обеспечивают более точное описание геометрии тела иискомых функций, однако широкого распространения данный типэлементов не получил. При наличии современных автоматическихгенераторов конечно-элементных сеток часто бывает проще иудобнее разбить конструкцию на большое число линейныхэлементов простой формы, чем использовать элементы высокогопорядка, требующие для построения сетки значительной работывручную.

Элементы, не имеющие внутренних узлов, относятся к такназываемому серендипову семейству.Геометрияэлемента.расположениемиспользуемыхузловыхвГеометрияточек.расчетах,элементаопределяетсяБольшинствоимеютдостаточноэлементов,простуюгеометрическую форму. Например, в одномерном случае элементы46обычно представляют собой прямолинейные отрезки или сегментыкривыхлиний;вдвумерномслучаеэлементыимеюттрехстороннюю или четырехстороннюю форму; в трехмерныхзадачах наиболее распространены такие геометрические фигуры,как тетраэдры, призмы и гексаэдры.Степени свободы.

Степени свободы определяют физическоесостояние элемента, т.е. физическое поле, которое описываетданный элемент. Благодаря общим степеням свободы в соседнихэлементахосуществляетсясборкамоделииформированиеглобальной системы конечно-элементных уравнений. В качествестепеней свободы могут фигурировать как узловые значениянеизвестной функции, так и ее производные по пространственнымкоординатам в узлах. В первом случае элементы относятся к типулагранжевых элементов; во втором случае – типу эрмитовыхэлементов.

Например, в простейшей задаче о растяжении стержнянеизвестной функцией является продольное перемещение стержня.Соответственно в качестве степеней свободы выступают узловыезначения данной функции и, следовательно, конечный элементотносится к лагранжевому типу. Наоборот, в задаче об изгибестержня неизвестной функцией является поперечное перемещениецентральной оси стержня, а в качестве степеней свободыиспользуются как узловые значения самой функции, так и еепроизводной по продольной координате. Физический смысл этойпроизводной – угол поворота поперечного сечения стержня.

Такимобразом, конечный элемент, применяемый в расчетах стержня наизгиб, относится к типу эрмитовых элементов. Заметим также, чтоданные обозначения происходят от названия полиномов Лагранжа иЭрмита, широко используемых в прикладной математике дляинтерполяции функций по узловым значениям.Узловые силы. Система узловых сил полностью соответствуетстепеням свободы элемента и выражается с помощью глобальноговектора узловых сил.47Определяющиеиспользуемыхвсоотношения.механическихДляконечныхрасчетах,элементов,определяющеесоотношение задает поведение материала, из которого изготовленаконструкция.

Например, в качестве такого соотношения во многихслучаях используется обобщенный закон Гука, связывающийтензор деформаций и тензор напряжений в точке. Для линейногоупругого стержневого элемента достаточно задать один модульЮнга Е и один коэффициент температурного расширения α.Свойства сечения. К свойствам сечения относятся площади имоменты инерции одномерных и двумерных конечных элементов,таких как балки, стержни, пластины. В эту группу также входиттолщина пластин и оболочек.

При построении конечного элементасвойствасеченийсчитаютсязаданнымиивходятврезультирующую матрицу жесткости элемента.Основные виды применяемых конечных элементов и ихдискретизация приведены на рисунке 2.16.Рис.2.16. Основные виды конечных элементов.48В общей постановке, вариационный принцип Метода КонечныхЭлементов базируется на принципе минимума потенциальнойэнергии упругих деформаций, описываемый как: PE   W(Su)dΩ   u T bdΩ   u T tdГΩПерваяΩвариацияГtфункционала(2.3)приводиткусловиюстационарности:δ  PE   δ(Su)TΩWdΩ   δu T bdΩ   δu T tdГ  0ΩГtSu(2.4)После интегрирования и преобразований получаем:δ  PE   δu T (S T σ  b)dΩ   δu T (G T  t )dГ  0ΩГt(2.5)При этомσWSu (2.6)Принципминимумапотенциальнойэнергииупругихдеформаций является наиболее простым среди всех формулировокМКЭиявляетсябазиснойдляформулировкиметодавперемещениях.Общая вариационная теорема МКЭ выводится по принципу ХуВацишу: HW (u ,  ,  )   W(ε(  σ T (Su  ε) dΩ   u T bdΩ Ω  u T tdГ   t T (u  u )dГГtГuГде t=GTσПосле интегрирования имеем:49Ω(2.7) Wδ  HW   δε T  σ dΩ   δσ T Su  ε dΩ ΩΩ ε  δt T (u  u )dГ   δu T (S T σ  b)dΩ ГuГu  δu T (t  t )dГ  0Гu(2.8)Принцип Ху-Вашицу реализуется для всех общих линейных инелинейных проблем вычислительной механики.

При этом можноустановитьсвязьмеждунимидругимивариационнымиформулировками МКЭ. Распишем условия в относительныхдеформацияхчерезнапряжения,используяпреобразованиеЛежандра:U(σ )  W(ε(  σ T ε (2.9)В итоге возвращаем вариационный принцип ГелиннгераРейсснера: HR (u,σ )   σ T Su  U(σ( dΩ Ω  u T bdΩ   u T t d Г   t T (u  u )dГ (2.10)ΩГtГuИгнорируя эффект начальных напряжений и деформаций влинейной постановке имеем:U(σ ) 1σ ij Sijklσ kl2(2.11)Данная форма подходит для всех задач теории упругости.Фактически одновременно с этим установлена прямая связь междупринципами потенциальной энергии упругих деформаций итеоремой Ху-Вашицу. При этом в формулировках в относительныхдеформациях данные принципы идентичны друг другу.В исследовании плоских моделей пролетных строений работатьв основном предполагается использовать линейные стержневыеэлементы.Следуетподробнее50раскрытьматематическуюпостановку формулировки уравнений механики для данныхконечных элементов.