DGMTU_FN12 (Лекции Дифференциально-геометрические методы теории управления)

Дифференциально-геометрические методытеории управленияЧетвериков В.Н.Лекции для бакалавров ФН-12, 7 семестрОГЛАВЛЕНИЕ1. Внешние формы в линейном пространстве1.1. Ковекторное пространство . . . . . . . . . . . . .1.2. Полилинейные формы и p-формы . . . . . . . . .1.3. Внешнее произведение . . . . . . . . . . .

. . . .1.4. Внутреннее произведение и отображение p-форм................................................................334562. Касательное расслоение72.1. Многообразия и их отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Касательные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 82.3. Касательное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. Векторные поля3.1. Определение . . . . . . . . . . .3.2. Отображения векторных полей3.3. Фазовый поток векторного поля3.4. Коммутатор векторных полей .........................................................................................................13131415184. Распределения215. Системы линейных уравнений в частных производных286. Некоторые приложения теории векторных полей и распределений6.1. Динамические системы с управлением . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Приведение систем с управлением к каноническому виду . . . . . . . .6.3. Преобразование систем с векторным управлением . . . . . . . . . . . .6.4. Матрица управляемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............30303235367. Дифференциальные формы388. Дифференциал де Рама419. Кораспределения, связанные с системами9.1. Определение и свойства . .

. . . . . . . .9.2. Описание модулей Hk на языке векторных9.3. Функциональная независимость . . . . . .управления44. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44полей . . . . . . . . . . . . . . . . 45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610. Линеаризация статической обратной связью4810.1. Условия приводимости систем с управлением к каноническому виду на языке дифференциальных форм . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 4810.2. Линеаризация статической обратной связью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011. Динамически линеаризуемые и плоские системы11.1. Понятие динамической обратной связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2. Плоские системы . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.3. Построение динамической обратной связи, линеаризующей плоскую систему5252535412. Метод динамической обратной связи5612.1. Решение задач терминального управления и стабилизации . . . . . . . . . . 5612.2. Управление движением самолета вертикального взлета . . . . . .

. . . . . . 581ОГЛАВЛЕНИЕ13. Управляемость, достижимость и наблюдаемость13.1. Первые интегралы систем . . . . . . . . . . . . . .13.2. Условия управляемости и достижимости . . . . . .13.3. Наблюдаемость систем . . . . . . . . . . . . . . . .2систем61. . . . . . . . . . . . .

. . 61. . . . . . . . . . . . . . . 62. . . . . . . . . . . . . . . 621. ВНЕШНИЕ ФОРМЫ ВЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕСм. §32 и §33 в [1] и гл.10 в [2].1.1. Ковекторное пространствоБудем обозначать через Ln произвольное n-мерное линейное пространство, а черезR — n-мерное вещественное линейное пространство. Векторы линейного пространствабудем обозначать через ~x, ~y , . . ..Отображение f : Ln → R, которое определено на линейном пространстве Ln и принимает действительные значения, называют ковектором (также линейной функцией, линейнойформой, линейным функционалом), если оно удовлетворяет двум условиям:а) f (~x + ~y ) = f (~x) + f (~y ), ~x, ~y ∈ Ln ;б) f (λ~x) = λf (~x), ~x ∈ Ln , λ ∈ R.Ковекторы можно складывать и умножать на действительные числа согласно правилам:(f + g)(~x) = f (~x) + g(~x),(λf )(~x) = λf (~x).nВведенные таким способом операции превращают множество ковекторов в пространствеLn в линейное пространство.

Это линейное пространство называют сопряженным (иликовекторным) пространством по отношению к линейному пространству Ln и обозначают (Ln )∗ .Пусть L0 — подпространство в Ln , f — ковектор. Будем говорить, что ковектор fбиортогонален подпространству L0 , если f отображает L0 в нуль, т.е. f (~x) = 0 длялюбого вектора ~x из L0 .Задача 1.1 Докажите, что множество всех ковекторов, биортогональных подпространству L0 ⊂ Ln , есть линейное пространство размерности k = n − dim L0 .Опираясь на базис e = (~e1 , . . . , ~en ), выбранный в пространстве Ln , построим базис всопряженном пространстве (Ln )∗ . Для каждого вектора ~ei из базиса e рассмотрим ковекторf i , для которого f i (~ei ) = 1 и f i (~ej ) = 0 для всех векторов ~ej , кроме ~ei .

Так как в видулинейности ковектор определяется своими значениями на базисных векторах, получаемсистему ковекторов f 1 , . . . , f n ∈ (Ln )∗ .Теорема 1.1. Набор ковекторов (f 1 , . . . , f n ), определенных выше, является базисом всопряженном пространстве (Ln )∗ .Базисы (~e1 , . .

. , ~en ) и (f 1 , . . . , f n ) линейного пространства Ln и сопряженного пространства (Ln )∗ называют биортогональными (дуальными или взаимными), если(0, i 6= j;f i (~ej ) = δji =1, i = j.31. ВНЕШНИЕ ФОРМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ41.2. Полилинейные формы и p-формыФункцию ϕ от p векторов со значением в R называют полилинейной формой типа (p, 0),если она линейна по каждому отдельно взятому аргументу.Полилинейную форму ψ(~x1 , ~x2 , .

. . , ~xp ) = ϕ(~x2 , ~x1 , . . . , ~xp ), полученную из полилинейной формы ϕ перестановкой двух первых аргументов, называют транспонированной кполилинейной форме ϕ. Транспонированными называют также полилинейные формы, полученные перестановкой любой другой пары аргументов.Полилинейную форму типа (p, 0) называют p-формой (также внешней формой степениp, ковариантным кососимметрическим тензором типа (p, 0)) в Ln , если при перестановкелюбой пары аргументов она меняет знак. При p = 1 1-форма совпадает с ковектором.Пример 1.1.

Ориентированный объем параллелепипеда с ребрами ξ~1 , . . . , ξ~n в ориентированном евклидовом пространстве Ln (см. [2]) есть n-форма ξ11 . . . ξ1n V (ξ~1 , . . . , ξ~n ) = . . . . . . . . . , ξn1 . . . ξnn где ξ~i = ξi1~e1 +. . .+ξin~en , i = 1, . . . , n, а (~e1 , . . . , ~en ) — ортонормированный базис, задающийориентацию Ln .Пример 1.2. Ориентированная площадь проекции параллелограмма со сторонами~~ξ1 , ξ2 в евклидовом пространстве R3 на плоскость хOy есть 2-форма.Задача 1.2 Докажите, что для всякой 2-формы ω в Ln имеемω(~x, ~x) = 0,∀~x ∈ Ln .Задача 1.3 Докажите, что при p > n всякая p-форма в Ln равна нулю.Определим операцию, которая позволяет из данной полилинейной формы ϕ типа (p, 0)получить p-форму. Пусть σ = (i1 , .

. . , ip ) перестановка из p элементов. Обозначим через|σ| количество инверсий в перестановке σ (см. [5, §4.5]), а через ϕσ полилинейную форму,получаемую из ϕ соответствующей перестановкой ее аргументов. В частности, исходнойполилинейной форме соответствует тождественная перестановка (1, . . . , p). Рассмотримсумму1 X(−1)|σ| ϕσ ,(1.1)ϕalt =p! σкоторая берется по всем перестановкам σ из p элементов. Операцию преобразования ϕ 7−→ϕalt называют альтернированием. В результате альтернирования из полилинейной формыполучается p-форма. Действительно, перестановка двух индексов меняет четность каждойперестановки σ в сумме (1.1). Значит, каждое слагаемое и вся сумма в целом меняют знак.Полилинейные формы можно складывать и умножать на действительные числа пообычным правилам для функций:(ϕ + ψ)(~x1 , .

. . , ~xp ) = ϕ(~x1 , . . . , ~xp ) + ψ(~x1 , . . . , ~xp )(λϕ)(~x1 , . . . , ~xp ) = λ · ϕ(~x1 , . . . , ~xp ).Задача 1.4 Докажите, что множество ∧p (Ln )∗ всех p-форм в Ln замкнуто относительноуказанных операций сложения и умножения на число и является линейным пространством.Покажите, что размерность этого пространства равна Cnp при p ≤ n и 0 при p > n.51. ВНЕШНИЕ ФОРМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ1.3. Внешнее произведениеДве полилинейные формы можно перемножить, образуя функцию от большего числапеременных. Например, из полилинейных форм ϕ(~x1 , . .

. , ~xp ) и ψ(~y1 , . . . , ~yr ) типов (p, 0) и(r, 0) можно образовать новую полилинейную формуχ(~x1 , . . . , ~xp , ~y1 , . . . , ~yr ) = ϕ(~x1 , . . . , ~xp ) · ψ(~y1 , . . . , ~yr ),имеющую тип (p+r, 0). При этом полилинейную форму χ называют тензорным произведением полилинейных форм ϕ и ψТензорное произведение p-формы ϕ и r-формы ψ может не являться внешней формой.Чтобы получить кососимметрический тензор, нужно выполнить операцию альтернирования. В результате получится внешняя форма степени p + r, которую обозначают ϕ ∧ ψ иназывают внешним произведением ϕ и ψ.

По определению,(ϕ ∧ ψ)(~x1 , . . . , ~xp+r ) =X1(−1)|σ| ϕ(~xσ1 , . . . , ~xσp ) · ψ(~xσp+1 , . . . , ~xσp+r ).(p + r)! σОпределение внешнего произведения p-формы ϕ и r-формы ψ применимо и к случаюp = 0. Тогда ϕ — это число, а ϕ ∧ ψ — умножение r-формы ψ на число ϕ, т.е. ϕ ∧ ψ = ϕ · ψ.Аналогично для r = 0.Теорема 1.2. Внешнее произведение обладает следующими свойствами:1) (ϕ ∧ ψ) ∧ χ = ϕ ∧ (ψ ∧ χ)(ассоциативность),2) ψ ∧ ϕ = (−1)pr ϕ ∧ ψ(косокоммутативность),3) (λϕ + λ1 ϕ1 ) ∧ ψ = λϕ ∧ ψ + λ1 ϕ1 ∧ ψ(линейность),где ϕ, ϕ1 , ψ, χ — произвольные внешние формы в Ln степени p, p, r и s соответсвенно,λ, λ1 — произвольные числа.Док–во следует из определений и свойств перестановок.