Олимпиада 2017 год Тур №1 Ответы

90 лет со дня рождения академика А.В. Александрова.Решения задач олимпиады 47 по Сопротивлению материалов 1-й тур2017 г МИИТЗадача 1Консольная балка имеет прямоугольное поперечное сечение, но высота балки меняется всоответствии с приведенной на рисунке формулой. Материал балки имеет модуль упругости E.Требуется определить вертикальное перемещение свободного конца балки.Решение.190 лет со дня рождения академика А.В. Александрова.Решения задач олимпиады 47 по Сопротивлению материалов 1-й турДлявычисленияперемещениявоспользуемся2017 г МИИТинтеграломМаксвелла-Мора. На рисунке показана эпюра от нагрузки иединичная эпюра.

Получим предварительно формулу дляпеременного по длине момента инерции сечения балки. () =ℎ()312=32(ℎ0 √1+ 2 ) 312=ℎ0312(1 +22).Теперь запишем интеграл Максвелла-Мора: 1∆1 = ∫ = ∫00Ответ:∆1 = =− 22 2+ 2)(122(−) =32ℎℎ3 0 (1 + 2 ) 01212 4∫ =48ℎ30Прогиб будет равен 448ℎ3290 лет со дня рождения академика А.В. Александрова.Решения задач олимпиады 47 по Сопротивлению материалов 1-й тур2017 г МИИТЗадача 2Поперечное сечение – правильный шестиугольник.

Найти главные центральные моментыинерции, полагая заданным радиус R описанной около этого шестиугольника окружности.Решение.Разобьем правильный шестиугольник1, 2, 3, 4, 5, 6 на прямоугольник1, 2, 4, 5с площадьюА1 и четыре одинаковых прямоугольных треугольника,площадь каждого из которых, например, треугольника 1 1 6 ,равна 2 .Представим главный центральный момент инерции относительно оси(1 )= (2 )+ 4xв виде,Где390 лет со дня рождения академика А.В. Александрова.Решения задач олимпиады 47 по Сопротивлению материалов 1-й тур(√3)3(1 ) =122017 г МИИТ√3 4 ,4=3(2 )( )= 1 2 + 2 ∙ 2 = √32( 2 )3621 √3 1 √3√3 4+ ∙ ∙∙( ∙) =2 2 23 264В результате получаем=√3 44+4√3645√3 416∙ 4 =≈ 0,54134 .Теперь покажем, что для заданного сечения = . Запишем известную формулу длямомента инерции относительно повернутой оси.

Оси и в данном случае являются главнымиосями, поэтому центробежный момент инерции = 0.=х +2+х −22. (1)Применим эту формулу для оси , которая повернута относительно оси x на 60 градусов.Очевидно, что момент инерции относительно оси равен моменту инерции относительно оси xдля заданного правильного шестиугольника.

Итак, = 600 , 2 = 120,2 = −12.Используя формулу (1), получим:=х +2+х −2∙−12.Откуда = .Заметим здесь попутно, что для нашего правильного шестиугольника момент инерции неменяется с поворотом оси относительно центра тяжести. Так будет для любого правильногомногоугольника.Итак, окончательно имеем = =5√3 416≈ 0,54134 .Ответ: = =5√3 416≈ 0,54134 .490 лет со дня рождения академика А.В. Александрова.Решения задач олимпиады 47 по Сопротивлению материалов 1-й тур2017 г МИИТЗадача 3Левая балка сделана из стали с модулем упругости ст = 2 ∙ 105 МПа , правая из дерева тогоже поперечного сечения с модулем упругости дер = 0,1 ∙ 105 МПа.

Построить эпюру изгибающихмоментов от действия силы F.РешениеСделав сечение чуть левее шарнира, получим вид эпюры моментов в стальной балке отперерезывающей силы ст (см. рис.1).Рис.1Соответственно прогиб в шарнире будет равен∆=ст 33ст (1) (здесь мы воспользовалисьизвестной формулой для прогиба консольной балки от силы на конце).

Тот же прогиб можно590 лет со дня рождения академика А.В. Александрова.Решения задач олимпиады 47 по Сопротивлению материалов 1-й тур2017 г МИИТподсчитать используя перерезывающую силу в деревянной балке∆=дер 33дер (2) . Приравниваяправые части (1) и (2) , получим:ст 33ст =дер 33дер упругости, получим:→ст = дер 20ст = дерстст,подставляя значения модулей.Вырезав двумя сечениями центральный узел и спроектировав все силы на вертикальную ось(см. рис. 2), получим:Рис.

2ст + дер = ,ст =2021.или20дер + дер = → дер =,21Окончательная эпюра моментов дана на рис.2Ответ:690 лет со дня рождения академика А.В. Александрова.Решения задач олимпиады 47 по Сопротивлению материалов 1-й тур2017 г МИИТЗадача 4Какую начальную погибь (начальный строительный подъем) () нужно создать в балке,чтобы при медленном качении по ней колеса весом оно описывало траекторию в виде прямойлинии.

Балка имеет изгибную жесткость , пролет .Решение.790 лет со дня рождения академика А.В. Александрова.Решения задач олимпиады 47 по Сопротивлению материалов 1-й тур2017 г МИИТОпределим прогиб под силой . Для этого построим эпюру моментов от силы иединичной силы (см. рисунок).

Используя формулу Максвелла- Мора, получим прогиб под силой:∆ ==11 2 (−)[ ( − ) ∙ ∙ 3 22 31 2 (−)2 3 + ( − ) ∙ ( − ) ∙] =[( − )2 3 + ( − )3 2 ].Прогиб получится направленным вниз. Для того, чтобы колесо описывало прямолинейнуютраекторию, необходимо создать такую же начальную погибь, но точки оси балки должны иметьначальное отклонение, направленное вверх.Ответ: должен быть создан строительный подъем с начальной погибью, определяемойформулой:() =2[( − )2 3 + ( − )3 2 ],3нужно будет откладывать вверх.причем положительные ординаты890 лет со дня рождения академика А.В. Александрова.Решения задач олимпиады 47 по Сопротивлению материалов 1-й тур2017 г МИИТЗадача 5Трос закреплен в точках А и В упругого стержня прямоугольного сечения.

Троснатягивается до усилия . Какое вертикальное перемещение точки к стержня вызовет этонатяжение. Модуль упругости материала стержня Е.990 лет со дня рождения академика А.В. Александрова.Решения задач олимпиады 47 по Сопротивлению материалов 1-й тур2017 г МИИТРешение.Построим эпюру изгибающего момента от силысначала горизонтальную составляющую этой силы √ℎ2ℎ2+2.

Для построения эпюры найдем. Умножив эту составляющую на плечо, получим момент в торце стержня, причем в этом сечении будут растянуты нижние волокна. Всередине стержня момент будет равен нулю, т.к. в этом месте сила пересекает ось х поперечногосечения стержня. Окончательный вид эпюры показан на рисунке. Эпюра от вертикальнойединичной силы, приложенной в точке к, также показана на рисунке. Воспользовавшись формулойМаксвелла-Мора и применяя для перемножения эпюр формулу Симпсона, получим:∆ =6(ℎ√ℎ2 + 2 2) =ℎ36 12(ℎ√ℎ2 + 2 2) = 3ℎ2 √ℎ2 + 2Ответ: перемещение точки к по вертикали равно:3∆ =ℎ2 √ℎ2 + 210.