Расчет стержней на сложное сопротивление

1ФГБ ОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»_______________________________________________Кафедрастроительной механикиА.М. ЛУКЬЯНОВ, М.А.ЛУКЬЯНОВ, А.И. МАРАСАНОВРАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА CЛОЖНОЕСОПРОТИВЛЕНИЕМетодические указания к практическим занятиямМ О С К В А - 20122ФГБ ОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»----------------------------------------------------------------------------Кафедра строительной механикиА. М.

ЛУКЬЯНОВ, М.А.ЛУКЬЯНОВ, А.И. МАРАСАНОВРАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА CЛОЖНОЕСОПРОТИВЛЕНИЕРекомендовано редакционно-издательским советомуниверситета в качестве методических указаний для студентовтранспортных специальностей.М О С К В А - 20123УДК 539.3/.6: 624.042.12Л - 109Лукьянов А.М., Лукьянов М.А., Марасанов А.И.

Расчетстержней на сложное сопротивление. Методические указания. М.: МИИТ, 2012.– 40 с.: ил.Методические указания предназначены для студентовтранспортныхспециальностей,изучающихдисциплину«Сопротивление материалов». В них излагаются основныетеоретические сведения, рассматривается решение типовыхзадач.Методические указания предназначены для оказания помощистудентам в их самостоятельной работе при выполнениирасчетно-графической работы по разделу «Расчет стержней насложное сопротивление».При выполнении задания рекомендуется использоватьучебники:АлександровА.В.,Потапов В.Д.,ДержавинБ.П.Сопротивление материалов. - 3-е изд.

испр.- М.: Высш. шк., 2007, 560 с.: ил.Лукьянов А.М. Сопротивление материалов. – М.: Маршрут,2008. – 560 с. ФГБ ОУ ВПО «Московскийгосударственный университетпутей сообщения», 20124ВведениеМетодические указания подготовлены в соответствии спрограммой курса, содержит краткий обзор необходимоготеоретического материала, подбор задач и рекомендаций квыполнению расчетно-графического задания № 5 «Расчетстержней на сложное сопротивление».Очевидно, что результативное использование методическихуказаний возможно лишь в случае достаточной проработкитеоретического материала по лекциям и учебной литературе, атакже приобретения навыков решения задач на практическихзанятиях. Они ставит цель ориентировать студента при егосамостоятельной работе над материалом дисциплины, выделивузловые вопросы, необходимые для решения задач.1.

Краткие сведения о видах деформации стержня(бруса) при сложном сопротивленииК сложному сопротивлению относятся те виды загруженийстержня, при которых в его поперечных сечениях одновременновозникает не менее двух внутренних силовых факторов.Термин «сложное сопротивление» используется с той целью,чтобы подчеркнуть, что в рассматриваемом поперечном сечениивнутренние силы приводятся к нескольким компонентам.Встречаются различные сочетания компонент внутренних сил.Косой изгиб - такой случай изгиба стержня, при которомплоскость действия суммарного изгибающего момента всечении не совпадает ни с одной из главных осей инерции.Внутренние силы приводятся к двум изгибающим моментамМх и Му, а продольная сила N = 0.Изгиб с растяжениемили сжатием - такойвидзагружения стержня, когда кроме изгибающего момента всечении действует и продольная сила.

Крутящий момент Мz,отсутствует.Изгиб с кручением – такой вид загружения стержня, прикотором, в сечениях одновременно действуют изгибающий икрутящий моменты.Общий случай сложного сопротивления - такой видзагружениястержня, когда в егопоперечном сечениидействуют все внутренние силовые факторы, а именнопродольная сила N, изгибающие моменты Мх, М у, крутящиймомент Мz.5В каждом из приведенных сочетаний возможны ненулевыепоперечные силы Qх, Qу.Расчет стержня, работающего на сложное сопротивление,разбивается на ряд этапов.1.

Построение эпюр внутренних усилий.Построенные эпюры позволяют выделить те «опасные»сечения, в которых разрушение материала стержня наиболеевероятно.2. Построение эпюр нормальных и касательныхнапряжений в «опасных» сечениях бруса.По построенным эпюрам можно установить точки, вкоторых возникает наиболее опасное сочетание нормальных икасатель-ных напряжений.3. В «опасных» точках найденного «опасного» сечениявыполняется проверка прочности.Используетсяизбраннаягипотезапрочности,всоответствии с которой реализуется предельное состояние.2. Построение эпюр внутренних усилий для стержняс ломанной осью.Построение эпюр внутренних усилий для пространственногостержня, с ломанной осью производится в том же порядке, что идля обычных балок, т.е. используется метод сечений.Внутренние силовые факторыNz, Qx, Qу, Mx, Mу и Mzопределяются в каждом сечении бруса, исходя из условийравновесия одной из рассматриваемых частей стержня.При этом используются следующие правила знаков для Nz, Qx,Qу, и Mz.Растягивающая продольная сила считается положительной,сжимающая - отрицательной.Поперечная сила считается положительной, если онасовпадает по направлению с соответствующей координатнойосью.Крутящий момент положителен, если при взгляденаотсеченную часть со стороны сечения он стремитсяповернуть еѐ по часовой стрелке.На эпюрах Nz, Qx, Qу, и Mz постановка знака необходима.На эпюрах изгибающих моментов знаки не ставятся.Расположение эпюр Nz и M z по отношению к оси произвольно;плоскость эпюр Qx и Qу обязательно совпадают с плоскостямискольжения соответствующей оси.6Плоскости эпюр изгибающих моментов Mx и Mу непременноперпендикулярны соответствующим осям.

Самиэти эпюрырасполагаются со стороны растянутого волокна.Задача 1. Стержень, изображенный на рис. 1, а, испытываетдействие сил: F1 = 100 кН, F2 = 300 кН, F3 = 500 кН, и равномернораспределенной нагрузки интенсивностьюg = 300 кН/м. Длязаданного стержня требуется построитьэпюры внутреннихсиловых факторов.Рис. 1.

К задаче 1.Решение. Прежде чем перейти к определению внутреннихсиловых факторов, для каждого участка, необходимо выбратьпространственную прямоугольную систему координат Охуz.Обычно используется скользящая система координат. Ось,совпадающая с осью бруса, обозначают осью Оz, а две другие осисовмещают с главными осями инерции сечения.На каждом последующем участке, система координатполучается из предыдущей, путем поворота системы координатотносительно одной из осей до совмещения оси Оz с продольнойоси стержня.

На рис. 1, б, на каждом участке показана полученнаясистема координат.Поскольку построение эпюр Nz, Qx, Qу и Mz не отличается отпостроения соответствующих эпюр для прямолинейных стержней7и было изучено ранее, приведем необходимые вычисления ипостроения без комментариев.В сечении 1-1 (см. рис. 1, б; 0 ≤ z1 ≤ 0,50 м):Nz = 300 кН;Q x = 100 кН;Q у = 500 кН;M z =0.В сечении 2-2 (см. рис. 1, б; 0 ≤ z2 ≤ 0,8 м ):Nz =100 +100 = 200 кН; Q x= - 300 кН; Q у = 500 кН;Mz = 500 ∙ 0,5 = 250 кНм.В сечении 3-3 (см. рис.

1, б; 0 ≤ z3 ≤ 0,7 м ):Nz = 500 кН; Qx = - 300 кН; Qу = - 100 - 100 + 300 ∙z3 , при z 3 = 0 мQу = - 200 кН, при z 3 = 0,7 м Q у = - 200 + 300 ∙ 0,7 = 10 кН;M z = - 100 ∙0,5 + 300 ∙0,8 = 190 кНм.На рис. 2 показаны построенные эпюры Nz, Qx, Qу, и Mz.Рис. 2. К задаче 1.8Более подробно изложим построение эпюры изгибающегомомента Mx.Известно, что изгибающий момент в сечении равняется суммемоментов внешних сил, приложенных к отсеченной части.В сечении 1-1 (см. рис.

1, б; рис. 3, а, 0 ≤ z1 ≤ 0,5 м),изгибающиймомент Mx создает лишь сила F3 = 500 кН,другие силы либо параллельны оси, либо еепересекают,следовательноM x = - 500 z1,что означает изменение этого изгибающего момента по длинеучастка по линейному закону.Сосчитаем значения изгибающего момента в крайних точках,z1 = 0,Mx = 0; z1 = 0,5 м,Mx = - 250 кНм;отложим их, как ординаты эпюры, со стороны растянутоговолокна.Определению положения растянутого волокна, может помочьчертеж, (см. рис.

3, а) показывающий деформирование отсеченнойчасти под действием силы F3 в предположении неподвижностисечения 1-1.В сечении 2-2 (см. рис. 3, б, в, 0 ≤ z2 ≤ 0,8 м),изгибающий момент Mx создает только одна сила F3 = 500 кН:Mx = - 500 z2,z2 = 0,Mx=0;z2 = 0,8 м , M x = - 400 кНм.Имеем прямолинейную эпюруизгибающих моментов Mx,расположенную слева от оси, т.к.

именно слева располагаютсярастянутые волокна.В сечении 3-3(см. рис. 3, г, д, и, 0 ≤ z3 ≤ 0,7 м),изгибающий момент M x создают три силы. Сила F3 и двесилы F1, а также интенсивность равномерно распределеннойнагрузки g = 300 кН/мM x = - 500 ∙0,8 + 100 ∙z3 +100 ∙z3 - 300 ∙z3 ∙ z3 /2 ;Изгибающий момент изменяется по квадратичной зависимости.Для построения эпюры Mx следует определить значенияизгибающего момента в трех сечениях: в начале и конце участка, атакже в сечение, где Qу = 0, так как в этом сечении изгибающиймомент достигает экстремального значения. Для этого, выражениепоперечной силы на третьем участке приравняем нулю:Q у = - 200 + 300 ∙z3 = 0 , отсюда z3 = 0,667 м.Вычислим значения изгибающего момента:z3 =0, Mx= - 400 кНм; z3 =0,7 м, Mx = - 333,5 кНм;z3* = 0,667 м, Mx* = - 333,3 кНм.9Рис.

3.К задаче 1.Положение растянутого волокна при z3 = 0 определяетсярассмотрением заделанной в месте сечения отсеченной части (см.рис. 3, д ) под действием внешнего момента от силы F3 .При z3 = 0,7 м на отсеченную часть, заделанную в местесечения (см. рис. 3, и), следует подействовать этой же силой F3 ,силами F1, и распределенной нагрузкой, интенсивностью g,положение растянутого волокна не меняет.Эпюру изгибающего момента Mу предоставим возможностьпостроить читателю; для справок приведем лишь уравнения дляпостроения Mу и вычисления крайних ординат.Для сечения 1-1 ( 0 ≤ z1 ≤ 0,5 м )M у = - 100 ∙z1 ;z1 =0 , M у =0 ; z1 =0,5 м, M у = - 50 кНм.Для сечения 2-2 ( 0 ≤ z2 ≤ 0,8 м )M у = 300 ∙z2 - 100 ∙0,5z2 =0 , M у = - 50 кНм;z2 =0,8 м , M у = 190 кНм.10Для сечения 3-3 ( 0 ≤ z3 ≤ 0,7 м )Mу = 300 ∙ z3 - 500 ∙ 0,5z3 =0 , M у = – 250 кНм ;z3 =0,7 м , M у = 210 - 250 = - 40 кНм.Таким образом, все внутренние силовые факторы определены.На рис.

2 и рис. 3, показаны эпюры Nz, Qx, Qу, Mx, Mу и Mz.Эпюры позволяют выявить положение опасного сечения накаждом участке, по величинам (значениям) внутренних силовыхфакторов.Положение опасного сечения на первом и втором участкахимеет место, в конце каждого участка. На третьем участке вначале. Опасное сечение, как правило, отмечается римскимицифрами (см. рис. 1).3. Косой изгибПредставим такое загружение бруса, при котором в егопоперечном сечении возникает изгибающий момент, плоскостьдействия которого не проходит ни через одну из главных осей.Такой вид нагружения принято называть косым изгибом.Нормальные напряжения в произвольной точке поперечногосечения стержня определяются по формуле:  (M x / I x ) y  (M y / I y )x( 1 )где Мх и Му - изгибающие моменты в рассматриваемом поперечномсечении; Iх и Iу - главные центральные моменты инерции;х и у - координаты точки, в которой определяется напряжение.Как и при прямом изгибе, в сечении существует нейтральнаяось, в точках которой напряжения равны нулю.