Лекции в электронном виде (PDF), страница 4

послеоавтельное соеинениеПри U(t ) = 1 и λ (t ) = 1 , y (t ) можно определить:1. через решение эквивалентного дифференциального уравненияU−Y(s )2. через Wэкв (s ) и обратное преобразование Лапласа L−1 U(s ) ⋅ Wэкв3. через Wэкв ( jω ) и обратное преобразование Фурье{}Теория автоматического управления (лекции) п.п.

all.doc24W1 (s ) ⋅ [W2 (s ) + W3 (s )] ⋅ W4 (s )1 + W1 (s ) ⋅ [W2 (s ) + W3 (s )] ⋅ W4 (s ) ⋅ [W5 (s ) + W6 (s )]ПРИМЕР: (лабораторная работа №2)Wэкв (s ) =U(s)И-звенорегуляторА-звенообъект1Ти ⋅ skaТa ⋅ s + 1Wи(s)Wа(s)Y(s)_(единичная обратная связь)k a , Ta = const; Т и = varКанал U(t ) → y (t )kakaТи ⋅ s Тa ⋅ s + 1kaWи (s ) ⋅ Wа (s )====2ka1 + Wи (s ) ⋅ Wа (s )Ти ⋅ Тa ⋅ s + Ти ⋅ s + k a1+Т и ⋅ s ⋅ (Т a ⋅ s + 1)ka1U−YWэквU−YWэкв=⋅()1Ти ⋅ Тa 2 Ти⋅s +⋅s+1kaka{14243T1T2211; s2 → 2dtdtОбратное преобразование:d 2 y (t )dy (t )T22 ⋅+ T1 ⋅+ y (t ) = 1 ⋅ U(t )2dtdtВ зависимости от T22 и Т1 (то есть от Ти, Та, ka) вид y (t ) будет меняться.В такой системе расходящихся колебаний быть не может.y(t)Решение дифференциального уравнения [1]y (t ) = y вынужден (t ) + y своб (t )s→1, при U(t)=1(t) y вынужден (t ) = 1 ⋅ U(t ) U (t )=1 = 1 ← определяется правой частьюt2у своб (t ) = ∑ C i ⋅ e r tii =1= C 1 ⋅ e r1t + C 2 ⋅ e r2t[r1 , r2 - корни характеристического уравнения T22 ⋅ r 2 + T1 ⋅ r + 1 = 0, при y (t ) ≠ 02 T T1r1, 2 = − 1 ±  1  − 22T2T2 2T2 Варианты:a.

подкоренное выражение больше 0 ⇒ T1 f 2T2* подкоренное выражение равно 0, если T1 = 2T2корни: r1 = − α 1 ; r2 = − α 2 (корни вещественны и отрицательны).y (t ) = 1 + C 1e − α1t + C 2 e − α 2tС1 и С2 → из нулевых начальных условий:α2C1 = −y (t ) t = 0 = 1 + C1 + C 2 = 0α 2 − α1⇒y ′(t ) t = 0 = − α 1 ⋅ C1 − α 2 ⋅ C 2 = 0C = + α 1 2α 2 − α1]Теория автоматического управления (лекции) п.п.

all.doc25α2α1⋅ e − α 1t +⋅ C 2 e − α 2tα 2 − α1α 2 − α1Примечание: Динамическую систему,котораяописываетсялинейнымАпериодическое звенодифференциальным уравнением 2-го2-го порядка;1А-звенопорядка, принято называть инерционнымзвеном 2-г порядка.tЕсли корни вещественны, отрицательны иразличны, то такое звено называютапериодическим звеном 2-го порядка.Такое звено можно заменить:точка перегибаОкончательно: y (t ) = 1 −y(t)y(t)х(t)τtTу(t)З-звеноА-звеноkТ⋅s +1е − sτWэкв (s ) =1⋅ e − τ ⋅sT⋅s +1b.

T1 = 2T2r1 = r2 = − αy (t ) = 1 + (C 1 + C 2 ) ⋅ e − α⋅t , при х(t ) = 1Начальные условия:y (t ) t = 0 = 0 C 1 = − 1⇒y ′(t ) t = 0 = 0C 2 = − αОкончательное решение: y (t ) = 1 − (1 + α ⋅ t ) ⋅ e − α⋅tкомплексными конями.c. T1 p 2T2корни: r1 = r2 = − α ± jωy(t)cbа-границамежду1tвещественными21  T1  - расчетная частота собственных колебаний;* ω=−T22  2T2 y (t ) = 1 + (C1 ⋅ Cosωt + C 2 ⋅ Sinωt ) ⋅ e − α⋅tНачальные условия:C 1 = − 1y (t ) t = 0 = 0 ⇒αy ′(t ) t = 0 = 0C 2 = − ω−1 = jαОкончательное решение: y (t ) = 1 −  Cosωt + ⋅ Sinωt  ⋅ e − α⋅tω1. Та = 10; Ти = 10; kа = 12.

Ти,1 = 0.2·Ти3. Ти,2 = 5·Ти2πТ0 =– период собственных колебанийy(t) А1ωА3А 3 = А 1 ⋅ e − αt1.0а0Т0Т02π– экспериментальная частота собственных колебанийТ0tА − А3Для таких систем вводят степень затухания: ψ = 1А1ω=иТеория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc26Возьмем отрезок [0; Т 0 ] - см. графикψ=2π−αА 1 − А 1 ⋅ e − αT0= 1−e ωА1α= m - степень колебательности.ωψ = 1 − e −2 πmНа практике ψ = 0.7 ÷ 0.9ψ0.70.9m0.2210.366Теоретически ψ = 0 ÷ 1y(t) 2.0m = 0÷∞d.

T1 = 0корни: r1 = r2 = ± jω - чисто мнимыеy (t ) = 1 − CosωtПодбирая коэффициенты Ти можно подобрать вид кривой.Частотные характеристики инерционного звена 2-го порядка.1Wэкв (s ) = Wи (s ) ⋅ Wa (s ) ⋅- соответствии со схемой.1 + Wи (s ) ⋅ Wa (s )Wи ( jω ) ⋅ Wa ( jω )Wэкв ( jω ) s→ jω =1 + Wи ( jω ) ⋅ Wa ( jω )Можно получить Wэкв (s ) и Wэкв ( jω ) из дифференциального уравнения.Wэкв (s ) =Y(t )1= 2 2X(t ) T2 ⋅ s + T1 ⋅ s + 1Wэкв ( jω ) ==(T22(1 ⋅ 1 − T22 ⋅ ω 2 − jT1 ⋅ ω1 − T22 ⋅ ω 2(1 − T ⋅ 4ω ) + T ⋅ω1444244443222 2)()⋅ ( jω ) + T1 ⋅ jω + 1 ⋅ 1 − T22 ⋅ ω 2 − jT1 ⋅ ω2212− j⋅Re ( ω )A(ω ) = Re 2 (ω ) + Im 2 (ω ) =)=T1 ⋅ ω(1 − T ⋅ 4ω ) +T ⋅ω14442444432 222212Im ( ω )(1 − T221⋅ ω2T1 ⋅ ωIm(ω )= −arctgRe(ω )1 − T22 ⋅ ω 21 вариант: аналитический.)2+ T12 ⋅ ω 2ϕ(ω ) = arctgT1T1T1T1f 2T2p 2T2=0= 2T2T2= 0.5 , КЧХ – границаT11.

ω = 0 , ϕ(0 ) = 0 , А(0) = 12. ω → ∞ , ϕ(∞ ) = − π , А(∞ ) → 01π3. ϕ = − , Re(ω ) = 0 ⇒ ω π =−T222При T1 = 2T2 (случай b)1.0tТеория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc27T1T2TIm ω π  == 22T1 − 2   T1  T 2Резонанс при ω = ω собств .2 вариант: графический.Wa ⋅ Wи1 + Wa ⋅ Wи1.

Сначала строятся КЧХ А-звена и КЧХ Извена.2. Прикакой-то частотеω 3 строитсяWa ⋅ WиWэкв (s ) =3. складываются вектора→1и− − − − − − −− →Wa ⋅ Wи ,− − − − − − − − − − −− →получается вектор 1 + Wa ⋅ Wи− − − − − − −− →− − − − − − − − − − −− →4. делим Wa ⋅ Wи на 1 + Wa ⋅ Wи . При этомаргументы вычитаются, а модули делятся.5.5. Понятие о замкнутой и разомкнутой системах.Wзам(s)U(s)W1(s)_W2(s)Y(s)По такой структуре строятся АСР, гдеW2 (s ) - передаточная функция объекта регулированияW1 (s ) - передаточная функция регулятораW1 (s ) ⋅ W2 (s )Y(s )Wзам (s ) ==- замкнутая АСРU(s ) 1 + W1 (s ) ⋅ W2 (s )Если обратную связь разорвать, то получаетсяразомкнутая АСР.Y(s )Wраз (s ) == W1 (s ) ⋅ W2 (s )U(s )Wраз (s )Wзам (s ) =1 + Wраз (s )− − −− →−− →Wзам ( jω) = OC−−→OC =−−→OA−−→OB−− →−−→mod OAmodOC=−−→mod OB−−→−−→−−→  arg OC = arg OA − arg OB 6.

Имитационное моделирование переходных процессов в ЛДС.6.1. Замена дифференциального уравнения высокого порядкана соединение элементарных звеньев.ПРИМЕР: (из расчетного задания).Дифференциальное уравнение:x(t)y(s)d 3 y (t )d 2 y (t )dy (t )т/оA+A+ A1+ y (t ) = B ⋅ x(t )33232G, м /чΘ, ºСdtdtdt~ 500~ 80ºСТеория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc28 oС В  3  - коэффициент усиления (задано ~ 1.0)м ч– на схеме изменяется температура на выходе подогреваемой среды при ∆G гор = 1Wоб (s ) =Y(s )В=3U(s ) A1 ⋅ s + A 2 ⋅ s 2 + A1 ⋅ s + 114444244443м3ч[∗ ]Эквивалентная схема: 3 А-звена.U(s)B1T1 ⋅ s + 1T2 ⋅ s + 1y(s)1T3 ⋅ s + 1В(T1 ⋅ s + 1) ⋅ (T2 ⋅ s + 1) ⋅ (T3 ⋅ s + 1)Чтобы осуществить такую замену, необходимо найти Т1, Т2, Т3 (известны А1, А2, А3).111Т 1 = − ; Т 2 = − ; Т 3 = − , где r1 , r2 , r3 - корни характеристического уравнения [*].r1r2r3Программа для MathCad:f (A 3, A 2, A1, r ) := A 3 ⋅ r 3 + A 2 ⋅ r 2 + A1 ⋅ r + 1А 3 := 40; А 2 := 38; А1 := 11;j := 0K100; rj := 0.1 j − 1;Wоб′ (s ) =(Практически все корни в задании 0 ÷ (− 1) )y j := f A 3, A 2, A1, rj()+0.15r1r2Частный случай: r1 , r2 = r3r3yjr1r2= r3-0.15-1.0rj06.2.

Пример имитационного моделирования замкнутой АСРПредставим замкнутую АСР в виде структурной схемы из элементарных звеньев.μPλ(t)Пε(t)U(t)х1(t)+ μy1(t)А1-зв.+_А3-зв.Wобъект.(s)μIООСА1-звено: W1 (s ) =А2-зв.y3(t)_ИWрег.(s)y2(t)BT1 ⋅ s + 1BА2-звено: W2 (s ) =T2 ⋅ s + 1BА3-звено: W3 (s ) =T3 ⋅ s + 1ε(t ) = U(t ) − y 3 (t )x 1 (t ) = µ (t ) + λ (t )µ = µP + µIТеория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc29П − регулятор : Wп = k p0.2 ⋅ Т иk p  ПИ − регуляторИ − регулятор : Wи =⋅tТ и Программа:k1 := B k 2 := 1 k 3 := 1, ( B = 0.8 - задано)Исходные данные объекта:T1 := 2 T2 := 4 T3 := 5Разностные уравнения звеньев:dt dt ⋅ Y +А-звено: f a (k a , Ta , dt , X, Y ) :=  1 −⋅ka ⋅ XTa Ta kр⋅ dt ⋅ X + YИ-звено: f и  k р , Tи , dt , X, Y  :=1442443 параметры расчета  TиП-звено: f р k р , X := k р ⋅ X()te := 60 , N := 6000 - число точек, [N = 100 ⋅ t ], t – время.tedt := - шаг, j := 0 K NNt j := dt ⋅ j - текущее время()P k p , Tи , λ , U :=µ0 ← 0 µI 0 ← 0 ε 0 ← 0 нулевые начальные условияy10 ← 0 y 2 0 ← 0y 3 0 ← 0tefor j ∈ 0 Kdtx j+1 ← λ + µj(← f (k 2, T2, dt , y1← f (k 3, T3, dt , y 2y1 j+ 1 ← f a k1, T1, dt , x j+ 1 , y1 jy 2 j+1y 3 j+1j+ 1, y2jaj+ 1j((kµPj+ 1 ← f p k p , ε j+ 1µI j+1 ← f иp), Т и , dt , ε j+ 1 , µPj+ 1µ j+ 1 ← µPj+ 1 + µI j+ 1y3V1 := P(0,1000,1,0 )0Btj), y3 )aε j+ 1 ← U − y 3 j+ 1V1j)60)Теория автоматического управления (лекции) п.п.

all.doc307. Устойчивость ЛДС.7.1. Понятие об устойчивости.Аксиома 1: Устойчивость определяется внутренним состоянием ДС.Аксиома 2: Устойчивость не является абсолютным свойством ДС.ПРИМЕР:а) устойчивая ДСб) нейтральная ДСв) неустойчивая ДС.y(t)х(t)у(t)В данном случае внутренним состоянием системы является формаповерхности.- граница- устойчиваяt- неустойчиваяЕсли подать на вход сигнал:x(t) – правая часть диф. уравнения, описывающего ЛДС.Систему можно отрегулировать так, чтобы она была устойчива.Устойчивость – свойство ДС возвращаться в исходное состояниепосле снятия действующих на нее возмущений.t Устойчивость определяет свободное движение системы у своб (t )у своб (t ) = ∑ C i ⋅ e ri ti =1Свободноедвижениесистемызависитоткорнейхарактеристического уравнения.Прямой метод оценки устойчивости – решение дифференциальногоtуравнения у своб (t )7.2. Косвенные методы оценки устойчивости ЛДС.7.2.1.

По корням характеристического уравнения ЛДС.Дифференциальное уравнение → характеристическое уравнение → корниКорни в общем виде: r1, 2 = ± α ± jω1. Корнивещественны,отрицательны(− α 1 ,−α 2 ,K) .ЛДС – устойчивая без колебаний.(− α ± jω)2. Комплексныесотрицательной вещественной частью.ЛДС устойчива с колебаниями.3. Один из корней равен 0.ЛДС нейтральная.4. Корни мнимые →незатухающиеколебания → граница устойчивости.Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc315. Корень вещественный положительный. ЛДС неустойчива.6. Корни комплексные с (+ α ) . ЛДС неустойчива (колебания).Критерий устойчивости по корням: ЛДС устойчива, если корни характеристического уравнениялежат слева от мнимой оси; неустойчива, если корни справа от мнимой оси (хотя бы один изкорней).Мнимая ось – граница устойчивости.7.2.2.

Алгебраический критерий (критерий Гурвица).(по коэффициентам характеристического уравнения).Порядок анализа:1. записывается характеристическое уравнение: a 0 ⋅ r n + a 1 ⋅ r n −1 + a 2 ⋅ r n − 2 + K + a n = 02.3.а)б)a1 a 3a0 a2составляется определитель Гурвица (матрица): ∆n = 0 a 1MM0 0Сначала заполняется диагональ a 1 L a n .анализ определителя.ЛДС устойчива, если:все коэффициенты одного знака;n−1определитель ∆n f 0,∆0,∆2 f 0,142f43a5a4a3M0K 0K 0K 0 .O MK anесли вычеркнуть последнюю строку и столбецПРИМЕР:АWA (s ) =110 ⋅ s + 1()WП s = k pобъектАА_ПОпределяем, при каком k p система на границеустойчивости.регуляторWA (s ) =110 ⋅ s + 1WП (s ) = k p33[WA (s )]Wэкв (s ) =31 + WП (s ) ⋅ [WA (s )]a1a30∆ = a00a2a10a33 1 10 ⋅ s + 1 1==3 11+ kp ⋅ 321000{ ⋅ s + 300{ ⋅ s + 30{ ⋅ s +  11+2k3p  10 ⋅ s + 1  a a0a1a2 3 a 0 , a1 , a 2 , a 3 f 0a a3∆ = a 1 f 0 , ∆2 = 1;∆3 = a 3 ⋅ ∆2a a14404424424444443исследовать∆2 =a1a0a3= a1 ⋅ a 2 − a 0 ⋅ a 3a2Теория автоматического управления (лекции) п.п.

all.doc32Если приравнять к нулю, то получим границу устойчивости → k p()∆2 = 300 ⋅ 30 + 1000 ⋅ 1 + k p = 0 ⇒ k p = 8При k p f 8 ⇒ ∆2 p 0 ⇒ ЛДС неустойчиваПри k p p 8 ⇒ ЛДС устойчива7.2.3. Частный критерий устойчивости (критерий Найквиста).Об устойчивости замкнутой ДС судят по расположению на комплексной плоскости КЧХразомкнутой системы.Wраз .сист .

( jω )Wзамк .сист . ( jω ) =1 + Wраз .сист . ( jω )1 + Wраз .сист . ( jω ) = 0 ⇒ Wраз .сист . ( jω ) = −1Wраз .сист . ( jω) = А раз .сист . ( jω ) ⋅ е1424 434ФЧХраз.сист.j678ϕ (ω )АЧХ раз.сист. А раз .сист . ( jω ) = 1⇒ условие границы устойчивости.ϕ раз .сист . ( jω) = − π1. ДС на границе устойчивости2. ДС устойчива3. ДС неустойчиваКритерий Найквиста: замкнутая ДС считаетсяустойчивой, если КЧХ разомкнутой системы неохватывает точку с координатами (− 1, j0)Если КЧХ разомкнутой системы проходит через точку(− 1, j0) , замкнутая система проходит границуустойчивости и является неустойчивой, если КЧХ РСохватывает точку (− 1, j0) .ПРИМЕР: (см.