Лекции в электронном виде (PDF), страница 3

RZDLaplace.у3(t)при x(t) = 1(t)x(t)ty(t)tТеория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc15k 1 := 1k 2 := 1k 3 := 1T1 := 1T2 := 2T3 := 4W1 (s ) :=W2 (s ) :=k1T1 ⋅ s + 1A := 2x(t ) := A ⋅ 1W(s ) := W1 (s ) ⋅ W2 (s ) ⋅ W3 (s )k2T2 ⋅ s + 1W3 (s ) :=А·1(t)k3T3 ⋅ s + 12}laplace, t t2X(s ) := x(t ) float ,4 обращенение к функции laplace → - решение,123 sточность 4 знакаа которое выдаст компьютер.inlaplace, s → решение системы дифференциальных уравненийY(t ) := X(s ) ⋅ W (s )− 0,6667 ⋅ exp(− 1 ⋅ t ) + 4 ⋅ exp(− 0.5 ⋅ t ) − 5.330 ⋅ exp(− 0.25 ⋅ t ) + 2float ,4t → 0÷∞Если строить график, необходимо задать определенный промежуток t.AИнтегральные преобразования Фурье.x(t)у(t)Преобразование Лапласа s = − α + jωФизического смысла такое преобразование не имеет.Фурье ввел s = jω , имеет физический смысл.W(s)∞Y( jω ) = ∫ Y(t )e − jωt dt = Φ{Y(t )} - прямое преобразование Фурье.0x(jω)W( jω) - комплексно-частотная характеристика (КЧХ)W( jω ) = W(s ) s = jωПРИМЕР:Апериодическое звено: Ta ⋅у(jω)W(jω)dy (t )+ y (t ) = k a ⋅ x(t )dtkaY(s )=X(s ) Ta ⋅ s + 1kaY( jω )W( jω ) ==→ КЧХX( jω ) Ta ⋅ jω + 1k a (− Ta ⋅ jω + 1)kk ⋅T ⋅ωW( jω ) == 2 2a− j a2 2a(Ta ⋅ jω + 1)(− Ta ⋅ jω + 1) 1Ta ω + 1Ta ω + 14243 14243W(s ) =W ( jω ) = A(ω) ⋅ ejϕ ( ω )Re ( ω )Im ( ω )A(ω ) = Re 2 (ω ) − Im 2 (ω )jIm(ω)Re(ω )ϕ(ω ) = arctgIm(ω )A(ω) =kaTa2 ω 2 + 1ka- модуль (или АЧХ)ϕ(ω ) = − arctg(Ta ω ) - ФЧХkaW( jω ) =⋅ exp[− jarctg(Ta ω )]Ta2 ω 2 + 1АЧХ строятся при ω = 0 ÷ ∞ka2Re(ω)ω=0ka2ωi =1TaТеория автоматического управления (лекции) п.п.

all.doc16 Re(ω ) = k aIm(ω ) = 0 Re(ω ) = 0ω=∞ π − arctg(T a ω ) = − 2k1, ϕ(ω ) = −45 , А(ω ) = aПри ω =Ta2ω=0-А(ω)-φ(ω)АЧХh(t)kaωi1π−2ωωi2kа1= kа2ωТа1tТа2jIm(ω)kа1= kа22 апериодических звенаRe(ω) - При одних и тех же частотах амплитуды различаются/ωiωiАЧХ-А(ω)- Для безинерционных систем диапазон частот бесконечен.12ωПостроение переходных характеристик с применениемобратного преобразования Фурье.Входное воздействие: x(t ) = 1(t )2Re{W( jω )}⋅ Sinωt ⋅ dω∫π 0ωНеобходимо знать КЧХ W( jω)ПРИМЕР (см. ранее).x(t)W1(s)W1(s)W1(s)h(t ) =ωсрезу(t)k 1 :=k 2 :=k 3 :=T1 :=T2 :=T3 :=W1 ( jω) :=k1k2k3W2 ( jω ) :=W3 ( jω) :=T1 ⋅ jω + 1T2 ⋅ jω + 1T3 ⋅ jω + 1W( jω ) := W1 ( jω) ⋅ W2 ( jω ) ⋅ W3 ( jω )Wcp := 0.2Теория автоматического управления (лекции) п.п.

all.doc2h(t ) :=π3ωср∫017Re{W( jω )}⋅ Sinωt ⋅ dωωЕсли помножить на 2.h(t)0t30Re{W(jω)}Re{W(jω)}(0.01÷0.03)Re(0)ωср- к выбору частоты срезаω4. Элементарные динамические звенья.4.1. Общие сведения.Элементарное динамическое звеноуравнениями не выше 1-ого порядка.(ЭДЗ)Дифференциальное уравнение в общем виде: T1,y–ЛДС,описываемаядифференциальнымиdy (t )dx(t )+ y (t ) = k ⋅ T1,x+ k ⋅ x(t )dtdtСвойства ЭДЗ:1. детектируемость – означает, что ЭДЗ однонаправленные – сигналпроходит со входа на выход, а не наоборот.2. автономность – свойства одного звена не влияют на свойства другого(свойства звена определяются постоянными Т1,х; Т1,у; k).x(t)ЭДЗy(t)4.2. Пропорциональное звено (П-звено).y (t ) = k ⋅ x(t )y (t )x(t)h(t ) =tx(t )Re(ω)y (s )y(t)A(ω)W (s ) == k - передаточная функцияx(s )k·x(t)kω W ( jω ) = k - КЧХ,tдля любых частот КЧХ будет представленаh(t)φ(ω)вектором.k·1(t)φ(ω) = 0A(ω) = ktω ϕ(ω ) = 0ПРИМЕР: - пассивный четырехполюсник.R1U вхU выхR2=⇒U⋅ U вхвых ={R1 + R 2 {R1 + R 2R2y (t )14243 x (t )UвхR2Uвыхx(t)jIm(ω)kkРазностное уравнение: y j+1 = k ⋅ x j- применяется при имитационном моделированииТеория автоматического управления (лекции) п.п.

all.doc184.3. Интегрирующее звено (И-звено).dy (t )= x(t )dtTи - постоянная времени (интегрирования)Tиtt11∫0 dy (t ) = Tи ⋅ x(t ) ⋅ ∫0 t ⇒ y (t ) = Tи ⋅ x(t ) ⋅ tКривые разгона y (t ) , переходные характеристики h(t )x(t)jIm(ω)x(t)=А·1(t)КЧХty(t)ω→∞ Re(ω)ϕ(ω ) = −ωiωi-1W(jω)y(t)=x(t)th(t)TиA(ω)A(ω)AЧХωTиπ2ФЧХωРазностное уравнение: Tиy j+ 1 − y j∆t1= −jTи ⋅ jω1T ⋅ω1и23Im ( ω );{Re ( ω )= 0}tϕ(ω ) = −y (s )1=x(s ) Tи ⋅ sКЧХ:W ( jω ) s = jω =ω→01(t)φ(ω)π2Передаточная функция:Tи ⋅ s ⋅ y (s ) = x(s ) ⇒π−j2W ( jω ) =1⋅eTи ⋅ jωЕсли подавать на вход гармоническиеколебания, то на выходе сигнал будетπотставать на .2ω i f ω i −1= xj∆t - шаг (выбирается): ∆t = t j+ 1 − t j∆t⋅ xjTиТребуется задание начальных условий: у 0 ← 0, х 0 ← 0ПРИМЕР: емкость постоянного сечения, в которую наливают воду с постоянным расходом.y j+ 1 = y j +GпритокHtGсток=const4.4.

Апериодическое звено (А-звено).dy (t )+ y (t ) = k а ⋅ x(t )dtАпериодическое, так как решение – экспонента, нет колебаний.TаТеория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc19t−Tа y (t ) = x(t ) ⋅ k а 1 − ejIm(ω)kat−Re(ω)h(t ) = k а  1 − e Tа ω=∞ω=0φ(ωi)kаy (t )W(s ) ==А(ωi)x(t ) Ta ⋅ s + 1kaωi⋅ e − jarctg (Ta ω )W ( jω ) s = jω =2 2Ta ω + 1Разностные уравнения (для имитационного моделирования, числовые решения)y j+ 1 − y jTа+ y j = k a ⋅ x j ⇒ y j+ 1 = ...∆tПРИМЕРЫ:1) При ↑ H ⇒ G ст ↑ и наоборот.GпритокИ-звеноHCА-звеноHGсток=f(H)tR2)dU выхdtU − U выхI = вхRdU выхka = 1R⋅C⋅+Uвых = Uвх ,{{{dtTay (t )x (t )I = C⋅R1СUвхUвыхТа=R·C4.5.

Реальное дифференцирующее звено (РД-звено).Tдdy (t )dx(t )+ y (t ) = k д ⋅ Tдdtdtx(t)(идеальное дифференцирующее звеноY(s ) k д ⋅ Т д ⋅ sW(s ) ==X(s ) Tд ⋅ s + 1dy (t )= 0)dtx(t)=А·1(t)ty(t)А·kдy (t ) = L {x(t ) ⋅ W(s )}W(s ) s→ ∞ = k дh(t)t→0W( jω ) s = jω =k д ⋅ Т д ⋅ jωТ д ⋅ jω + 1tTд−1=k д ⋅ Тд ⋅ ωT ω +12д2kд ·1(t)⋅e− jarctg (Т д ⋅ω )TдtТеория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc20Выходные колебания в такой системе опережаютjIm(ω)входные.πω = 0;ϕ(ω ) =2ω = ∞;ϕ(ω ) = 0ω=0kдПРИМЕР: РД-звено – пассивный четырехполюсник.dU cd(U вх − I ⋅ R )dU вхdII=C=C=C− C⋅ RdtdtdtdtdIC ⋅ R dU вхC⋅ R + I =UвхdtRdt1k д = ; Tд = C ⋅ R ; I = y (t ); U вх → x(t )UвхR1(t)dy (t )dx(t )tTд+ y (t ) = k д ⋅ Tд ⋅dtdtЕсли R → 0 , то получим идеальное дифференцирующее звено; k д ⋅ Tд = const .Разностное уравнение.П-звено: k д ;y1kдП-звено+А-звено:x(t)y(t)Tд ⋅ s + 1А-звеноу2РД-звеноКЧХRe(ω)ω=∞СIRUвыхI1/RtR·CОбычно РД-звено представляют так:kдk ⋅T ⋅sWрд = k д −= д д - передаточнаяTд ⋅ s + 1 Tд ⋅ s + 1функция. y1 j+ 1 = k д ⋅ x j∆t ∆t⋅ yj + kд ⋅⋅ x - разностные уравнения. y 2 j+ 1 =  1 −Tд Tд y = y1 + y 2j+ 1j+ 1 j+ 14.6.

Запаздывающее звено (З-звено).(Звено транспортного запаздывая).ПРИМЕР:Lτ = , V – скорость.1(t)Vty (t ) = x(t ) − τy(t)- уравнение З-звена.транспортерРазностное уравнение:1(t)tτ Ly j+ 1 ← if  t j p τ ,0, x j − τ∆t τЕсли t j p τ , то y j+1 = 0 , иначе y j+ 1 = x j −∆t− jωτW( jω ) = 1 ⋅ e- КЧХ З-звенаjIm(ω)τ - временной сдвиг, ω - частота.ω→∞Фазовый сдвиг = ω ⋅ τЗнак «-» означает запаздывание.ω = 0 Re(ω)− s⋅ τW (s ) jω→s = e -передаточная функция.А(ω)=1x(t)x(t)x(t)ty(t)y(t) = x(t)А(ω)tτ1,0-φ(ω)ωωТеория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc215. Соединение элементарных динамических звеньев (ЭДЗ).5.1. Общие сведения.Виды соединений.1. параллельное;2. последовательное;3.

встречно-параллельное;4. комбинированное.ПРИМЕР:W1 ÷ W6 (s ) - передаточные функцииЭД систем.Wэкв(s)W2(s)x(t)±W1(s)y(t)W4(s)±±W3(s)W5(s)±±W6(s)Правила.1.x(t)2.x(t ) = x 1 (t ) = x 2 (t ) = x 3 (t )x1(t)x2(t)x3(t)x1(t)алгебраический сумматор: x(t ) = ± x 1 (t ) ± x 2 (t )x(t)± ±x2(t)3.x(s)y(s)y (s ) = x(s ) ⋅ W (s )W(s)5.2. Параллельное соединение ЭДЗ.x(s)y (s ) = ± y 1 (s ) ± y 2 (s ) ± ... ± y n (s )y1(s)W1(s)±W2(s) y2(s)± ±yn(s)Wn(s)y(s)y 1 (s ) = x(s ) ⋅ W1 (s )My n (s ) = x(s ) ⋅ Wn (s )y (s ) = x(s ) ⋅ [± W1 (s ) ± W2 (s ) ± K ± Wn (s )]y (s )Wэкв (s ) == ± W1 (s ) ± W2 (s ) ± K ± Wn (s )x(s )Эквивалентная передаточная функция параллельного соединения звеньев равнасумме их передаточных функций.Wэкв(s)Правило:nКЧХ: W( jω ) s→ jω = ∑ Wi ( jω)i =1ПРИМЕР: (из лабораторной работы №1).Параллельное соединение П-звена и И-звена.1Wэкв (s ) = Wп (s ) + Wи (s ) = k +Tи ⋅ sТеория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc22y1jIm(ω)kk y(t)+П-звеноx(t)kП-звеноRe(ω)И-звено1ТиsWэкв ( jω) s→ jω = k +A экв (ω ) = k 2 +у2ωi-φэкв(ωi)КЧХпараллельногосоединениядвух звеньевАэкв(ωi)1(t)Ти11=k−jTи ⋅ jωTи ⋅ ω1(Т и ⋅ ω)2ϕ(ω ) = − arctg1k ⋅ Ти ⋅ ωπПри ω → 0 ; ϕ → −2Wп ( jω ) = k ; Wи ( jω ) =π−j1⋅e 2Tи ⋅ ω5.3.

Последовательное соединение ЭДЗ.x(t)W1(s)у1(t)W1(s)у2(t)W1(s)у(t)y (t ) = L−1 {W1 ⋅ W2 ⋅ W3 }y (s ) = y 2 (s ) ⋅ W3 (s ) = y 1 (s ) ⋅ W2 (s ) ⋅ W3 (s ) = x(s ) ⋅ W1 (s ) ⋅ W2 (s ) ⋅ W3 (s )y (s )= W1 (s ) ⋅ W2 (s ) ⋅ W3 (s )x(s )Wэкв ( jω ) s→ jω = W1 ( jω ) ⋅ W2 ( jω ) ⋅ W3 ( jω)Wэкв (s ) =Правило:Передаточная функция или КЧХ последовательного соединения звеньев равнапроизведению передаточных функций или КЧХ входящих в соединение звеньев.ПРИМЕР:х(t)И-звеноА-звено1ТиskaТas + 1jIm(ω)у(t)ω→∞Wэкв ( jω) =Re(ω)φ(ωi)=45ºWэквωikaWэкв (s ) = Wи (s ) ⋅ Wa (s ) =Tи ⋅ s ⋅ (Ta ⋅ s + 1)π2ωiWи(jω)Wa(jω)ω→0ππ− j  + arctg ( Ta ⋅ω ) −jkaka1⋅e 2 ⋅⋅ e − arctg (Ta ⋅ω ) =⋅e 22222T ⋅ωTи ⋅ ω ⋅ Ta ⋅ ω + 1a ⋅ω +11и4243 1T4444244443И − звеноА − звеноТеория автоматического управления (лекции) п.п.

all.doc23π π3π− =−2 44Правило перемножения векторов:При перемножении векторов аргументы (ФЧХ) складываются, модули (АЧХ) перемножаются.→ А и (ω i ) ⋅ А a (ω i );ϕ=−Теоретическиω= 0÷∞Приω=0А экв (0 ) = ∞ω→∞А экв (∞ ) = 0π2ϕ экв (∞ ) = − πϕ экв (0) = −5.4. Встречно-параллельное соединение ЭДЗ.Обратная связь может быть со знаком “+” или “-”.“+” – положительная обратная связь (ПОС)“-” – отрицательная обратная связь (ООС)± x2(t)ПОС раскачивает систему. ООС стабилизирует системуW2(s)(направлена на исключение внешнего влияния).ООС лежит воснове стабилизирующих автоматических систем регулирования (АСР).

ПОС используется впозиционном регулировании.y (s )Wэкв (s ) =x(s )ПОС}y (s ) = x 1 (s ) ⋅ W1 (s ) = x 1 (s ) = x(s ) ±{ x 2 (s ) = [x(s ) ± x 2 (s )] ⋅ W1 (s ) = [x(s ) ± y (s ) ⋅ W2 (s )] ⋅ W1 (s )x(t)x1(t)Wэкв(s) y(t)W1(s)ООСW1 (s )1 ± W1 (s ) ⋅ W2 (s )ПРИМЕР:- ПОС+ ООСWэкв (s ) =АвтоматическийрегуляторU(s)λ(s)Wр(s)_ОбъектрегулированияWо(s)U(s ) - задание регуляторуY(s) λ (s ) - возмущение по каналу регулирующеговоздействияU(s)±П-звено = 1.0(единичная обратная связь)y(t)UзадЕсли на входеt , то на выходеtЕсли изменилось λ (s ) , то регулятор должен навыходе скомпенсировать изменение λ : y(t) λtКанал U(t ) → y (t )6447448Wp (s ) ⋅ Wo (s )U−YWэкв =1{+1{ p (s ) ⋅ Wo (s ) ⋅{ W1442443всегда в знаменателе ООСП -звено  ПравилоМей соназамкнутый контурКанал λ (t ) → y (t )Wo (s )λ−YWэкв=1 + Wp (s ) ⋅ Wo (s ) ⋅ 1Wэкв ( jω ) = Wэкв (s ) s = jωт.к.