Лекции в электронном виде (PDF), страница 2

all.doc8dH= G пр (t ) − α Н ⇒dtdHF⋅+ α Н = G пр (t ) - нелинейное уравнение, правая часть характеризует вынужденноеdtдвижение. Так как в процессе регулирования отклонения не большие, топриняли гипотезу о линеаризации дифференциальных уравнений.НоF⋅2.3. Линеаризация дифференциальных уравнений.Линеаризация методом касательной.y(t)fo[x(t)]область регулированияx(t)В основе линеаризации гладких (дифференциальных) функций лежит метод разложения в рядТейлора.y (t ) = f [x(t )]∂f 0 [x(t )]1 ∂ 2 f 0 [x(t )]y (t ) = f 0 [x(t )] +⋅ ∆x 2 + ...⋅ ∆x + ⋅22!∂t∂tЛинеаризация не требует производных выше первого порядка (все остальное отбрасываем).y (t ) − f 0 [x(t )] = ∆y (t ) = a ⋅ ∆x ⇒ ∆y (t ) = a ⋅ ∆x(t ) , где а – тангенс угла наклона касательной.ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИМЕРА.dH (t )F⋅= G пр (t ) − α Н (t )dtПримем, что G пр (t ) = G пр , 0 + ∆G пр (t )α H (t ) = α H 0 (t ) + αα H 0 (t ) = G ст 0 , α12 H012 H0∆H∆H - производная α H (t )Для стационарного режима G пр 0 = G ст 0 , при этом Н = Н 0Fd[H 0 + ∆H ]1= G пр , 0 + ∆G пр − G ст , 0 − α∆Hdt2 H0dH 0= 0, тта как H 0 = constdtG пр ,0 − G ст , 0 = 0, ттогдFd∆H (t )1+α∆H (t ) = ∆G пр (t ) - ллинейно д.у.

относительно приращенного уровняdt2 H0Можно принять, что ∆H (t ) = y (t ) ; ∆G пр (t ) = x(t )2 H01 dy (t )⋅+ y (t ) =x(t )α dtα2 H01F ⋅ 2 H 0 ⋅ = T,=kααF ⋅ 2 H0 ⋅Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.docОкончательное дифференциальное уравнение: T9dy (t )+ y (t ) = k ⋅ x(t )dtЕсли задать x(t) = const = 1(t)Т – постоянная времени, k – коэффициент усиления2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений с правой частью.Решение складывается из свободной и вынужденной частей:y (t ) = y своб (t ) + y вын (t )ny своб (t ) = ∑ С i ⋅ e ri ⋅t , гдеi =1Сi – постоянная интегрирования (определяется начальными условиями)ri – корни характеристического уравненияn – порядок дифференциального уравненияy вын (t ) = k ⋅ x(t )ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИМЕРА.y св (t ) = C ⋅ e r⋅tT ⋅ r + 1 = 0 - ххарактерстическое уравнение ⇒ r = −y св (t ) = C ⋅ ey (t ) = C ⋅ eИщем С :−−tT1T1T+ k ⋅ x(t ) - решение дифференциального уравненияy (t ) t = 0 = C + k ⋅ x(t ) = 0 ⇒ C = −k ⋅ x(t )t− Ty (t ) = −k ⋅ x(t ) ⋅ e + k ⋅ x(t ) = k ⋅ x(t )1 − e  - окончательное решениеПусть x(t ) = 1,0; Т = 10; k = 2, ттогд−tTk=2t− 10y (t ) = 2 ⋅ 11 − e Т=10Линеаризованная динамическая система в теории автоматического управления называетсялинейной динамической системой.dy (t )Ta+ y (t ) = k a ⋅ x(t )dtА-звено (апериодическое звено).−ty (t ) = k а ⋅ x(t )1 − e Tа  - решение дифференциального уравненияx(t ) = 1y(t)kdy (t )= adt t = 0 TaТа – время по истечении которого y(t)достигнет установившегося значения,1(t)kаесли будет изменяться с постояннойскоростью.ttТаТеория автоматического управления (лекции) п.п.

all.doc102.5. Временные характеристики линейных ДС (ЛДС).2.5.1. Кривые разгона.Кривая разгона ДС – это реакция на ступенчатое возмущение.0, t 〈 0х(t)x ⋅ 1(t ) =  x, t ≥ 0Х·1(t)Х – вещественное число, выбранное при эксперименте.tу(t)у(t)∞=k·хкриваяразгонаДС имеет бесконечное множество кривых разгона.

Для каждогоХ она своя.Х выбирается из условия определения у(t) на фоне помех.Х ≈ 10-20% от Хномt- инерционность ЛДС2.5.2. Переходные характеристики ЛДС.y (t )x(t )Переходная характеристика h(t) – реакция ЛДС на единичноеступенчатое возмущение.0, t p 01(t ) = 0, t ≥ 0Кривые разгона нормируют (пересчитывают на переходныехарактеристики).y (t )y (t )h 1 (t ) = 1 , h 2 (t ) = 2 ,...x 2 (t )x 1 (t )Усредненная переходная характеристика:h(t ) =y1(t)y2(t)ty3(t)y4(t)nh(t )ср =∑ h (t )i =1in2.5.3. Импульсные характеристики ЛДС.δ(t )Импульсные характеристики ЛДС –реакции на дельта-функцию Дирака0, t ≠ 0δ(t ) = ∞ , t = 0t+∞∫ δ(t )dt = 1ω(t)−∞d1(t )dtδ(t ) - дельта-функция равна производнойвозмущения по времени.dh(t )- импульсная характеристика.ω(t ) =dtδ(t ) =tединичногоTТеория автоматического управления (лекции) п.п.

all.doc11На практике:х(t)х(t)Хtиt-Хtу(t)Если просуммировать кривые разгона от «+» импульса Х и «-»импульса –Х, то получим кривую ω(t)кривая разгонаω(t)/Хth(t)h(t)ω(t)ka/TaДУ – математическая модель ДС. Решив дифференциальные уравненияt при х(t) = 1(t), получим переходную характеристику:−tTa h(t ) x (t )=1 = k a 1 − eЧтобыполучитьимпульснуюхарактеристику,нужнопродифференцировать h(t ) .tПри x(t) = 2 (например) получим кривую разгона.2.6. Частотные характеристики ЛДС.Частотные характеристики на вход подают какие-то гармоническиеколебания (не ступеньку, как временные).Частота гармонических колебаний: ω = 0 ÷ ∞ (теоретически).x,y(t)На практике: ω р = ω 1 ÷ ω срω ср - частота среза (частота, при которой на выходе нет сигнала).ωi =2 ⋅ π  рад ,Ti  с x(t)ЛДСx(t)Ахy(t)АуtT i - период колебаний ω срx(t ) = A x ⋅ sin ωtНа выходе будут колебания с той же частотой и той жеамплитудой (если система безинерционна), но они могут бытьсдвинуты по фазе (инерционная система).∆t i = t x − t y («-» - отстают, «+» - опережают).Время tx и ty надо брать, когда колебания установятся.Обработка эксперимента.A y (ω i )A(ω i ) =- модуль при ωi (относительная амплитуда)A y (ω i )A(ω ) - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)ϕ(ω i ) = ± ∆t i ⋅ ω i - фазовый сдвиг при ωi (аргумент)ϕ(ω ) - фазо-частотная характеристика (ФЧХ)Комплексная частотная характеристика (КЧХ)W( jω ) = A(ω ) ⋅ e ± jϕ (ω ) - на комплексной плоскости, либо вполярных координатах.y(t)Titx∆ttyА(ω)А(ωi)АЧХωi± φ(ω)ωφ(ωi)ФЧХωiωТеория автоматического управления (лекции) п.п.

all.docДругая форма записи:jIm(ω)Re(ω)φ(ωi)=-π/4ωi-1W(jω)ωi12W( jω ) = Re(ω ) + j Im(ω )A(ω ) = Re 2 (ω ) + Im 2 (ω )А(ωi) ϕ(ω ) = arctg Im(ω )Re(ω )ωi+13. Интегральные преобразования в ТАУ.3.1. Интегралы свертки для входного воздействия x(t) произвольной формы.Линейная динамическая система (ЛДС) – система, которая подчиняется x(t)принципу суперпозиции.Принцип суперпозиции.

Реакция линейной системы на суммарноевходное воздействие равна сумме реакций на составляющие входногоx(t)воздействия:x(t )Σ = x 1 (t ) + x 2 (t )y (t )Σ = y 1 (t ) + y 2 (t )Вывод выражения для интеграла свертки.x(t ) = ∆x 1 (∆t ) ⋅ 1(t − ∆t ) + ∆x 2 (2∆t ) ⋅ 1(t − 2∆t ) + ... + ∆x i (i∆t ) ⋅ 1(t − i∆t )Устремим число разбиений на ∆t к ∞y (t ) = ∆x 1 (∆t ) ⋅ h(t − ∆t ) + ∆x 2 (2∆t ) ⋅ h(t − 2∆t ) + ... + ∆x i (i∆t ) ⋅ h(t − i∆t )n∆ty (t ) = ∑ ∆x i (i∆t ) ⋅ h(t − i∆t ) ⋅∆ti =1Предельный переход:n → ∞,∆ t → d τ , i∆ t → τty (t ) = ∫ x ′(t ) ⋅ h(t − τ )dτx(t)ΣAtx1(t)At-A x2(t)y(t)y1(t)y(t)Σt[1]y2(t)x(t)0∆x i (i∆t )→ x ′(t ) - производная от х∆t[1] – интеграл свертки через переходную характеристику h(t)ПРИМЕР.∆x2∆xi∆x1∆t i∆ttx(t ) = 1 ⋅ t ,x(t)y(t) то есть через 1 с на выходе будет 1, через 2 с – 2.−tTa x(t)h(t ) = k a 1 − e1,0h(t ) - переходная характеристика для ЛДС, которую можно описатьдифференциальным уравнением 1-го порядка.x′(t ) = 1x(t)ty(t)t1,0tЛДСилиt−τtttt − t−τ−−y (t ) = ∫ 1 ⋅ k a  1 − e Ta dτ = ∫ k a dτ − ∫ e Ta dτ = k a t − Ta  1 − e Ta  x(t)ty(t)t000ЛДСЕсли свойства ЛДС заданы в виде ω(t ) импульсной характеристики: ω(t ) =суммой ступенек, а суммой импульсов.h(t ).

х(t ) заменяем неdtТеория автоматического управления (лекции) п.п. all.doct13[2]y (t ) = ∫ x(t )ω(t − τ )dτx(t)0t−Tah(t ) = k a 1 − ex(t)−kdh(t )= ω(t ) = a ⋅ e TadtTatt3.2. Интегральное преобразование Лапласа. Передаточные функции.Интегральное преобразование Лапласа относится к методу решения задач путем заменыпеременных:t → s = − α + jω - время заменяется комплексной переменной s – оператор Лапласа;α, ω – вещественные числаj= −1Существует прямое и обратное преобразование Лапласа.Прямое преобразование Лапласа:∞F(s ) = ∫ f (t )e − st dt = F{f (t )}0ПРИМЕР:dy (t )Ta+ y (t ) = k a ⋅ x(t )dty (t ) → y (s )y ′(t ) → F{y ′(t )}x(t ) → F{x(t )} = X(t )преобразование Лапласа L∞dy (t ) − st dy (t ) Le dt ==∫ dt  0 dte − st = U; dy (t ) dt = dV;= y (t ) ⋅ e− st ∞0y (t ) = V;∞[∗]U ⋅ V = ∫ UdV + ∫ VdU ∫ UdV = U ⋅ V − ∫ VdU ∞+ ∫ y (t ) ⋅ s ⋅ e dt = − y (0 ) + s ∫ y (t ) ⋅ e − stdt = − y (0) + s ⋅ y (s ) = s ⋅ y (s )1230001424 434− sty (s )Считается, что y (0 ) = 0 - нулевые начальные условия.y ′(t ) = F{y ′(t )} = s ⋅ y (s )∗ :→ Ta ⋅ s ⋅ y (s ) + y (s ) = k a ⋅ x(s )kaY(s )= W(s ) =- передаточная функцияX(s )Ta ⋅ s + 1 d 2 y (t ) → s 2 Y(s )L2  dy  при начальных нулевых условияхn d y (t ) nL→ s Y(s )n  dy Дифференциальное уравнение в общем виде.Любую ДС можно представить в виде одного дифференциального уравнения.Теория автоматического управления (лекции) п.п.

all.doc14n −1 m d m x(t )d n y (t )y (t )dy (t )dx(t )n −1 d+ Tn −1 ⋅+ ... + T1 ⋅+ y (t ) = Tm ,x ⋅+ ... + T1, x ⋅+ x(t ) ⋅ KT ⋅nn −1mdtdtdtdtdtТ имеет размерность времени.Это же уравнение, преобразованное по Лапласу:K Tmm,x ⋅ s m + ... + T1,x ⋅ s + 1Y(s )= W (s ) =- передаточная функция.nnX(s )Tn ⋅ s + ...

+ T1 ⋅ s + 1Передаточная функция ЛДС W(s ) – отношение преобразованных по Лапласу выходнойпеременной Y к входной переменной Х при нулевых начальных условиях.Y(s ) = X(s ) ⋅ W(s )«+» - нет интегралов, можно использовать обычное алгебраическое действие.Y(s ) = L{Y(t )} - прямое преобразование ЛапласаY(t ) = L−1 {Y(s )} - обратное преобразование ЛапласаY(t ) - оригинал, Y(s ) - изображение.nn()− α + jω ,( ω → +∞ )Y(t )∫( Y(s )) ⋅ e− stds− α + jω , ω → −∞3.3. ПРИМЕР «Анализ ЛДС с применением интегральных преобразований Лапласа».x(t)ДС1у1(t)ДС2у2(t)ДС3у3(t)Представленная система описывается дифференциальными уравнениями: dy 1 (t )T1 dt + y 1 (t ) = k 1 x(t ), [ДС1] dy 2 (t )+ y 2 (t ) = k 2 y 1 (t ), [ДС2]T2dt dy 3 (t )T3 dt + y 3 (t ) = k 3 y 2 (t ), [ДС3]Решать эту систему надо относительно y 3 (t )Преобразованная по Лапласу система:Видывходящихвозмущенийx(t)1(t)W1 (s ) =k1T1 ⋅ s + 1W2 (s ) =k2T2 ⋅ s + 11·tW1(s)у1(t)W1(s)у2(t)W1(s)k3W3 (s ) =T3 ⋅ s + 1Y 3 (s ) = Y2 (s ) ⋅W 3 (s )Y 2 (s ) = Y1 (s ) ⋅W 2 (s ) ⇒ Y 3 (s ) = X(s ) ⋅W 1 (s ) ⋅W 2 (s ) ⋅W 3 (s )Y 1 (s ) = X(s ) ⋅W 1 (s )Y 3 (t ) = L−1 {Y 3 (s )}Программа для решения задачи в среде MathCad Prof.