1004147_1 (Типовые по урматфизу)
Описание файла
PDF-файл из архива "Типовые по урматфизу", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "уравнения математической физики" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
12.11. Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности на отрезке.U t = 9U xx , 0 < x < 10, t > 0 x 2 5, 0 ≤ x ≤ 5,U ( x, 0 ) = 10 − x, 4 < x ≤ 10,U ( 0, t ) = U (10, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид:∞ π na − t l 2U ( x, t ) = ∑ An esinn =1π nxl,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ... .l 0llВ нашем случае a = 3, l = 10 .Находим:5102 1 2π nxπ nx An = ∫ x sindx + ∫ (10 − x ) sindx .10 5 010105Вычислим отдельно:5∫x0π nxdu = 2 xdx10π nx =cos1010πn5u = x,du = dx510 x 220π nxπ nxcosx cosdx ==−+π nxπ nx =10πn10 0 π n ∫010dv = cosdx, v =sin1010πn2sin10dx =u = x2 ,dv = sinπ nxdx, v = −510 x 2200 x200 xπ nxπ nxπ nx=−cos+ 2 2 sin− 2 2 ∫ sindx =10 0 π n10 0 π n 010πn555 10 x 2π nx 200 x π nx 2000π nx = −cos+ 2 2 sin+ 3 3 cos =πππn10n10n100=−250π n 1000 π n 2000 π n cos+sin+− 1 . cos2 π 2n22 π 3 n3 2πn110∫ (10 − x ) sin5π nx10u = 10 − x,dx =dv = sinπ nx10du = −dxdx, v = −π nx =10cosπn81010 (10 − x )10π nxπ nx=−cos−cosdx =∫10 5 π n 510πn10 10 (10 − x )π nx 100π nx 50π n 100πn= −cos− 2 2 sincos+ 2 2 sin . =πn10 π n10 5 π n2 π n210Тогда1 1 250π n 1000 π n 2000 π n An = −cossin++− 1 + cos5 5 πn2 π 2n22 π 3n3 2π n 100π n 60π n 100 π n 50+cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cosπn2 π n2 π n2 π 3 n3 2Общее решение исходного уравнения: 3π n t 3πn4 π n − 10U ( x, t ) = 2 ∑ 2 sin+ 3 cos− 1 eπ n=1 n2 πn 220∞22sinπ nx10.13.11.
Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности в круге.U t = 10∆U , 0 ≤ r < 2, t > 0, U ( r , 0 ) = 4 − r 2 , U ( 2, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2 µ r U ( r , t ) = ∑ An exp − 2 n t J 0 n ,n =1 R R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ...
– положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 10, R = 2 . Находим2r (4 − r ) J(µ ) ∫2An =22 J21Сделаем замену2n00 µn r dr . 2 r= x ⇒ r = 2 x, dr = 2dx , тогда21112 ⋅ 228 23An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()().0n0n0n∫0J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n ) ∫0Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20012010Вычислим по частям интеграл:3u = ξ 2,x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =3du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξ0=x= ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .x300Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) = 2 x J ( x ) + x ( x332010102− 4 ) J1 ( x ) .0Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .
Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1S1 = ∫ J 0 (ξ )= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =J (µ ) .µ n µ n µn 0µn 1 n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3=µn µ n µ n40=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==8( S1 − S2 ) =84 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n ) J−−µ() =1nµn3 J12 ( µn ) µ n µn832.µ J ( µn )3n 1Общее решение исходного уравнения: 5µn2t µn r U ( r , t ) = 32∑ 3J0 . exp −2 2 n =1 µ n J1 ( µ n )∞14Найти12.12.решениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности на отрезке.U t = 25U xx , 0 < x < 9, t > 02 x 2 9, 0 ≤ x ≤ 9 2,U ( x, 0 ) = 9 − x, 9 2 < x ≤ 5,U ( 0, t ) = U ( 9, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид: π na − t l 2∞U ( x, t ) = ∑ An esinπ nxn =1l,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ... .l 0llВ нашем случае a = 5, l = 9 .Находим:2 2An = 9 992∫0x sindx + ∫ ( 9 − x ) sindx .99922π nxπ nx9Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 9 dx = dv = sin π nx dx, v = − 9 cos π nx =πn9999u = x,du = dx9 x2π nx 2 18 2π nx=−cos+x cosdx =9π nxπ nx =9 0 π n ∫09πndv = cosdx, v =sin99πn922π nxu = x2 ,9 9 x2π nx 162 x π nx 1458π nx 2cos= −+ 2 2 sin+ 3 3 cos =n9n9n9πππ0=−729π n 1458 π n π n 729cos+ 2 2 sin+− 1 . cos4π n2 π n2 π 3n3 25du = − dx∫ ( 9 − x ) sin 9 dx = dv = sin π nx dx, v = − 9 cos π nx =9299πn9π nxu = 9 − x, 9(9 − x )π nx 81π nx 81π n 81πn= −− 2 2 sin+ 2 2 sin .coscos =πn9π n9 92π n2 π n292Тогда2 2 729π n 729π n 1458 π n An = −cos+ 2 2 sin+− 1 + cos9 9 4π n2 π n2 π 3n3 2π n 81π n 54π n 72 π n 81+cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cos2π n2 π n2 π n2 π 3n 3 2Общее решение исходного уравнения: 5π n t9 3πn4 π n −U ( x, t ) = 2 ∑ 2 sin+ 3 cos− 1 eπ n=1 n2 πn 218∞62sinπ nx9.13.12.
Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности в круге.U t = 25∆U , 0 ≤ r < 4, t > 0, U ( r , 0 ) = 16 − r 2 , U ( 4, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2 µ r U ( r , t ) = ∑ An exp − 2 n t J 0 n ,n =1 R R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ...
– положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 5, R = 4 . Находим4r (16 − r ) J(µ ) ∫2An =24 J21Сделаем замену2n00 µn r dr . 4 r= x ⇒ r = 4 x, dr = 4dx , тогда41112 ⋅ 4232 23An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()()0n0n∫0 0 n .J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n ) ∫0Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20012010Вычислим по частям интеграл:7x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =30u = ξ 2,du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξ=x= ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .x300Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) = 2 x J ( x ) + x ( x332010102− 4 ) J1 ( x ) .0Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .
Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1S1 = ∫ J 0 (ξ )= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =J (µ ) .µ n µ n µn 0µn 1 n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3=µn µ n µ n40=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==32( S1 − S2 ) =324 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n ) µJ−−() =1nµn3 J12 ( µn ) µ n µn32128.µ J ( µn )3n 1Общее решение исходного уравнения: 25µ n2 µn r U ( r , t ) = 128∑ 3J0 t . exp −16 4 n =1 µ n J1 ( µ n )∞1812.17. Найтирешениепервойсмешаннойзадачитеплопроводности на отрезке.U t = 9U xx , 0 < x < 4, t > 0 x 2 2, 0 ≤ x ≤ 2,U ( x, 0 ) = 4 − x, 2 < x ≤ 4,U ( 0, t ) = U ( 4, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид: π na − t l 2∞U ( x, t ) = ∑ An esinn =1π nxl,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ...
.l 0llВ нашем случае a = 3, l = 4 .Находим:242 1 2π nxπ nx An = ∫ x sindx + ∫ ( 4 − x ) sindx .4 2 0442Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 4 dx = dv = sin π nx dx, v = − 4 cos π nx =πn4422u = x2 ,π nx2π nxπ nx4 x28=−cos+x cosdx =∫πn4 0 πn 042u = x,du = dx=π nxπ nx =4dv = cosdx, v =sinπn442 4 x2π nx 32 xπ nx 128π nx = −cos+ 2 2 sin+ 3 3 cos =πππn4n4n40=−π n 64π n 128 π n 16cos+ 2 2 sin+− 1 . cosπn2 π n2 π 3n3 29дляуравненияdu = − dx∫2 ( 4 − x ) sin 4 dx = dv = sin π nx dx, v = − 4 cos π nx =44πn4π nxu = 4 − x, 4(4 − x)π nx 16π nx = −cos− 2 2 sin =n4n4ππ28π n 16πn=cos+ 2 2 sin .πn2 π n24Тогда1 1 16π n 64π n 128 π n An = − cos+ 2 2 sin+− 1 + cos2 2 πn2 π n2 π 3n3 2π n 16π n 24π n 32 π n 8+ cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cosπn2 π n2 π n2 π 3 n3 2Общее решение исходного уравнения: 3π n t4 3πn4 π n −U ( x, t ) = 2 ∑ 2 sin+ 3 cos− 1 eπ n=1 n2 πn 28∞102sinπ nx4.13.17.
Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности в круге.U t = ∆U , 0 ≤ r < 1, t > 0, U ( r , 0 ) = 1 − r 2 , U (1, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2 µ r U ( r , t ) = ∑ An exp − 2 n t J 0 n ,n =1 R R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ... – положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 1, R = 1 . Находим1r (1 − r ) J(µ ) ∫2An =21J212n00 µn r dr . 1 Сделаем замену r = x ⇒ r = x, dr = dx , тогда113An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()()nn00∫0 0 n .J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n ) ∫02122Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20120010Вычислим по частям интеграл:x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =30u = ξ 2,du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξx== ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .3x0011Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) =3300101= 2 x 2 J 0 ( x ) + x ( x 2 − 4 ) J1 ( x ) .Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .
