1005168_1 (Типовые по урматфизу (часть 5))
Описание файла
PDF-файл из архива "Типовые по урматфизу (часть 5)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "уравнения математической физики" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
8.9. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 9sin 4ϕ , U ( r ; 0 ) = U r ; 3π4) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к.
в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sinπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) sin0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π9, n = 3;π nϕ94nϕ9sin4sind=sin4sind=ϕϕϕϕ∫03π3π ∫00, n ≠ 3.4ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 9r 4 ⋅ sin 4ϕ .113.9. Решить смешанную задачу.U tt = 16U xx ; U ( x, 0 ) = 9sin 9π x, U t ( x, 0 ) = 0;U ( 0, t ) = 0, U x ( 4,5; t ) = 0..Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ′ ( l ) = 0 , тоX n = sin(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) sinl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0sinBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим2An =4,54,5∫ 9sin 9π x sin0(π + 2π n ) x dx =9π + 2π n 4,5π + 2π n ) x(189π = 9, n = 40;=sin9xcosdx=π9=4,5 ∫09⇒ n = 40 0, n ≠ 40.Bn = 0ПолучилиU ( x; t ) = 9cos36π t sin 9π x .28.1.
Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = sin 6ϕ , U ( r ; 0 ) = U r ; π3) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sinπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) sin0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π1, n = 2;π nϕ1sin6sind=sin6sin3nd=ϕϕϕϕϕ∫0ππ ∫00, n ≠ 2.3ПолучилиU ( r ; ϕ ) = r 6 ⋅ sin 6ϕ .313.1.
Решить смешанную задачу.U tt = 4U xx , U ( x; 0 ) = sin 9π x, U t ( x; 0 ) = 0,U ( 0; t ) = 0, U x ( 0,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.
в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ′ ( l ) = 0 , тоX n = sin(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) sinl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0sinBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим0,5(π + 2π n ) x dx =2πAn =sin9xsin0,5 ∫010,59π = π + 2π n 1, n = 4;2πππ=x+nxdx=sin9cos2()=∫0,5 0⇒ n = 4 0, n ≠ 4.Bn = 0ПолучилиU ( x; t ) = cos18π t sin 9π x .48.14. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 14cos3ϕ , U ϕ ( r ; 0 ) = U ϕ r ; 4π3) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.
Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ′ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = cosπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π14, n = 4;π nϕ143nϕϕϕϕϕ14cos3cosd=cos3sind=∫04ππ ∫040, n ≠ 4.3ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 14r 3 ⋅ cos3ϕ .513.14. Решить смешанную задачу.U tt = 25U xx ; U ( x, 0 ) = 14cos3π x, U t ( x, 0 ) = 0;U x ( 0, t ) = 0, U (1,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.
в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ′ ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = cos(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) cosl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0cosBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим1,5(π + 2π n ) x dx =2An =14cos3xcosπ1,5 ∫03π + 2π n 1,5π + 2π n ) x(283π = 14, n = 4;=cos3xcosdx=π3=1,5 ∫030, n ≠ 4.⇒ n = 4Bn = 0 .ПолучилиU ( x; t ) = 14cos15π t cos3π x .6.