Теормин

Теоретический минимум по квантовой информатикеСписок вопросов и ответов на них. Только здесь и только по физике :)1 Сформулировать постулаты квантовой механики1. Любой микрообъект полностью характеризуется заданием своей волновой функции(⃗, )2. |(⃗, )|2 есть плотность вероятности обнаружить частицу в точке ⃗ в момент времени, то есть (⃗, ) — волна вероятности3. Каждой физической величине соответствует оператор, а его среднему значению соответствует среднее значение физической величины, получаемой в эксперименте2 Сформулировать принцип неопределенностиНевозможно измерить одновременно импульс частицы и ее координаты со сколь угоднобольшой точностью.Есть соотношение Гейзенберга: △△ = 2}, из которого можно получить, что еслимы знаем импульс: △ = 0, то совершенно неизвестна координата: △ = ∞, и наоборот.Такие дела...3 Сформулировать принцип суперпозицииЕсли микрообъект может находиться в состоянии с волновой функцией 1 (, ) и можетнаходиться в состоянии с волновой функцией 2 (, ), то он может находиться в суперпозиционном состоянии с волновой функцией (, ) = 1 1 (, ) + 2 2 (, ).4 Волновая функция задана в координатном представлении.

Каков ее физический смысл?Волновая функция — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания состояний квантовомеханической системы. Физический смысл волновойфункции заключается в том, что, согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики, плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функцииэтого состояния.В координатном представлении волновая функция Ψ(1 , .

. . , , ) зависит от координат (или обобщённых координат) системы. Физический смысл приписывается квадрату её1модуля |Ψ(1 , . . . , , )|2 , который интерпретируется как плотность вероятности (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемомкоординатами 1 , . . . , в момент времени .По материалам Википедии5 Записать операторы координаты и импульса в координатном представлении. Какому правилу коммутации подчиняются эти операторы?Согласно третьему (или второму?) постулату квантовой механики, каждой физическойвеличине соответствует оператор. Оператор действует на записанную после него волновуюфункцию.Оператор координаты является простейшим оператором. Он заключается в умножеˆ ≡ , то есть ˆ = .

Среднеении волновой функции на соответсвующую координату: значение этого оператора есть математическое ожидание для координаты частицы:∫︁∫︁2ˆ⟨⟩ = |(, )| = * (, )(, )., а в жизни, в трехмерном случаеВ одномерном случае оператор импульса ˆ = −} ⃗ˆ = −}∇, где ∇ — оператор Лапласа:ˆ+ ˆ+ ˆОператоры обладают такими свойствами:∙ они линейны∙ они эрмитовы, то есть∫︀∫︀ˆ 2 ⃗ = (ˆ 1 )* 2 ⃗1* Оператор координаты и оператор импульса не коммутируют!6 Как в координатном представлении построить оператор физической величины, задаваемой функцией (⃗, ⃗, ), где ⃗ — координата, а ⃗ — импульс частицы?Для нахождения операторов остальных функций воспользуемся принципом, заключающемся в том, что отношения между операторами повторяют отношения между величинами в классической физике.

А в классической физике любая физическая величина выражается через координаты, импульс и время: (⃗, ⃗, ) =⇒ (⃗, ⃗ˆ, ).27 Как, зная волновую функцию, вычислить среднее значение какой-либо физической величины?ˆДля требуемой физической величины нужно написать∫︀ * оператор , тогда среднее знаˆˆчение ⟨⟩ равно среднему значению оператора ⟨⟩ = ⃗8 Как, зная волновую функцию, вычислить вероятностькакого-либо результата измерения физической величины ?Какие значения может принимать физическая величина ? Нужно поставить задачу насобственные значения оператора ˆ, соответствующего этой величине.

Решив её, получимспектр собственных значений и соответствующие собственные функции . Набор этотполон, то есть любую волновую функцию можно разложить∑︁(⃗, ) = () (⃗).Набор чисел дает набор возможных значений величины , причем принимать она ихбудет с вероятностями | ()|2 .9 Сформулировать условие одновременной измеримости двух физических величин A и B. Какие парыиз величин , , , , , одновременно измеримы?( , — операторы проекции момента импульса)Совместные величины — величины, которые можно одновременно измерить, или, что тоже самое, у их операторов одинаковый набор собственных функций.Доказывается, что если две величины совместны, то их операторы коммутируют, инаоборот.Про совместность указанных величин ничего пока не нашел :(10 Какие значения могут принимать результаты измерения физической величины А?Какие значения может принимать физическая величина ? Нужно поставить задачу насобственные значения оператора ˆ, соответствующего этой величине.

Решив её, получим3спектр собственных значений и соответствующие собственные функции . Набор этотполон, то есть любую волновую функцию можно разложить∑︁(⃗, ) = () (⃗).Набор чисел дает набор возможных значений величины , причем принимать она ихбудет с вероятностями | ()|2 .Кажется, это где-то уже было...NB11 Дать определение стационарного состояния в квантовой механике. Записать стационарное и нестационарное уравнение Шредингера2⃗+ (⃗, ) не зависит отСистема называется стационарной, если её гамильтониан = 2времени. Соответственно, оператор Гамильтона, в общем случе, зависит от координат иˆ = (⃗ˆ , ), а для стационарной системы только от координат ˆ = (⃗ˆ ).времени В̈еликоеӱравнение Шредингера:}ˆ= ,ˆ = − }2 22 .где 2 Если система стационарна, то (⃗, ) = ()(⃗), и уравнение Шредингера приобретаетвидˆ = 412 Приведите примеры движений частицы с непрерывным, дискретным и зонным энергетическим спектром.

Каковы условия реализации того или иноготипа спектра?13 Перейдите от волновой к матричной формулировкеквантовой механики14 Запишите операторы спина, их собственные векторыи собственные значения15 Что такое кубит? В чем отличие кубита от классического бита?Кубит — квантовая система с двумя базисными состояниями |0⟩ и |1⟩, которая может находиться в произвольном суперпозиционном состоянии |⟩ = |0⟩+|1⟩, причем ||2 + ||2 = 1.В этом и есть главное отличие кубита от клабита 1 : бит может принимать два значения, акубит — находиться во многих состояниях. Поэтому в регистре, состоящем из кубитов,можно одновременно записать 2 чисел, в то время как в классическом — только одно.16 Как отобразить произвольное состояние кубита наблоховской сфере? Что такое операторы поворотавектора Блоха?Любое состояние |⟩ можно отобразить на единичной сфере Блоха.

Итак, имеем |⟩ =|0⟩ + |1⟩. Возьмем и посчитаем чиселки = * − * , = * + * , (* − * ). Видно,что 2 + 2 + 2 = 1. Значит, можно задать два угла и . Тогда |⟩ = cos 2 |0⟩ + sin 2 |1⟩.Чтобы вращать наши векторы есть операторы вращений:∙ () = cos 2 ˆ − sin 2 ˆ∙ () = cos 2 ˆ − sin 2 ˆ∙ () = cos 2 ˆ − sin 2 ˆ1классического бита5Причем,ˆ =(︂)︂(︂)︂(︂)︂(︂)︂1 00 10 −1 0, ˆ =, ˆ =, ˆ =.0 11 0 00 −117 Как экспериментально осуществляются повороты вектора Блоха?18 Сформулируйте постулат измерения в квантовой механике. Рассмотрите пример измерения кубитаЕсть два замечательных, ни откуда не следующих постулата измерений:1.

после измерения кубита мы получаем |0⟩ с вероятностью12и |1⟩ с вероятностью 21 !2. после измерения кубит остается в состоянии |0⟩ или |1⟩ до следующего измеренияПример — после :(19 В чем разница между чистым и смешанным состояниями кубита? Что такое матрица плотности кубита?В идеале состояние системы определяется вектором |⟩ = |0⟩+|0⟩. Это чистое состояние.Но в действительности, коэффициенты , случайны, так как зависят от уймы внешнихфакторов — за ними не усмотреть. Получаем смешанную систему, которая находится вразных состояниях с какими-то вероятностями. Для описания смешанных состояний кубита используют матрицу плотности. Из уравнения Шредингера что-то, как-то выводится...и получаем матрицу плотности)︂(︂00 01, 00 = * , 01 = * , 10 = * , 11 = * .10 1120 Что такое декогеренция кубита? На каких характерных временах она происходит?Из-за влияния посторонних факторов колебания спина кубита(?) затухают.

Возникаетдекогеренция кубита — нарушается когерентность системы :( Характерное время 2 ∼10−10 .Кстати, это значит, что вычисления нужно проводить за время < 2 .Блоховская сфера тоже деградирует и из сферы превращается в отрезок.

Так-то...NB621 Что такое квантовая схема и квантовые вычисления?Приведите примеры квантовых вентилей и квантовых схемКвантовые вычисления проводятся на квантовых компьютерах, которые работают поквантовым схемам. Как-то так. Р̈аботают поӥли р̈аботают на-̈– тот еще вопрос. Схемареализует какой-то квантовый алгоритм. Показано, что для реализации любого алгоритма достаточно иметь все однокубитовые операторы и один двухкубитовый .(︂)︂0 1ˆˆˆ = |0⟩⟨1| + |1⟩⟨0|1.