Н.Н. Ченцова - Задача 1 задания по курсу Практикум на ЭВМ и рекомендации по его решению

Задача 1 задания по курсу «Практикум на ЭВМ»и рекомендации по его решениюПреподаватель — Ченцова Н. Н.8 семестр, 2006 г.Текст набран Сергеем Гладких.Последняя компиляция: 13 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на sxtr@yandex.ru, dmvn@mccme.ru.1. Формулировка задания1.1. Что нужно сделатьПусть задана двумерная вектор-функцияu(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t))T ;требуется найти периодическое по x с периодом 1 решение системы∂u∂u=Q ,∂t∂xгде Q — симметрическая матрица с собственными значениями λ1 , λ2 , удовлетворяющими условиюλ1 > 0, λ2 < 0.(1)(2)Замечание.

Составление конкретных матриц, равно как и выбор начальных условий (функций u1 (x, 0),u2 (x, 0)) предоставляется самим учащимся. При этом подразумевается, что используемые собственные значенияу всех будут различны.Решение требуется найти, построив1. условно устойчивую разностную схему;2. безусловно устойчивую разностную схему;3. безусловно неустойчивую разностную схему, проследив за развитием неустойчивости при счете по этойсхеме.1.2. Что нам поможетПрежде чем обсуждать только что упомянутые термины, отметим один важный факт. Вся дальнейшаятехника строится для одномерного случая. Свести к нему нашу задачу мы сможем простым разделением переменных. Вначале заметим, что, раз уж наша матрица симметрична, ничто не мешает нам привести ее кдиагональному виду с помощью некоторого ортогонального преобразования B:λ1 0TB ·Q·B =.0 λ2На всякий случай напомню, что λ1 , λ2 — собственные значения матрицы Q, т.

е. корни характеристическогоуравненияdet Q − λE = 0,а столбцы матрицы B являются соответствующими собственными векторами. В этих обозначениях система (1)принимает вид∂ui∂ui= λ1, i = 1, 2.(3)∂t∂xВ дальнейшем мы будем обсуждать решение именно таких уравнений. Теперь пришло время дать несколькоформальных определений, которые прояснят формулировку задания.11.3.

Что под этим подразумеваетсяДадим формальные определения использованных понятий.Определение. Смешанной задачей называют задачу видаLu = f, (x, t) ∈ Ω;lu = g, (x, t) ∈ Ω1 ,(4)где L — линейный дифференциальный оператор на пространстве гладких функций на Ω, непрерывных в замыкании области Ω, l — линейный оператор на пространстве функций, заданных на подмножестве границыобласти Ω, т.

е. Ω1 ⊂ ∂Ω.Замечание. Сразу стоит пояснить, что в нашем случае мы имеем дело с операторомL=∂∂−a ,∂t∂xфункция f тождественно равна нулю, оператор l — тождественный оператор, а функция g задает начальныеусловия.Определение. Сеткой будем называть множествоΩτh = Ω ∩ Rτh ,(5)Rτh = {(xm , tn ) : xm = mh, tn = nτ, n, m ∈ Z},(6)гдеа величины h и τ задают шаг сетки соответственно по x и по t.Нетрудно понять, как функциям f и g поставить в соответствие так называемые сеточные функции [f ]τh иτ[g]h — фактически, это просто их ограничения на сетку Ωτh .

То же самое касается линейного оператора l — толькоего мы область определения мы ограничиваем на сеточные функции. А линейный оператор Lτh мы построим,используя разделенные разности на сетке Ωτh . Подробнее эта процедура будет описана ниже. В результате мыполучим разностную задачу τ τLh uh = [f ]τh , (xm , tn ) ∈ Ωτh ;(7)lhτ uτh = [g]τh , (xm , tn ) ∈ Ω1 τh ,которая является системой линейных уравнений относительно неизвестных un,τm,h , которые задают (являются ихнабором значений) сеточные функции uτh , называемые решениями соответствующей разностной схемы.Определение. Будем говорить, что решение разностной схемы (7) сходится к решению дифференциальнойзадачи (4), еслиlim uτh − [u]τh Ωτ = 0.(8)hh,τ −→0Определение. Разностная схема (7) аппроксимирует дифференциальную задачу (4) на функции u с порядком m по пространству и порядком n по времени, если существуют положительные константы c1 , c2 , c3 , c4 , h1 , τ1такие, что для всех h и τ , 0 < h < h1 , 0 < τ < τ1 имеет место( τ τL [u] − [Lu]τ τ 6 c1 hm1 + c2 τ n1 ,hhh Ωτ τ h(9)l [u] − [lu]τ τ 6 c3 hm2 + c4 τ n2 ,hhh Ωhгде m = min(n1 , n2 ), m = min(m1 , m2 ).Определение.

Разностная схема называется безусловно устойчивой, если существуют положительные константы c5 , c6 , h2 , τ2 такие, что для любых правых частей в (7) при всех h и τ , таких что 0 < h < h2 , 0 < τ < τ2выполнены условия:1. существует, и при том единственное, решение uτh задачи (7);2. имеет место неравенство τ uh τ 6 c5 fhτ τ + c6 ghτ ΩΩΩhhτ1 h.(10)Разностная схема называется условно устойчивой, если существуют последовательности hk −→ 0, τk −→ 0,для которых выполнено неравенство (10). Разностная схема называется (безусловно) неустойчивой, если такихпоследовательностей не существует.22. Рекомендации по его решению2.1. Как проверять на устойчивость, илиСпектральный признак устойчивостиЗамечание.

В целях экономии места на бумаге, времени наборщика и умственных усилий читателя, вседальнейшие рассуждения относятся лишь к частному случаю рассматриваемой задачи (1.1).Положимn imϕum(1)n = cλ eи будем подставлять эти значения в нашу разностную схему (что именно это означает — см. далее). Получимзависимостьλ = λ(ϕ) = λ(ϕ, h, τ ).Согласно спектральному признаку устойчивости, наша схема будет устойчивой тогда и только тогда, когда|λ| 6 1,(2)|λ| 6 κτ,(3)или, точнее,где κ — некоторая неотрицательная константа.

Но такие тонкости нам едва ли понадобятся. Возможны следующие случаи:• неравенство (2) выполнено при всех τ и h — тогда схема безусловно устойчива;• неравенство выполнено только в случае, если τ и h удовлетворяют некоторым условиям — такая схемаявляется условно устойчивой;• неравенство вообще никогда не выполняется — схема безусловно неустойчива.2.2. Как применять это к схемамВот наиболее простой пример разностной схемы для задачи (1.1):un − unmun+1− unmm= a m+1.τh(4)Будем исследовать эту схему на устойчивость. Подставляя (1), получим:λn+1 eimϕ − λn eimϕλn ei(m+1)ϕ − λn eimϕ=a.τh(5)λ−1eiϕ − 1=a,τh(6)Сократим на λn eimϕ :откуда выразим λ:λ=1+aτ iϕaτ(e − 1) = 1 +(cos ϕ + i sin ϕ − 1).hh(7)Преобразуем это выражение, обозначая для краткости r = aτ /h и используя формулу 1 − cos ϕ = 2 sin2 (ϕ/2):λ = (1 − 2r sin2ϕ) + ir sin ϕ,2(8)откудаϕ 2ϕϕϕϕ) + r2 sin2 ϕ = 1 − 4r sin2 + 4r2 sin4 + 4r2 sin2 cos2 .22222Теперь уже несложно понять, что нужное нам неравенство |λ| 6 1 эквивалентно условию|λ|2 = (1 − 2r sin206r61⇔06aτ6 1.h(9)(10)Итак, рассмотренная схема является условно устойчивой при a > 0 — причем нами было найдено условие на ееустойчивость, а при a < 0 она является неустойчивой.3Замечание.

Очевидно, что если рассмотреть схемуun − unm+1un+1− unmm=a m,τh(11)она будет условно устойчива при a 6 0 с тем же условием на устойчивость и неустойчива при a > 0.А вот пример безусловно устойчивой схемы:un+1 − un+1un − unm−1un+1− unmm−1m= a m+1+ a m+1.τ4h4hВычислить λ и убедиться, что |λ| = 1 пока предоставляется читателю.4(12).