main (Численные методы. Ионкин (методичка) (2015) (LaTeX source))

Московский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваФакультет вычислительной математики и кибернетикиЛекции по курсуЧисленные методыЛекторН. И. ИонкинМосква, 2015ОглавлениеПредисловие4Введение5Список обозначений7Глава I Численные методы линейной алгебры8§1§2§3§4§5§6§7§8§9§10§11§12Основные задачи главы I . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Связь метода Гаусса с факторизацией матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . .Обращение матрицы методом Гаусса-Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . .Метод квадратного корня . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .Примеры и канонический вид итерационных методов решения СЛАУ . . . . .Теоремы о сходимости итерационных методов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Оценка скорости сходимости итерационных методов . . . . . . . . . . . . . . .Исследование скорости сходимости ПТИМ . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .Методы решения задач на собственные значения . . . . . . . . . . . . . . . . .Приведение матрицы к верхней почти треугольной форме . . . . . . . . . . .Понятие о QR-алгоритме решения полной проблемы собственных значений .Предварительное преобразование матрицы к ВПТФ. Неухудшение ВПТФпри QR-алгоритме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .Глава II Интерполирование и приближение функций891315182227313440434647§13§14§15§16§17§18Постановка задачи интерполирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Интерполяционная формула Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .Разделенные разности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Интерполяционная формула Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Интерполирование с кратными узлами. Полином Эрмита . . . . . . . . . . . .Использование интерполяционного полинома Эрмита 3 () для оценкипогрешности квадратурной формулы Симпсона . . . . . . .

. . . . . . . . .§19 Наилучшее среднеквадратичное приближение функции . . . . . . . . . . . . .§20 Наилучшее среднеквадратичное приближение функций, заданных таблично4749505455606367Глава III Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейныхуравнений§21§22§23§24Способы локалзации корней нелинейного уравнения . . . .Метод простой итерации . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .Метод Ньютона и метод секущих . . . . . . . . . . . . . . .Сходимость метода Ньютона. Оценка скорости сходимости69............................................69717378Глава IV Разностные методы решения задач математической физики80§25 Первая краевая задача для уравнения теплопроводности . . .

. . . . . . . . .§26 Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивость . . . . . . .§27 Чисто неявная разностная схема (схема с опережением). Погрешность, устойчивость, сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§28 Симметричная разностная схема. Задача на собственные значения. Сходимость, устойчивость в норме 2 (ℎ ) . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .§29 Разностные схемы с весами. Погрешность аппроксимации на решении . . . .§30 Разностная схема для уравнения Пуассона. Первая краевая задача . . . . . .§31 Разрешимость разностной задачи. Сходимость разностной задачи Дирихле .§32 Методы решения разностной задачи Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§33 Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость,сходимость .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8082889198101102106107Глава V Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений исистем ОДУ§34§35§36§37§38§39§40112Постановка задачи Коши и примеры численных методов решения задачи Коши112Общий -этапный метод Рунге–Кутта . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 119Многошаговые разностные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Понятие устойчивости разностного метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . . . . 129Дальнейшие определения устойчивости .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Разностные методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Литература142Приложение А143ПредисловиеЧитателю предлагается курс лекций по численным методам, который автор читает в течение более трех десятков лет студентам III – IV курсов потока программистских кафедрфакультета ВМК МГУ.

Безусловно, программа и содержание курса неоднократно менялисьза эти годы как в связи с обновлением курса, так и в связи с преобразованиями учебныхпланов, происходившими в разные годы на факультете ВМК. Здесь представлен варианткурса, читаемого в последние годы.Отечественными математиками написан ряд замечательных учебных пособий по численным методам (см. список цитируемой литературы). При подготовке курса существенноиспользовалось учебное пособие А. А.

Самарского и А. В. Гулина «Численные методы».Решение издать курс лекций обусловлено постоянными из года в год просьбами студентов, слушающих этот курс, оформить лекции в печатной и электронной версиях.Данный курс лекций ориентирован на студентов (и читателей), основной специализацией которых не является разработка и теоретическое обоснование численных методоврешения прикладных задач.

Предполагается, что читатель знаком с базовыми понятиямилинейной алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений и уравненийматематической физики. При построении и обосновании численных алгоритмов использован наиболее простой, по возможности, математический аппарат перечисленных вышеразделов математики.Одной из главных задач курса является обретение студентами навыка ориентированияв области численных методов. В процессе работы над предложенным курсом читательзнакомится с основными идеями построения и обоснования вычислительных алгоритмов иприобретает знания, достаточные для разработки новых алгоритмов.Подход к подбору материала курса и его изложению формировался под влиянием моегоучителя А.

А. Самарского и моего коллеги — профессора А. В. Гулина, которым я бесконечно признателен и благодарен за многочисленные советы и рекомендации.Считаю своим приятным долгом выразить благодарность студентам, помогавшим воформлении лекций курса и особенно Иванову Д.

И., Кислых Д. М. и Шохину К. О. затруд при работе над данной версией курса лекций.Лауреат Ломоносовской премии МГУ за педагогическую деятельность, заслуженныйпреподаватель МГУ, доцент Н. И. ИонкинВведениеПредмет численных методов, если его понимать не как учебный курс, а как отрасль науки,весьма обширен и неоднороден. В очень общих чертах его можно охарактеризовать каксовокупность приемов и методов, позволяющих с помощью компьютера решать те илииные задачи, уже получившие математическую формулировку.Предполагается, что читатель знаком с некоторыми численными методами.

Так, в курсах анализа и алгебры рассматривались приближенные методы вычисления определенных интегралов, нахождения корней алгебраических уравнений, решения систем линейныхалгебраических уравнений. Из курса «Введение в численные методы» читатель получилпредставление о приближенном решении обыкновенных дифференциальных уравнений спомощью метода конечных разностей.Нетрудно видеть, что общим для всех перечисленных методов является построение иобоснование алгоритма, позволяющего дать решение исходной задачи в виде числа илитаблицы чисел.Обычно процесс решения прикладной задачи складывается из нескольких крупныхэтапов, образующих, как иногда говорят, «колесо Самарского» (А.

А. Самарский — одиниз крупнейших математиков XX века в области численных методов решения актуальныхприкладных задач).Принцип колеса Самарского заключен в следующем: сначала по изучаемому объектустроится его математическая модель, которая отражает существенные в данной задачесвойства изучаемого объекта. Затем для построенной модели предлагается алгоритм решения поставленной задачи и приводится его обоснование. По предложенному алгоритмусоздается программа для выполнения численных расчетов на ЭВМ, после чего уже производятся сами расчеты, анализ результатов выполнения алгоритма, их интерпретация и,возможно, уточнение модели.

Получение новых данных расширяет существующие знанияоб изучаемом объекте, появляются новые задачи, и колесо Самарского замыкается.В рамках данного курса численных методов рассматривается этап разработки алгоритма для некоторых классов математических моделей. Мы предполагаем, что каждая израссматриваемых нами математических моделей поставлена корректно (рассмотрение решения задач для некорректных математических моделей выходит за рамки нашего курса).Данный курс разделен на пять глав.