А.И. Шафаревич - Геометрические структуры в квантовой механике

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетГеометрические структурыв квантовой механикеЛектор — Андрей Игоревич ШафаревичIV курс, 7 семестр, поток математиковМосква, 2006 г.Оглавление1.2.3.4.5.Введение в квантовую механику1.1. Предпосылки создания квантовой теории . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .1.1.1. Фотоэффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Эффект Комптона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3. Теория чёрного излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Гипотеза Планка и квантовая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Объяснение фотоэффекта и эффекта Комптона . . .

. . . . . . . .1.2.2. Волны де Бройля, оператор Гамильтона и уравнение Шрёдингера1.3. Классическая и квантовая системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1. Классическая система . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .1.3.2. Квантовая система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Многомерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................................................................................444445556678Одномерные квантовые системыс постоянной энергией2.1. Задача о квантовых спектрах . .

. . . . . . . . . . .2.2. Оператор монодромии . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1. Классический случай . . . . . . . . . . . . . .2.2.2. Квантовый случай . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3. Свойства оператора монодромии . . . . . . .2.3. Физическая интерпретация оператора монодромии .2.3.1. Вероятности прохождения и отражения .

. .2.3.2. Радиоактивный распад (α-распад) . . . . . .2.3.3. Резонансное туннелирование . . . . . . . . ....................................................................................................................................................................................................................................................9999101012121214Квантовые осцилляторы3.1.

Одномерный гармонический осциллятор . .3.1.1. Операторы жизни и смерти . . . . .3.1.2. Алгебраическая суть происходящего3.2. Многомерный гармонический осциллятор .3.3. Осцилляторное приближение . . . . . . . ........................................................................................................................................151516171819Теория Морса4.1. Введение в теорию Морса . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Внешние формы на многообразии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1. Внешние формы на многообразии. Дифференциал и его свойства4.2.2. Когомологии де Рама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.3. Оператор Ходжа . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.4. Свойства оператора Ходжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Оператор Лапласа – Бельтрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1. Двойственный оператор дифференцирования . . . . . . . . . . . .4.3.2. Оператор Лапласа – Бельтрами и его свойства .

. . . . . . . . . .4.4. Оператор Виттена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................2121222222222324242425Доказательство неравенств Морса5.1. Обобщение теоремы об осцилляторном приближении . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Собственно доказательство неравенств Морса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272728..........2...............ПредисловиеRelease notesЭто TEX-версия лекций курса ЕНС, читающегося в 7 семестре. Набрано А. С. Воронцовым и DMVN, свёрстано DMVN. Пока здесь опущены некоторые разделы, относящиеся к чистой дифференциальной геометрии инеприятные выкладки.

Они будут добавлены позже для полноты изложения. Эта редакция характерна исправлением опечаток, замеченных в процессе подготовки.Последняя компиляция: 13 мая 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.Литература[1] А.

С. Мищенко, А. Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Факториал, 2000.[2] Дж. Хамфрис. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. — М.: МЦНМО, 2003.Обозначения и сокращенияВ тех случаях, когда это не приводит к недоразумениям, переменная в нижнем индексе у функции означает,что по этой переменной производится частное дифференцирование. Иначе говоря, ∂H∂x и Hx — это одно и то же.Для наборов индексов мы будем использовать такое сокращённое обозначение: (i1 , .

. . , ik ) =: Ik , а внешняястепень ei1 ∧ . . . ∧ eik будет обозначаться eIk . Дополнение к набору индексов обозначается отрицанием (чертойсверху).У перестановок для сокращения записи будем писать только нижнюю строчку, (верхняя строка всегда канонически упорядочена).О чём всё это?Вначале расскажем о том, чем мы будем заниматься на протяжении всего курса, не особо комментируяиспользуемые понятия и термины. Всё это будет разъяснено по ходу дела.Мы будем вычислять спектры квантово-механических систем. В отличие от систем классической механики,где множество значений энергии — интервал [0, ∞), у квантовых систем уровни энергии дискретны, то естьпредставляют собой некоторый набор точек {E0 , E1 , E2 .

. . } ⊂ R+ .Теперь поясним, зачем оно нам нужно. В дифференциальной геометрии есть некая теория, называемая теорией Морса, которая позволяет делать выводы о том, как устроены гладкие функции на многообразиях. Болееточно, рассмотрим гладкое компактное ориентируемое многообразие M рода g и функцию f : M → R (строгоговоря, мы будем рассматривать только функции Морса, но это, как будет видно из определения функции Морса, не очень сильно ограничивает общность). Критическими точками функции называются точки, в которыхdf = 0. Они бывают трёх видов: максимум, минимум и седло.

Вследствие компактности число максимумов иминимумов не меньше 1. Число сёдел всегда не меньше 2g. Например, рассмотрим функцию, ставящую в соответствие точке на двумерном торе (бублике) её «высоту» (если тор поставить набок). У неё два седла — «началодырки» и «конец дырки» бублика. В случае тора g = 1, поэтому пример согласуется с теорией.Назовём индексом критической точки P функции f число отрицательных собственных значений матрицыd2P f . Точку будем называть невырожденной, если матрица d2P f невырождена.

Через mk будем обозначать числокритических точек индекса k.Пусть размерность многообразия равна n, и bk := dim H k — так называемые числа Бетти (размерностигрупп когомологий де Рама нашего многообразия). Тогда имеют место теоремы:Слабое неравенство Морса: mk > bk .Сильное неравенство Морса:kXmj (−1)k−j >j=0Теорема Морса об индексе:kXbj (−1)k−j ,(k = 0, . . . , n).(1)j=0nXmj (−1)j =j=0nXbj (−1)j .(2)j=0Для доказательства этих теорем мы применим технику, развитую при изучении квантовых систем (болееточно, квантовых осцилляторов). Две самых сложных теоремы курса мы не будем доказывать.

Кроме того,иногда придётся ссылаться на теоремы функционального анализа (не доказывая их).31. Введение в квантовую механику1.1. Предпосылки создания квантовой теорииВ 1885 г. Бальмер дал формулу для частот спектральных линийводорода. В 1913 г. она была объяснена Бором и в 1926 г. с большейточностью — Дираком и Паули на основе квантовой теории. Осталосьлишь объяснить саму квантовую теорию.Физики шутят, «Физическая нумерология»Мы начнём с «необъяснимых» с точки зрения классической физики явлений, обнаруженных (в основном)ещё в XIX веке, которые имеют квантовую природу и могут быть объяснены с помощью квантовой теории.1.1.1.

ФотоэффектПусть на металлическую пластинку (сделанную, например, из серебра) падает свет частоты ω и интенсивности I. Пусть E — энергия электронов, вылетающих из металла под действием фотонов (фотоэффект). Пологике вещей, эта энергия должна быть пропорциональна интенсивности и не зависеть от частоты. Но всё насамом деле наоборот: эта энергия не зависит от интенсивности и имеет место закон(1)E = hω − A,где h = const, A — константа, зависящая от металла. Кроме того, имеют место такие явления, как «краснаяграница» фотоэффекта, то есть наличие некоторой пороговой частоты, ниже которой электроны вообще невылетают, и мгновенное начало — электроны начинают вылетать сразу, хотя, с точки зрения классическойтеории, должно уходить некоторое время на «раскачку» электронов в металле, прежде чем они начнут вылетатьиз него.1.1.2.

Эффект КомптонаВ опытах Комптона парафиновая пластинка облучалась светом частоты ω, и при этом регистрироваласьчастота рассеянного излучения. Оказалось, что частота у него другая (строго меньше исходной). С точки зренияклассической физики свет должен терять часть энергии, то есть должна уменьшаться интенсивность излучения,а не меняться его частота.1.1.3.