П.М. Зоркий - Задачник по кристаллохимии и кристаллографии

п. м. ЗОРКИЙЗАДАЧНИКПО КРИСТАЛЛОХИМИИИ КРИСТАЛЛОГРАФИИПод редакцией канд. хим. наукЛ. М. Б о р п с а н о в о иИЗДАТЕЛЬСТВОЖОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА1981УДК 548.31Печатается по постановлениюРсдакционно-издательского советаМосковского университетаРецензенты:докт. физ.-мат. паук В. Г. Дашевский,канд. хим. паук Т. Н. ПолыноваЗоркий П. М.Задачник по кристаллохимии и кристаллографии. М.: Изд-во МГУ, 1981.Задачник содержит более 700 задач но следующим темам: точечные и пространственные группы симметрии, симметрия молекул и к р и сталлов, важнейшие типы кристаллических структур, плотные ш а р о вые упаковки и кладки, кристаллохимические радиусы атомов.Задачник предназначен для з а н я т и и по кристаллохимии на х и м и ческих факультетах университетов, может быть использован для преподавания кристаллографии и д р у г и х близких д и с ц и п л и н в в у з а хс химико-технологическим, геологическим и техническим профилем, атакже будет полезен аспирантам и н а у ч н ы м сотрудникам, желающим самостоятельно изучить основы к р и с т а л л о х и м и и и к р и с т а л л о г р а ф и и .320503-°82 ,3481 1805000000077(02)—81© Издательство Московского университета, 1981 г.От а в т о р аПредлагаемый задачник — результат пятнадцатилетнейметодической работы, которая велась па химическом факультете Московского университета в процессе становления общего курса кристаллохимии.

Внедрение задач в семинарские занятия и контрольные работы позволило существенно активизировать учебный процесс, повысить ответственность студентов (и преподавателей), добиться более глубокого пониманияи усвоения материала.В учебной литературе по кристаллохимии и смежным дисциплинам задачи практически отсутствуют, если не говоритьо некоторых разделах геометрической кристаллографии, наиболее далеких от химии. Почти все задачи, содержащиеся внастоящем издании, составлены автором и другими преподавателями химического факультета МГУ. Эту работу отнюдьне следует считать завершенной.

Очевидно, что многие разделы задачника требуют дальнейшего расширения и усовершенствования; в форме задач можно представить и многиедругие разделы' курса кристаллохимии. Автор будет благодарен всем, кто пожелает сделать замечания и предложения,которые помогут продолжить создание кристаллохимическихзадач.Система используемых в задачнике понятий, терминов,обозначений в основном соответствует той, которая принятав книге П. М. Зоркого и Н. Н.

Афониной «Симметрия молекул и кристаллов» (М., Изд-во Моск. ун-та, 1979). В этойкниге указана и другая учебная литература, на которуюориентировался автор.Благодаря компактной форме, в которой представленызадачи, удалось сосредоточить в небольшом объеме довольнообширный материал. Сборник содержит 185 задач; если жеучесть, что многие из них даны в нескольких (иногда в нескольких десятках) вариантов, то число задач превышает 700.Следует отметить, что однообразие вариантов часто оказывается лишь внешним, и за видимым сходством кроется значительное различие как в содержании задач, так и в степени ихсложности и способах решения.3В задачник включены два приложения: 1) описание неквторых простых кристаллических структур, 2) таблица кристаллЬхимических радиусов. Рекомендуется пользоватьсяэтими приложениями при решении задач в разделах 4 и 7—11.Стиль решения предлагаемых задач может быть весьмаразличным.

Автор, однако, счЕтает необходимым дать важную рекомендацию: как правило, при решении задачи недостаточно указать ответ — этот ответ должен быть обоснован(в письменной форме).В заключение автор пользуется возможностью принестиглубокую благодарность своим учителям чл.-кор.

АН СССРМ. А» Порай-Кошицу и канд. геол.-мин. наук К>. Г. ЗагалЬгской —они не раз принимали живое участие в обсузндашшвключенных в сборник задач, коллективу лаборатории кристаллохимии химфака МГУ, без поддержки и содействия fee^торого этот задачник не мог бы увидеть свет, и особенноЕ.

А. Роговой и Л. М. Куиавиной, оказ_авишм большую поЫощь при подготовке рукописи.1. ЗАКРЫТЫЕ ОПЕРАЦИИ И ЗАКРЫТЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ1.1. Перечислить симметрические операции, входящие вгруппу симметрии следующих многогранников: 1) косоугольный параллелепипед, 2) прямой параллелепипед, 3) прямоугольный параллелепипед, 4) тригональная пирамида, 5) тригональная призма, 6) тригональная дипирамида, 7) тетрагональный тетраэдр (тетраэдр, грани которого — равнобедренные треугольники), 8) ромбоэдр (параллелепипед, грани которого— равные ромбы).1.2. Перечислить симметрические операции, входящие вгруппу симметрии следующих плоских молекул (рис. 1):1) этилен, 2) дифенил, 3) одихлорбензол, 4) бромбензол,5) Н 2 О, 6) НСЮ.\=/./ V1.2.11.2.21.2.3•ее1.2.41.2.51.2.6Рис.

1. К задаче 1.21.3. Записать матрицы следующих симметрических операций: 1) 2 ( Х ) , _ 2 ) т ( У ) , _3) IT 4) 4 1 (Х), 5) 4 3 ( У ) , 6) 3 l ( Z ) ,7) 6 5 (Z), 8) (4)'(*), 9) (3)'(2), Ю) ( 6 ) 5 ( Z ) . Путем умноже5ния вектора-столбца на эту матрицу найти координаты точки,в которую в результате данной операции преобразуется точкас координатами х, у, z.1.4. Каким симметрическим операциям соответствуют следующие матрицы?2) /-11ОО3)О О0—11 О5) /—1 ОО 00—1О1О4), —16)О11.5- Найти результат умножения следующих симметрических операций (путем перемножения матриц): 1) 2(Х) и2 ( Z ) , 2) 2 ( У ) и m ( Z ) , 3) 2 ( У ) и т ( У ) , 4) 2(Х) и I 5) т(Х)и m ( Z ) , 6) т (У) и 1.1.6.

Найти результат умножения следующих симметрических операций (с помощью теоремы об умножении симметрических операций): 1) т(Х) и m'(Z), 2) 3(Z) и т ( Х ) , 3) 6(Z)и 2(Х), 4) 4(Z) и m ( Z ) , 5) (6) (Z) и т ( Х ) , 6) 4 ( У ) и 4(Z),7) 3(Х) и 3 ( У ) .1.7. Составить таблицы умножения для групп симметрииплоских молекул, перечисленных в задаче 1.2.1.8. Составить таблицы умножения для групп симметрииобъемных фигур, перечисленных в задаче 1.1.1.9.

Какую симметрическую операцию надо добавить кданной совокупности симметрических операций для того, чтобы получилась группа симметрии?Вариант1.9.11.9.21.9.31.9.4Совокупность операцийт(Х), m(Y), 2(2)1, 1, m(Z)1, 2(2), 2(2)1, 1, 2(2)Вариант1.9.51.9.61.9.71.9.8Совокупность операций2(Х), 2(У), 1б1, б5, З1, З2, 11, З1, З21, (4)1, 2П р и м е ч а н и е . В вариантах 1.9.6—1.9.8, подразумевается, что все повороты совершаются вокруг одного и того же направления.1.10. Являются ли элементами симметрии (циклическимигруппами) следующие совокупности симметрических операций?Вариант1 10.11 10.2Совокупность операцийВариантСовокупность операций1.10.31.1041, З1, З2, (б)', ("б")5, 21, З1, З2, (б) 1 , (б) 5 , тЗ1, З2, З3(3)', (З) 2 , (З) 3П р и м е ч а н и е Подразумевается, что оси всех поворотов совпадают.1.11 Дорисовать на проекции элементы симметрии, наличие которых вытекает из присутствующих элементов симметрии (рис.

2).1.11.31.11.11.11.21.11.41.11.51.11.61.11.8Рис. 2. К задаче 1.111.11.91.12. Изобразить проекцию элементов симметрии, содержащихся в фигурах, которые перечислены в задаче 1.1.1.13. Изобразить проекцию элементов, симметрии, содержащихся в следующих молекулах: 1) этилен, 2) СНС13,3) бензол.1.14. Установить, какие повороты с отражением в плоскости (зеркальные повороты, обозначаемые по Шенфлису) соответствуют следующим поворотам с диверсией: 1) 1, 2) (4) 1 ,3) (Т)3 4) (3)',5) (З) 5 , 6) (6)', 7) (б) 5 .1.15.

Установить, какие повороты с инверсией соответствуют следующим поворотам с отражением в плоскости(зеркальным поворотам): 1) S\ , 2) S*3 , 3) S4! , 4) 5!6 ,5 Si , 6) Si .1.16. Доказать, что если я = 4/, то n=Sn, т. е. инверсионные оси эквивалентны зеркально-поворотным осям тех же порядков.1.17. Доказать, что при п = 4/+2 справедливо равенствоЯ = 5п/2, т. е. инверсионные оси эквивалентны зеркально-поворотным осям половинного порядка.1.18. Доказать, что при n-нечетном справедливо равенствоn = Sn/2, т. е. инверсионные оси эквивалентны зеркально-поворотным осям удвоенного порядка.2.

ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ СИММЕТРИИ2.1. Изобразить на проекции расположение элементов симметрии в следующих точечных группах: 1) 2/га,__2) mmm,3) 32, 4) 3, 5) Зт, 6^422, 7) 42т, 8) 4/ттга, 9) 6, 10) 6т2,11) 23, 12) тЗ, 13) 43т, 14) тЗт.2.2. Определить категорию точечных групп, перечисленныхв задаче 2.1.2.3. Записать символы Шенфлиса для точечных групп, перечисленных в задаче 2.1.2.4.

Изобразить на проекции расположение элементов симметрии в следующих точечных группах: 1) D2, 2) Czv, 3) С3и,4) S4, 5) C 4/i , 6) D5d, 7) C6/l, 8) D 6/l , 9) Th, 10) 0, 11) /.2.5. Определить категорию точечных групп, перечисленных в задаче 2.4.2.6. Записать международные символы точечных групп,перечисленных в задаче 2.4.2.71.

Определить группу симметрии (указать международный символ и символ Шенфлиса) следующих многогранников: 1) косоугольный параллелепипед, 2) прямой параллелепипед, 3) прямоугольный параллелепипед, 4) тригональиая1При решении задач 2.7—2.27 желательно показать на чертеже илиописать словами расположение элементов симметрии в фигуре или молекуле.8пирамида, 5J тетрагональная пирамида, 6) тригональнаяпризма, 7) тетрагональная призма, 8) тригональная дипирамида, 9) тетрагональная дипирамида, 10) куб, 11) октаэдр,12) правильный тетраэдр, 13) тетрагональный тетраэдр (тетраэдр, грани которого — равные равнобедренные треугольники), 14) «ромбический» тетраэдр (грани которого — равныеразносторонние треугольники), 15) ромбоэдр (параллелепипед, грани которого — равные ромбы).2.8. Определить группу симметрии следующихмногогранников с осямипятого порядка (рис.

3):1) пентагональная пирамида, 2) пентагональнаяпризма, 3) правильныйдодекаэдр, 4) правильныйикосаэдр.2.9. Определить сим2.8.22.8.1метрию тела, полученноговращением равнобедренного треугольника 1) вокруг боковой стороны, 2)вокруг основания.2.10. Какова симметрия 1) бабочки, 2) трехлопастного пропеллера,2.8А2.8.33) кирпича, 4) полумесяца, 5) гантели, 6) бублиРис. 3.

К задаче 2.8ка, 7) рюмки?2.11. Определить группу симметрии фигур, образующихся при сечении следующихмногогранников:Вариант2.11.12.11.22.11.32.11.42.11.5МногогранникСечение проведенотригональная пирамидатрйгопальная пирамидачерез высоту и боковое реброчерез высоту параллельно сторонеоснованиячерез высоту и боковое ребротетрагональнаярамидатетрагональнаярамидаоктаэдрдипидипи-через высоту параллельно сторонеоснованиячерез плоскость симметрии (дварешения)2.12.

Определить точечную группу симметрии следующихплоских молекул (рис. 4): 1) этилен, 2) 1,2-дихлорэтилен,3) хлорэтилен, 4) бутадиен, 5) димер муравьиной кислоты,6) флороглюцин (1,3,5-триоксибензол).л2.13. Определить точечную группу симметрии плоских молекул конденсированных ароматических углеводородов, изо-браженных на рис. 5: 1) нафталин, 2) фенантрен, 3) пирен,4) трифенилен 1 , 5) хризен, 6) коронен.сеV... - v>2,12.2\и... ни\И———С/V/2.12.5Рис. 4. К задаче 2.122-14. Определить точечную группу симметрии плоских молекул производных бензола и нафталина: 1) хлорбензол,2) 1,2-дихлорбензол (о-дихлорбензол),3) 1,3-дихлорбензол(ж-дихлорбепзол), 4) 1,4-дихлорбензол (я-дихлорбензол),5) 1,2,4,5-тетрахлорбепзол, 6) 1-хлорнафталин, Л) 1,2-дихлорнафталин, 8) 1,4-дихлорнафталии, 9) 1,5-дихлориафталин.2.15.