А.С. Холево - Введение в квантовую теорию информации

ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮТЕОРИЮ ИНФОРМАЦИИА. С. ХолевоМосква – 2 0 1 32ОглавлениеI71 Статистическая структура1.1 Классические и квантовые системы .1.2 Гильбертово пространство . . . . . .1.3 Квантовые состояния . . . . . . . . .1.4 Двухуровневые системы . . . . .

. .1.5 Анализ понятия “наблюдаемая” . . .1.6 Экстремальные наблюдаемые . . . .1.7 Переполненные системы векторов . .1.8 Переполненные системы для q-бита1.9 Томография квантового состояния .1.10 Теорема Наймарка . . . . . . . . . .............................................................991112141517192022232 Составные квантовые системы2.1 Наводящие соображения . . . . .

. . . . . . . . . . . .2.2 Тензорное произведение гильбертовых пространств .2.3 Разложение Шмидта и очищение . . . . . . . . . . . .2.4 Парадокс ЭПР. Неравенство Белла . . . . . . . . . . .2.5 Квантовая псевдотелепатическая игра . . . . . . . . .2.6 Корреляционные неравенства и операторные алгебры..............................25252628293234.......3535363840404343................................................................................3 Применения сцепленных состояний3.1 Квантовое состояние как информационный ресурс3.2 Сверхплотное кодирование .

. . . . . . . . . . . . .3.3 Квантовая телепортация . . . . . . . . . . . . . . .3.4 Квантовые алгоритмы . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.1 Алгоритм Саймона . . . . . . . . . . . . . .3.4.2 Замечания об алгоритме Шора . . . . . . .3.4.3 Алгоритм Гровера . . . . . . . . . . .

. . . .....................................................4 Классически-квантовые каналы454.1 Классическая теория информации . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.1 Энтропия и сжатие данных . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.2 Пропускная способность канала с шумом .

. . . . . . . 4734Оглавление4.24.34.44.54.6Оптимальное различение квантовых состояний .4.2.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . .4.2.2 Различение по максимуму правдоподобия4.2.3 Максимум информации . . . . . . . . . .Сжатие квантовой информации . . . . . . . . . .Квантовая теорема кодирования . . . . . .

. . .Квантовая граница информации . . . . . . . . .Доказательство прямой теоремы . . . . . . . . .................................................................5151525660636670ПредисловиеКвантовая теория информации (КТИ) – новая, быстро развивающаяся научная дисциплина, которая изучает общие закономерности передачи, хранения и преобразования информации в системах, подчиняющихся законамквантовой механики. Квантовая теория информации использует математический аппарат матричного и операторного анализа, некоммутативной теории вероятностей и статистики для исследования потенциальных возможностей таких систем, а также разрабатывает принципы их рационального ипомехоустойчивого дизайна.

КТИ стимулирует развитие экспериментальной физики, значительно расширяющее возможности целенаправленногоманипулирования состояниями микросистем и потенциально важное дляновых эффективных приложений. В настоящее время работы в областиквантовой информатики, включающей КТИ, экспериментальные и технологические разработки, ведутся в научно-исследовательских центрах всехразвитых стран.Настоящий курс лекций вводят в круг основных понятий КТИ и отражает ряд ее принципиальных достижений. Появление идей квантовогокомпьютинга, квантовой криптографии и новых коммуникационных протоколов позволило говорить не только об ограничениях, но и о новых возможностях, заключенных в использовании специфически квантовых ресурсов, таких как сцепленность (запутанность) квантовых состояний, квантовый параллелизм, дополнительность между измерением и возмущением.Необычные возможности квантовых систем пеpедачи и пpеобpазования инфоpмации пpоиллюстpиpованы на пpимеpах свеpхплотного кодиpования,квантовой телепоpтации и эффективных квантовых алгоpитмов.

Часть Iсоответствует содержанию первого семестра. Часть II (второй семестр) будет посвящена фундаментальному понятию квантового канала связи и егоэнтропийным и информационным характеристикам.В лекциях пpиведены необходимые предварительные сведения из классической теории информации и дается введение в статистическую структуру квантовой теории, поэтому для их понимания достаточно владенияосновными общематематическими дисциплинами. Настоящий курс лекцийосуществляется в рамках сотрудничества с Российским Квантовым Центром. Комментарии, предложения, замечания просьба присылать по адресу: ah@icqt.org.56ОглавлениеЧасть I7Глава 1Статистическая структураквантовой теорииПрежде чем перейти собственно к квантовой теории информации, необходимо изложить предварительные сведения о статистической структуреквантовой теории. Цель состоит не только в том, чтобы ввести определения и зафиксировать обозначения, но и в том, чтобы глубже разобраться восновах квантовой теории и ее вероятностной интерпретации (более полноеизложение этих вопросов слушатель найдет в [9]).Мы будем иметь дело с конечномерными квантовыми системами.

С одной стороны, уже в этом случае, причем наиболее наглядно, проявляютсярадикальные отличия квантовой статистики. С другой, именно системы сконечным числом уровней представляют интерес с точки зрения квантовогокомпьютинга (впрочем, в квантовой теории передачи информации большоевнимание привлекают и “системы с непрерывными переменными”, которыеописываются бесконечномерными пространствами).1.1Классические и квантовые системыКлассическая система характеризуется наличием фазового пространстваΩ, точки которого ω описывают детерминированные состояния системы.Для простоты далее рассматривается случай конечного множества Ω, d =|Ω|. (Статистическим) состоянием называется распределение вероятностейна Ω:Xpω = 1.P = {p1 , .

. . , pd } ; pω ≥ 0,ωВещественная случайная величина:X = {x1 , . . . , xd } ;9x̄ω = xω10Глава 1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРАМатематическое ожидание случайной величины X в состоянии P :XEP X =pω xω .ωДля плавного перехода к квантовым системам полезно ввести представление классических величин диагональными матрицамиP = diag [pω ] ,X = diag [xω ] ,EP X = TrP X,где Tr – след матрицы.Квантовая система описывается d-мерным пространством Cd . Квантовоесостояние задается матрицей плотностиS = [sij ]i,j=1,...,d ,S ∗ = S ≥ 0,TrS = 1.Вещественная квантовая наблюдаемая задается эрмитовой матрицейX = [xij ]i,j=1,...,d ,X ∗ = X.Математическое ожидание наблюдаемой X в состоянии S дается статистическим постулатом Борна:ES X = TrSX.(1.1)При таком подходе обнаруживается аналогия в статистическом описании классических и квантовых систем: сначала приготавливается состояние(P или S), затем производится измерение случайной величины или наблюдаемой X.

Как приготовление, так и измерение несут в себе случайность, врезультате чего исход измерения случаен, причем его математическое ожидание дается формулой (1.1). При этом для каждой квантовой величины –состояния или наблюдаемой, представляемой эрмитовой матрицей – существует ортонормированный базис из собственных векторов, в котором этавеличина представляется диагональной матрицей.

Фундаментальное отличие классического описания состоит в том, что оно использует только коммутирующие величины, XY = Y X. В самом деле, все диагональные матрицы коммутируют между собой. В известном смысле верно и обратное:Т е о р е м а 1.Эрмитовы матрицы A(1) , . . . , A(m) попарно коммутируюттогда и только тогда, когда они совместно диагонализуемы, т.е. существует ортонормированный базис из общих для них собственных векторов.Доказательство. Проведем доказательство для двух матриц A, B, которое обобщается очевидным образом.

Переходя к базису, в котором Aдиагональна, мы можем считать, что A = diag[aj ], B = [bjk ]. Из условияAB − BA = 0 получаем (aj − ak )bjk = 0. Таким образом, aj 6= ak влечетbjk = 0. Группируя вместе одинаковые aj , получаем, что матрицы A, B можно представить в блочно-диагональном виде A = diag[a0j Ij ], B = diag[Bj ],где все a0j различны, Ij – единичные матрицы, размерности которых dj1.2. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО11равны кратности a0j , а Bj – эрмитовы dj × dj -матрицы. Теперь в каждомблоке Bj можно перейти к базису, в котором Bj диагональна, при этом видматрицы A не изменится.¤Некоммутирующие матрицы X, Y ; XY 6= Y X, описывают несовместимые наблюдаемые, т.е.

такие, которые невозможно точно измерить одновременно. Существование несовместимых наблюдаемых – это проявление квантового свойства дополнительности. Физические измерения над микрообъектами производятся при помощи макроскопических экспериментальныхустройств, предполагающих сложную и специфичную пространственно временную организацию окружающей среды. Различные способы такой организации, соответствующие измерениям различных наблюдаемых, могутбыть взаимно исключающими (несмотря на то, что относятся к одинаковоприготовленному микрообъекту), то есть дополнительными.

Аналогичныесоображения относятся и к приготовлению квантовых состояний. Дополнительность – это первое фундаментальное отличие квантовой системы отклассической. Существуют и промежуточные “гибридные” системы, сочетающие черты классического и квантового описания (системы с правиламисуперотбора). Математической моделью таких систем являются алгебрыматриц или операторов (алгебры фон Неймана).1.2Гильбертово пространствоПусть H - d-мерное комплексное векторное пространство размерности dim H =d < ∞, со скалярным произведением hφ|ψi, φ, ψ ∈ H, удовлетворяющее аксиомам унитарного пространства; следуя скорее физической, нежели математической традиции, мы считаем, что hφ|ψi линейно по второму аргументу ψ и антилинейно по первому φ.