7, 8 (Лекции кафедральные (PDF))
Описание файла
Файл "7, 8" внутри архива находится в папке "Лекции по физике за 4 семестр". PDF-файл из архива "Лекции кафедральные (PDF)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "физика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Семестр 4. Лекции 7-8.Лекции 7 - 8. Представление физических величин операторами.Операторы координаты, импульса, момента импульса, потенциальной и кинетическойэнергии. Гамильтониан квантовой системы как оператор полной энергии. Основные постулаты квантовой механики. Вероятностный характер результатов измерений в квантовой механике. Вычисление средних значений физических величин в квантовых системах.Как уже было сказано измерение любого параметра, характеризующего состояние системы, меняет это состояние. Следовательно, меняется волновая функция. Поэтому любому измерению какой-то физической величины А в квантовой механике соответствует оператор, обозначаемый как Â , переводящий волновую функцию состояния до измерения Ψ в волновую функ . Принцип суперпозиции состояний требует, , т.е.
 ( Ψ ) = Ψцию состояния после измерения Ψˆ (c Ψ + c Ψ ) = c Aˆˆчтобы этот оператор был линейным A1 1221 Ψ1 + c2 AΨ 2 .В квантовой механике любое значение измеряемой физической величины должно являться собственным значением оператора данной физической величины, т.е. если при измерении получается значение А, то существует такая волновая функция Ψ′, что выполняется соотношение  ( Ψ ′ ) = A ⋅ Ψ′ . Эта функция называется собственной функцией данного оператора.Так как измеряемые величины должны быть вещественными, то и все собственные значенияданного оператора, соответствующего этой физической величине, должны быть вещественными.
Это означает, что оператор должен быть эрмитовым (или комплексно самосопряжённым.)Это следует понимать следующим образом. Паре любых комплексно значных функций uи v, заданных в одной области V можно сопоставить скалярное произведение по следующемуправилу ( u,v ) = ∫ v* ⋅ u ⋅ dV (при условии, что данный интеграл существует).VАксиомы скалярного произведения выполняются22( u,u ) = ∫ u* ⋅ u ⋅ dV = ∫ u ⋅ dV ≥ 0 . Если ( u,u ) = ∫ u ⋅ dV = 0 , то u ≡ 0 .VVVВ комплексном случае условие симметричности скалярного произведения принимает вид*( u,v ) = ∫ v* ⋅ u ⋅ dV = ∫ ( u* ⋅ v )V*⋅ dV = ( v,u ) .VДля любого числа λ выполняется ( λu,v ) = λ ( u,v ) и ( u,λv ) = λ* ( u,v ) .Линейность по аргументам очевидна.Оператор B̂ называется сопряжённым к оператору Â (относительно скалярного произˆ ( u ) ,v = u,Bˆ ( v ) .
Сопряведения) если для любых функций u и v выполняется равенство A() ()ˆ * . Оператор называется самосопряжённым (или эрмитоженный оператор обозначается B̂ = Aˆ =Aˆ*.вым) если он совпадает со своим сопряжённым AВсе собственные числа самосопряжённого оператора являются вещественными.Пусть u – собственная функция самосопряжённого оператора Â . Тогда существует ненулевоечисло A, такое, что выполняется равенство Â ( u ) = A ⋅ u . Поэтому Â ( u ) ,u = A ⋅ ( u,u ) . Но()( Aˆ ( u ) ,u ) = ( u, Aˆ ( u ) ) = ( u, Aˆ ( u ) ) = ( u, A ⋅ u ) = A ⋅ ( u,u ) . Следовательно, A = A***- собственное зна-чение является вещественным.Собственные функции самосопряжённого оператора, отвечающие разным собственнымзначениям взаимно ортогональны ( u,v ) = 0 .
Пусть Â ( u ) = A1 ⋅ u и Â ( v ) = A2 ⋅ v . Тогда( Â ( u ) ,v ) = A ⋅ ( u,v ) и ( Aˆ ( u ) ,v ) = ( u, Aˆ ( v ) ) = ( u, Aˆ ( v ) ) = ( u, A ⋅ v ) = A*12*2⋅ ( u,v ) = A2 ⋅ ( u,v )Но т.к. A1 ≠ A2 , то равенство A1 ⋅ ( u,v ) = A2 ⋅ ( u,v ) выполняется при ( u,v ) = 0 .1Семестр 4. Лекции 7-8.Все собственные значения данного оператора образуют множество, которое называетсяспектр оператора. Если это множество является отрезком прямой (т.е. образуют континуум), тоговорят, что у оператора непрерывный спектр.
Если собственные значения образуют дискретное множество, то говорят о дискретном спектре оператора.При измерениях конкретные значения физической величины получаются с некоторойвероятностью. Поэтому можно определить среднее значение физической величины, получаемоепри измерениях в данном состоянии.Для оператора с дискретным спектром среднее значение соответствующей физическойвеличины определяется соотношением A = ∑ pn An , где pn = p ( An ) - вероятность полученияnзначения An .В большинстве случаев собственные функции самосопряжённого оператора образуютполную систему функций. Это значит, что любую функцию можно представить в виде суммыΨ = ∑ cn Ψ n , где Ψ n - все собственные функции, образующие полную систему.n(Предполагается, что этот ряд сходится равномерно.) Для поиска коэффициентов разложенияследует использовать свойство ортогональности функций.
умножим левую и правую части наΨn( Ψ ,Ψ n ) .( Ψ n ,Ψ n )Пусть полная система функций ортонормированна, т.е. ( Ψ n , Ψ m ) = 1 при n = m и ( Ψ n , Ψ m ) = 0при n ≠ m . Это условие записывают в виде ( Ψ n , Ψ m ) = δnm , где символ Кронекера определяют( Ψ , Ψ n ) = cn ( Ψ n , Ψ n ) , cn =как функцию от натуральных чисел1, n = mδ ( n,m ) = δnm = .0 , n ≠ mТогда получаем, что cn = ( Ψ , Ψ n ) .Будем предполагать, что для функции Ψ выполняется условие нормировки∫Ψ2dV = 1 ,Vкоторое можно переписать в виде ( Ψ , Ψ ) = 1 . Тогда( Ψ , Ψ ) = ∑ cn Ψ n ,∑ cm Ψ m = ∑ cn ( cm ) ( Ψ n , Ψ m ) = ∑ cn*2= 1.mn n mЕсли функцию, нормированную на единицу, разложить в ряд по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора физической величины, токвадраты модулей коэффициентов разложения дадут вероятности получения собственныхзначений, соответствующих данным собственным функциям.
Т.е. если ( Ψ , Ψ ) = 1 и( Ψ n , Ψ m ) = δnm , то2pn = p ( An ) = cn , где cn = ( Ψ , Ψ n ) при выполнении Â ( Ψ n ) = An ⋅ Ψ n . В этомслучае среднее значение можно определить равенством2*ˆ ( Ψ ) ,Ψ .A = ∑ pn An = ∑ cn An = ∑ cn ( cm ) ( Ψ n , Ψ m ) An = ∑ An cn Ψ n , ∑ cm Ψ m = Annmm nЕсли оператор имеет непрерывный спектр, то среднее значение соответствующей физической величины определяется аналогично(())ˆ ( Ψ ) , Ψ = Ψ* AA = A∫ ˆ ( Ψ ) dV .VСледовательно, если функция Ψ, описывающая состояние системы является собственной для = A⋅ Ψ ,данного оператора Â , то при измерении мы получаем пропорциональную функцию Ψ2Семестр 4.
Лекции 7-8.которая «теряет условие нормировки на единицу»∫ Ψ2dV = ∫ A ⋅ Ψ dV = A2 . Т.е. можно счи2VVтать, что состояние системы не меняется. Очевидно, что вероятность получения результата Апри измерениях в этой ситуации равна 1. И среднее значение совпадает с результатом <A>=A.Если в каком-то состоянии, определяемом функцией Ψ надо измерить одновременно двефизические величины А и В, то согласно общим правилам измерений надо подействовать соответствующими операторами Â и B̂ на пси-функцию данного состояния. Если эта функция является собственно одновременно для обоих операторов, то состояние системы не изменится ивероятность получения обоих результатов равна единице.
Говорят, что в этом случае две величины одновременно могут быть измерены с сколь угодно точностью. В этом случае результаˆ Bˆ ( Ψ ) = Bˆ (Ψ) .ˆ Aты измерений не зависят от порядка их проведения, т.к. A()()В общем случае каждое измерение меняет состояние системы, поэтому результаты будутˆ Bˆ ( Ψ ) ≠ Bˆ Aˆ (Ψ) .зависеть от порядка измерений A()()ˆ ˆ , определяемый соКоммутатором двух операторов Â и B̂ называется оператор A,Bˆ ˆ (Ψ) = Aˆ Bˆ ( Ψ ) − Bˆ Aˆ (Ψ) .отношением A,BСмысл этого определения можно уяснить, если переписать определение в другом видеˆ Bˆ ( Ψ ) = Bˆ Aˆ ( Ψ ) + A,Bˆ ˆ (Ψ) .A) ((())()Т.е. коммутатор – это добавочный оператор, позволяющий переставлять порядок операторов.ˆ ˆ = ˆ0 является нулевым оператоЕсли для двух операторов Â и B̂ их коммутатор A,Bром, то говорят, что эти операторы Â и B̂ перестановочны или коммутируют друг с другом.Оказывается, что если для операторов двух величин Â и B̂ выполняется соотношениеˆ ˆ = i ⋅ Kˆ , где K̂ - оператор некоторой величины, то для неопределённостей этих величин A,B<K>.2Как известно, две физические величины могут быть одновременно измерены со скольугодно точностью только в случае, если они канонически не сопряжены ∆A ⋅ ∆B = 0 .
Поэтомудля них должно быть < K > = 0 , т.е. K̂ = 0̂ (нулевой оператор). Это значит, что две величиныодновременно могут быть измерены с сколь угодно точностью, если их операторы коммутируют, т.е. их коммутатор является нулевым оператором.можно написать соотношение ∆A ⋅ ∆B ≥Операторы квантовой механики.Операторы координаты определяются действием на функцииx̂ ( Ψ ) = x ⋅ Ψ , ŷ ( Ψ ) = y ⋅ Ψ , ẑ ( Ψ ) = z ⋅ Ψ .Все три оператора перестановочны между собой. Например,коммутатор [ xˆ, yˆ ] ( Ψ ) = xˆ ( yˆ ( Ψ ) ) − yˆ ( xˆ ( Ψ ) ) = x ⋅ y ⋅ Ψ − y ⋅ x ⋅ Ψ = 0 , т.е.
[ xˆ, yˆ ] = 0ˆ .Следовательно, координаты могут быть одновременно измерены с любой точностью.Оператор координаты является самосопряженным. Проверим это, например, для x̂ :( ˆx ( Ψ1 ) , Ψ 2 ) = ∫ Ψ 2* ⋅ ˆx ( Ψ1 ) ⋅ dV = ∫ Ψ 2* ⋅ x ⋅ Ψ1 ⋅ dV = ∫ Ψ 2* ⋅ x* ⋅ Ψ1 ⋅ dV =VVV= ∫ ( xΨ 2 ) ⋅ Ψ1 ⋅ dV = ( Ψ1 ,xˆ ( Ψ 2 ) )*VСобственные числа этого оператора – это значения координат. Очевидно, что эти значения действительные числа. Оператор координаты обладает непрерывным спектром, поэтому среднее значение, например, координаты x определяется равенством3Семестр 4.
Лекции 7-8.x = ∫ Ψ* ˆx ( Ψ ) dV = ∫ Ψ* xΨdV = ∫ x Ψ dV .2VVVОператор радиус-вектора определяется как векторная функцияR ( Ψ ) = ex ˆx ( Ψ ) + ey ˆy ( Ψ ) + ez ˆz ( Ψ ) = x ⋅ Ψ ⋅ ex + y ⋅ Ψ ⋅ ey + z ⋅ Ψ ⋅ ez где ex , ey , ez - орты декартовой системы координат.Оператор проекции импульса на ось декартовой системы координат ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψp̂x ( Ψ ) =, p̂ y ( Ψ ) =, p̂z ( Ψ ) =.i ∂xi ∂yi ∂zПроверим, что этот оператор самосопряженный для одномерного случая. Т.к.
частица находится в ограниченной области, то на границе области волновая функция частицы обязательно обращается в ноль. Если область задана интервалом a < x < b , то Ψ ( a ) = 0 и Ψ ( b ) = 0b( ˆp ( Ψ ) , Ψ ) = ∫ Ψx12ab*2⋅ ˆpx ( Ψ1 ) ⋅ dx = ∫ Ψ 2* ⋅ab ∂Ψ1∂Ψ⋅ dx = ∫ Ψ 2* ⋅ 1 ⋅ dx =i ∂xi a∂xbb ∂Ψ 2* *∂Ψ 2* ∂Ψ 2 = Ψ 2 ⋅ Ψ1 − ∫⋅ Ψ1 ⋅ dx = ∫ − ⋅ Ψ1 ⋅ dx = ∫ ⋅ Ψ1 ⋅ dx = ( Ψ1 , ˆpx ( Ψ 2 ) )ai∂xi ∂x aa a i ∂x Собственные значения оператора проекции импульса – это значения проекции импульса.