Автореферат (Аналитико-численное моделирование динамических систем с хаотическим поведением аттракторы и гомоклинические бифуркации)

На правах рукописиМокаев Руслан НазировичАНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХСИСТЕМ С ХАОТИЧЕСКИМПОВЕДЕНИЕМ: АТТРАКТОРЫ ИГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ БИФУРКАЦИИ05.13.18 — математическое моделирование, численные методыи комплексы программАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург — 2018Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет»Научный руководитель:Доктор физико-математических наук, профессор,Кузнецов Николай ВладимировичОфициальные оппоненты:Буркин Игорь Михайлович,доктор физико-математических наук, профессор,профессор кафедры вычислительной механики иматематики ФГБОУ ВО «Тульский государственныйуниверситет»Шумафов Магомет Мишаустович,доктор физико-математических наук, доцент,заведующий кафедрой математического анализа иметодики преподавания математики ФГБОУ ВО«Адыгейский государственный университет»Федеральное государственное бюджетное учреждениеВедущая организация:науки Институт проблем машиноведения Российскойакадемии наукЗащита состоится 19 декабря 2018 года в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.229.13 на базе федерального государственного автономного образовательногоучреждения высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университетПетра Великого» по адресу: 195251, г.

Санкт-Петербург, ул. Политехническая д. 29, корп.1, ауд. 41.С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГАОУ ВО «СанктПетербургский политехнический университет Петра Великого» по адресу: 195251, СанктПетербург, ул. Политехническая, 29 и на сайте http://www.spbstu.ru/ .Автореферат разослан ""2018 года.Ученый секретарьдиссертационного совета Д 212.229.13доктор технических наук,профессорБ.

С. ГригорьевОбщая характеристика работыНачиная с 40-х годов прошлого века стали разрабатываться критерии отсутствия колебаний в системах автоматическогорегулирования. В 1944 году была опубликована знаменитая работа А.И. Лурье и В.Н. Постникова1 , в которой был предложен эффективный подход дляполучения достаточных условий отсутствия колебаний и глобальной устойчивости для математической модели системы регулирования с одной скалярной нелинейностью (такую систему в литературе часто называют системойЛурье).

Далее для системы Лурье с единственным состоянием равновесияи нелинейностью из заданного линейного сектора возник вопрос совпаденияусловия глобальной устойчивости нелинейной системы с условием устойчивости линейного приближения. В рамках исследования этого вопроса Рудольфом Калманом в 1957 году была сформулирована известная гипотеза2 о моноустойчивости такой системы управления. В общем случае эта гипотеза оказалась неверна.

В работах Р.Э. Фиттса, Н.Е. Барабанова, Х. Берната, Ж. Либре, Н.В. Кузнецова и Г.А. Леонова исследовались контрпримеры к гипотезеКалмана, в которых устойчивые периодические решения сосуществовали сединственным состоянием равновесия. Трудность численного поиска такихскрытых колебаний связана с тем, что их область притяжения может бытьмала и не связана с состоянием равновесия. В настоящей работе, на основеразвития теории разрывных систем и применения метода точечных отображений Андронова, построен контрпример к гипотезе Калмана с хаотическойдинамикой.Одним из актуальных направлений исследования является разработкаэффективных аналитико-численных методов, использующих вычислительные мощности современных ЭВМ и продуктивные аналитические подходы.Значительными результатами, полученными на основе таких подходов, являются компьютерное доказательство (computer-assisted proof) существованияхаотического аттрактора в классической системе Лоренца3 , и обнаружениескрытых аттракторов в системах лоренцевского типа4 .

Одним из центральных направлений современных исследований сценариев перехода к хаотической динамике в многомерных системах является исследование гомоклиниАктуальность темы12А.И. Лурье, В.Н. Постников. К теории устойчивости регулируемых систем.ПММ, 1944. № 8(3). С.246-248.R.E. Kalman. Physical and Mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems.3Trans. Am. Soc. Mech Eng., 1957.

№ 79(3). P.553–566.W. Tucker. The Lorenz attractor exists. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 1999. № 328(12). P. 1197-1202.D. Dudkowski, S. Jafari, T. Kapitaniak, N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, A. Prasad. Hidden attractors in4dynamical systems. Phys. Rep., 2016. № 637. P. 1-50.3ческих бифуркаций в работах нижегородской школы Л.П. Шильникова5 . Запоследнее время в этом направлении представителями этой школы полученряд новых результатов для систем лоренцевского типа.

В настоящей работеизучается обобщенная система Лоренца, которая включает в себя математические модели, описывающие процесс конвекции жидкости6 , динамику волнв лазерах7 и другие физические процессы8 . Для этой системы проведеныаналитико-численные исследования, связанные с развитием аналитическихкритериев рождения гомоклинической бифуркации и с численной проверкойвозможности возникновения хаоса.Цели работы1. Разработка эффективного алгоритма для аналитико-численного построения контрпримеров к проблеме Калмана с хаотической динамикой. Анализ физических экспериментов Фиттса.2.

Построение аналитических критериев неустойчивости в системах лоренцевского типа со сжатием объемов. Разработка эффективного алгоритмадля численного определения границ областей неустойчивости.3. Получение аналитических критериев существования гомоклиническихтраекторий в системах лоренцевского типа и разработка эффективныхчисленных алгоритмов для анализа гомоклинической бифуркации и соответствующих сценариев возникновения хаоса.4. Реализация разработанных алгоритмов в виде комплекса программ впакете вычислений MATLAB.Методы исследования1.

Для построения контрпримеров к проблеме Калмана применен метод точечных отображений и символьные вычисления для локализации периодических решений, а также подход, основанный на обратном сценарииразрывной аппроксимации, для перехода к системе с гладкой нелинейностью.2. Аналитический метод построения области глобальной устойчивости иглобальной неустойчивости в системах лоренцевского типа.3. Аналитический метод доказательства существования гомоклиническихбифуркаций в системах лоренцевского типа.5678V.S.

Afraimovich, S.V. Gonchenko, L.M. Lerman, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev. Scientific heritage of L.P.Shilnikov. Regul. Chaotic Dyn., 2014. № 19(4). P. 435-460.E.N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci., 1963. № 20(2), P. 130-141.А.Н. Ораевский. Мазеры, лазеры и странные аттракторы. Квантовая электроника, 1981.№ 8(1). С.130-142.S.H.

Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, andEngineering. Perseus Books, 1994.4Основные положения, выносимые на защиту1. Алгоритм синтеза моделей со скрытыми колебаниями для класса моделей управления в форме Лурье. Алгоритм для построения контрпримеров к проблеме Калмана, основанный на обратном сценарии разрывнойаппроксимации Айзермана-Пятницкого. Контрпример с гладкой нелинейностью к проблеме Калмана на основе системы Фиттса, демонстрирующий скрытый хаотический аттрактор.2. Аналитический критерий неустойчивости для класса моделей лоренцевского типа со сжатием объемов. Алгоритм для численного определенияграниц областей неустойчивости.3. Алгоритм синтеза моделей с гомоклинической траекторией для классамоделей лоренцевского типа.

Аналитический критерий существованиягомоклинических траекторий и алгоритм для численного исследованиягомоклинических бифуркаций для класса моделей лоренцевского типа.Численное обнаружение гомоклинической бифуркации слияния странных аттракторов.Научная новизна: пункты 1-3, перечисленные в положениях, выносимых на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.Теоретическая и практическая значимостьВ диссертации для обобщенной системы Лоренца в пространстве параметров аналитически построена граница областей глобальной устойчивостии неустойчивости решений для дальнейшего исследования турбулентности.Разработан аналитико-численный метод, основанный на методе разрывной аппроксимации, для локализации и определения параметров скрытых колебаний в нелинейных системах, который применим для различныхсистем управления, используемых, например, в летательных аппаратах и буровых установках.Достоверность изложенных в работе теоретических результатовобеспечивается их строгим математическим доказательством.Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на международных научных конференциях: 2nd International ScientificConference ”Autumn Mathematical Readings in Adyghea” (Russia, Maykop 2017), International Scientific Conference on Mechanics ”The Eight Polyakhov’sReading” (Russia, Saint Petersburg - 2018).Также результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры прикладной кибернетики математико-механического факультета СанктПетербургского государственного университета и кафедры математических информационных технологий университета Ювяскюля (University ofJyväskylä), Финляндия.5По результатам работы над гипотезой Калмана было получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [7].Работа поддержана грантом Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки Ведущих научных школРоссийской Федерации на 2018-2019 годы (НШ-2858.2018.1).Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложеныв 6 публикациях [1–6], 3 из которых изданы в журналах, рекомендованныхВысшей аттестационной комиссией [1–3].В работах [1, 5] диссертанту принадлежит вывод критерия неустойчивости в системах лоренцевского типа и численное определение границ областей неустойчивости, соавторам — постановка задачи и экспериментов.