0735-2-opreview (Аналитико-численное моделирование динамических систем с хаотическим поведением аттракторы и гомоклинические бифуркации)

Адыгейский государственный университет Отзыв официального оппонента на диссертацию Мокаева Руслана Назировича «Аналитико-численное моделирование динамических систем с хаотическим поведением: аттракторы и гомоклинические бифуркации», представленную на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. В диссертационной работе Р.Н. Мокаева исследуется хаотическая динамика в системах, заданных дифференциальными уравнениями с гладкой и с разрывной правыми частями. Актуальность этих исследований связана с необходимостью разработки эффективных аналитических и численных подходов для предсказания, описания и анализа хаотического поведения, которое встречается во многих фундаментальных задачах и прикладных моделях, описываемых такими уравнениями. При исследовании реальных физических систем, например, систем автоматического управления с релейными характеристиками или механических систем, учитывающих сухое (кулоново) трение, движение таких систем характеризуется периодами непрерывной эволюции, прерванной мгновенными переключениями.

В математических моделях таких систем используются дифференциальные уравнения, правые части которых являются разрывными по фазовым переменным функциями. Дчя таких систем обычное ~классическое) понятие решения не подходит и требуется его обобщение, Эта задача сводится к описанию поля возможных направлений системы в точках разрыва правых частей дифференциальных уравнений, т.е. к их доопределению на линиях, поверхностях или тех или иных многообразиях разрыва. Как правило, это доопределение неоднозначно и дифференциальное уравнение заменяется на уравнение с многозначной правой частью или дифференциальное включение. Существенный вклад в развитие теории дифференциальных включений был сделан А.Ф.

Филипповым, М. А. Айзерманом, Е.С. Пятницким, а также А.Х. Гелигом, Г.А. Леоновым, В.А. Якубовичем, которые предложили различные подходы к доопределению разрывной правой части дифференциального уравнения и дали соответствующие определения решения дифференциального включения, адекватные для описания достаточно широкого класса процессов в физических системах.

Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью нашли интересное приложение при построении контр примеров к известной гипотезе о моноустойчивости системы Лурье с единственным состоянием равновесия, выдвинутой Р.Е. Калманом в 1957 году. Пытаясь аналитически обосновать первый контрпример к гипотезе Калмана, который был построен Р.Е.

Фиттсем численно, Н,Е. Барабанов показал сложности строгого анализа существования периодических решений системы Фиттса с кубической нелинейностью и предложил процедуру построения контрпримеров к гипотезе Калмана, в которой рассматривается система с разрывной нелинейностью, ищется ее периодическое решение и затем малыми возмущениями осуществляется сглаживание нелинейности. В предложенной процедуре Н.Е. Барабанов не проводил строгого исследования отрезка покоя и нелокальных бифуркаций при малых возмущениях, на что было указано в работе Х.

Берната и Ж. Либре. Общая трудность построения контрпримеров к проблеме Калмана состоит в поиске начальных данных искомых периодических решений, так как они являются скрытыми и их бассейн притяжения не связан с окрестностями состояний равновесия. Для локализации скрытых аттракторов Н,В. Кузнецовым и Г,А. Леоновым было предложено использовать метод продолжения по параметру, в рамках которого, изменяя специально выбранный параметр системы, отслеживается трансформация исходного самовозбуждающегося аттрактора в скрытый.

Диссертация Мокаева Р.Н. состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 177 наименований и трех приложений. В первой главе диссертационной работы основным результатом является разработка и реализация алгоритма синтеза систем Лурье, являющихся контрпримерами к проблеме Калмана. В предложенном алгоритме развиваются идеи Н.Е. Барабанова, Х. Берната, Ж. Либре, Н.В. Кузнецова и Г.А. Леонова. Для аналитико-численного вычисления начальных данных периодических решений системы Лурье с разрывной правой частью, диссертант Р.Н. Мокаев конструирует дифференциальное включение и использует метод точечных отображений Андронова, чтобы <ссшить» дуги периодического решения на многообразии переключения, Для перехода от системы с разрывной нелинейностью к системе с непрерывной нелинейностью используется обратный сценарий разрывной аппроксимации решений дифференциальных включений по Айзер ману-Пятницкому и метод продолжения по параметру.

Применяя разработанный алгоритм, на основе линейной части системы Фитгса автор построил новый контрпример к гипотезе Калмана с мультиустойчивостью: в фазовом пространстве сосуществуют локально устойчивое состояние равновесия, скрытый устойчивый предельный цикл и скрытый хаотический аттрактор. Во второй главе диссертации автор проводит исследование хаотической динамики конечномерных гладких динамических системах.

Для таких систем одним из основных направлений изучения сценариев зарождения хаоса является направление исследований горьковской научной школы Л.П. Шильникова так называемых гомоклинических бифуркаций. Исследования Шильникова показали, что при изменении бифуркацио нного параметра системы перед рождением хаотического аттрактора в фазовом пространстве появляется гомоклиническая траектория. Для двумерных систем актуальность поиска гомоклинических траекторий связана с результатами известного итальянского математика Ф. Трикоми, который в 1933 году впервые доказал существование гомоклинической траектории в двумерной модели, описывающей синхронную электрическую машину, и аналитически получил оценки бифуркационного параметра.

Гомоклиническая траектория в исследуемой Трикоми модели ограничивает область устойчивости нулевого состояния равновесия, которое соответствует рабочему режиму. Последующее развитие идей Трикоми на многомерные фазовые пространства и на многомерные пространства параметров выразилось в формулировке общей задачи Трикоми, состоящей из двух частей: получение аналитических условий существования гомоклинической траектории и нахождение соответствующих значений параметров системы. В диссертационной работе для системы лоренцевского типа автором решена первая часть задачи Три коми: доказана теорема существования гомоклинических траекторий к седловому нулевому состоянию равновесия.

В рамках решения второй части задачи Трикоми проведено аналитико-численное исследование области существования гомоклинических траекторий на предмет возможности возникновения хаоса в окрестности гомоклинической бифуркации. В результате этого исследования автором обнаружен новый сценарий гомоклинической бифуркации, связанный со слиянием двух хаотических аттракторов в один. Также для исследуемой системы лоренцевского типа автором были получены аналитические и численные результаты, позволяющие выделить в пространстве параметров область, в которой нет глобального атграктора и почти все траектории системы уходят на бесконечность, область, в которой все траектории стремятся к состояниям равновесия, и область, в которой система диссипативна по Левинсону, то есть все траектории попадают в шар, содержащий глобальный аттрактор.

Данные результаты позволяют проводить дальнейший анализ эффективного поиска гомоклинических траекторий в фазовом пространстве. Содержание диссертации полностью отражено в публикациях автора. Все результаты обстоятельно изложены в автореферате. Результаты работы, связанные с проблемой Калмана, докладывались автором на международной научной конференции «Яесопс1 1птегпап1опа1 Яс1еп66с Соп1егепсе "Ашшпп Мат1тета6са1 Кеайпу 1п Ас1уфеа"», проходившей в Майкопе в 2017 году. Также результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры прикладной кибернетики математико-механического факультета СанктПетербургского государственного университета.

Практическую значимость результатов подтверждает свидетельство авторского права на программу ЭВМ. По содержанию диссертации имеются следующие замечания: 1. В работе отсутствует четкое определение того, что такое системы лоренцевского типа. 2. Для возможного дальнейшего развития диссертационной работы отмечу, что по аналогии со второй частью диссертации в окрестности параметров разрывной системы, соответствующих хаотическому аттрактору, не проведен поиск возможных гомоклинических траекторий.

3. Код программ в приложении к диссертации можно написать короче и более оптимально, например, на стр. 149 явно просится цикл. 4. Не на всех графиках подписаны оси, например, см. стр. 74. 5. В тексте присутствуют опечатки, например, на стр. 21 (строчка 10) отсутствует ссылка, на стр. 69 (строчка 5) и на стр. 72 (строчка 2) неправильно написано название математического пакета МАТ1.АВ. Указанные выше замечания не снижают общую положительную оценку работы. Диссертация представляет законченную научно-исследовательскую работу, выполнена на высоком научном уровне и соответствует специальности 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Считаю, что рецензируемая диссертационная работа удовлетворяет требованиям ВАК РФ, а ее автор Мокаев Руслан Назирович заслуживает присуждения ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13,18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Официальный оппонент доктор физико-математичке кнк наук, йййетйй . Ф,!.'":.";!':::! ',: ~.:у' заведующий кафедрой математичеокоуй!Зчррйфищ,:!: '::„:-': !~:::.;.» и методики преподавания математики.",.",'.,";... ~' .'„,,-'-'-~--: — 'кФ вЂ” ' — — ";Ф . Л"., ~~ Адыгейского государственного универс ' ФФФФФ:;, з.з-"-', " щ,:,;уфз: ..: '.: Км;.:тз . Шумафов Магомет Мишаустович, 385000, Республика Адыгея, г. Майкоп, ('~', Ф.;Яви ул. Первомайская, д, 208, (8772) 570273, (8772) 593905, та8оте1 зЬяшаГ®ша11.гп .