Бархатова. Поверхности второго порядка.

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаМетодические указанияО.А. БАРХАТОВА, Г.С. САДЫХОВПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКАИздательство МГТУ имени Н.Э. БауманаМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТим. Н.Э. БАУМАНАО.А. Бархатова, Г.С. СадыховПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКАМетодические указанияк выполнению типового расчетаПод редакцией А.В.

КопаеваМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2005УДК 513.56/58ББК 22.151.5Б26Рецензент В. Ф. ПановБ26Бархатова О.А., Садыхов Г.С.Поверхности второго порядка: Методические указания квыполнению типового расчета / Под ред. А.В. Копаева. - М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - 40 с : ил.ISBN 5-7038-2667-5Рассмотрены поверхности вращения, цилиндрические поверх­ности, описаны типы поверхностей второго порядка и приведены ихканонические уравнения. Рассмотрен порядок построения тела, ог­раниченного пересекающимися поверхностями. Приведены краткиетеоретические сведения, решенные примеры, задачи для самостоя­тельного решения, условия домашнего задания.Для студентов 1-го и 2-го курсов МГТУ им.

Н.Э. Баумана.Ил. 9. Табл. 6. Библиогр. 6 назв.УДК 513.56/58ББК 22.151.5ISBN 5-7038-2667-5© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005ВВЕДЕНИЕВ аналитической геометрии наряду с вопросом об аналитиче­ском представлении линии на плоскости важным является вопрособ аналитическом представлении поверхности и линии в про­странстве при помощи уравнений, связывающих их координаты.Кроме того, для решения многих прикладных задач требуются по­строения поверхностей, тел, ограниченных поверхностями, линиипересечения тел и ее проекций на координатные плоскости.В методичесхсих указаниях приводится понятие об уравненииповерхности и уравнении линии в пространстве.

Рассмотрены по­верхности вращения и цилиндрические поверхности, понятие иосновные типы уравнений второго порядка. Основное вниманиеуделено поверхностям второго порядка. Приводится их классифи­кация, построение поверхностей методом сечений, а также по­строение тела, ограниченного пересекающимися поверхностямивторого порядка, и нахождение уравнения проекции линии пере­сечения тел на координатные плоскости.Для самостоятельной работы приведены варианты типовогорасчета.УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИБудем рассматривать вещественные числа JC, у, z как произ­вольные переменные величины в декартовой прямоугольной сис­теме координат Oxyz.

Пусть F(x, у, z) - некоторая заданнаяфункция. Рассмотрим геометрическое место точек, удовлетво­ряющих уравнению вида F(x, у, z) = 0. В общем случае это естьравенство, верное не для любых троек чисел х, у, z. Такое урав­нение может определять поверхность, линию в пространстве, от­дельные точки или не определять никакого геометрического об­раза, если не существует ни одной точки, координаты которойудовлетворяют уравнению.Уравнением поверхности называют уравнение видаF(x,y,z) = 0y(1)которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей наэтой поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не ле­жащих на ней.

Поверхность, определяемая уравнением (1), естьгеометрическое место точек, координаты которых удовлетворяютэтому уравнению. Уравнение поверхности (1) называют алгеб­раическим, если F(x, у, z) - целый многочлен от переменныхх9 у, z. Все неалгебраические уравнения поверхностей называюттрансцендентными.Поверхность, которая определяется алгебраическим уравнени­ем степени п, называют алгебраической поверхностью я-го по­рядка.Общий вид алгебраического уравнения первой степени, содер­жащего три переменные величины: Ах + By + Cz + D = 0, гдеА2 + В2 + С2 ^ 0.

Это уравнение алгебраической поверхности пер­вого порядка (плоскости).Общий вид алгебраического уравнения второй степени, содер­жащего три переменные величины:аих +а22у +a^z + 2ахгху + 2a]3xz +Vla^yz + 2ахх + 2а2у + 2a3z + а0 = 0,4где хотя бы один из коэффициентов aij9 i = 1,3, j = 1,3, отличаетсяот нуля, т. е. уравнение содержит члены второй степени.Уравнение (2) представляет собой уравнение или произвольнорасположенной алгебраической поверхности второго порядка, илиее вырожденной формы, или мнимого геометрического объекта.Если функция F(x9 у, z) в уравнении (1) есть произведениет функцийтFx(x9y9z\F2{x9y9z\..., Fm(x9y9z):F(x9y9z) = Y\Fi(x9y9z)9/=iто уравнение (1) распадется на совокупность т уравнений:Fx{x9y9z) = 09 F2(x9y9z) = 0,...9 Fm(x9y9z) = 0.Это уравнения объединения т поверхностей.Пример 1.

Определить, какие точки пространства Oxyz гео­метрически заданы уравнением 4л:2 - у2 + 2yz - z2 = 0.Решение. После преобразования к виду4x2-(y-z)2=09(2x-y + z)(2x + y-z) = 0заданное уравнение второй степени распадается на два уравненияпервой степени: 2x-y + z = 0 и 2х + y-z = Q. Это уравнения двухплоскостей, проходящих через начало координат.Линия в пространстве может быть задана как пересечение двухповерхностей с уравнениями F](x9y9z) = 0 и F2(x9y9z) = 0. Тогдасистема уравненийJ?(,w);°o«[F2(x9y9z) = 0определяет данную линию.Поскольку линия в пространстве может быть получена как пе­ресечение различных пар поверхностей, то существует бесконечномного способов задания каждой линии.5При исследовании поверхностей решают две основные задачианалитической геометрии:1)по известному свойству множества точек поверхности вы­водят уравнение поверхности;2) по известному уравнению поверхности исследовать свойст­ва множества точек этой поверхностиПример 2.

Сферой называют геометрическое место точек про­странства, равноудаленных от заданной точки (центра сферы). Вы­вести уравнение сферы по известному радиусу и координатам центра.Решение. Выведем уравнение сферы, центр которой находитсяв начале координат, а радиус равен а.

По определению, расстоя­ние любой точки M(x,y,z) сферической поверхности от началакоординат равно а, что можно записать в виде равенстваyjx1 + у2 + z2 = я, которое после возведения в квадрат принимаетвид х2 + у2 + z2 = а2. Это искомое уравнение сферы.Для исследования свойств множества точек поверхности по ееуравнению (1) удобно использовать метод сечений.ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯПоверхностью вращения называют поверхность, любое сече­ние которой плоскостью, проходящей через точку поверхности иперпендикулярной к некоторой прямой (оси вращения), содержитокружность, проходящую через взятую точку и имеющую центрна этой прямой.Поверхность вращения (рис.

1) образована вращением плоскойкривой С вокруг прямой d (оси вращения), расположенной в ееплоскости. При этом каждая точка М кривой с описывает ок­ружность.Чтобы найти уравнение поверхности, образованной вращениемлинии, принадлежащей координатной плоскости, вокруг координат­ной оси этой плоскости, нужно в уравнении линии оставить без из­менения переменную, соответствующую оси вращения, а другую пе­ременную заменить квадратным корнем из суммы квадратов этойпеременной и переменной, не входящей в уравнение линии.[F(x9y) = 0,Пусть плоская кривая <задана в полуплоскости[z = Оу > 0. Поверхность образована вращением этой кривой вокруг оси6Ох.

Чтобы составить уравнение этой поверхности, нужно в урав­нении кривой х оставить без изменения, а вместо у подставитьyjy2 + х2. Получаем уравнение поверхности вращения вокруг осиОх в видеF(x, yjy2+z2) = 0.Замечание. Если кривая задана для полуплоскости у < О, тоуравнение поверхности вращения имеет вид F(x, -у]у2 + z2) = 0.Рис. 1Пример 3. В плоскости Oxyz задана окружность (х-Ь)2+у2=а2,Ь>а>0. Составить уравнение поверхности, образованной враще­нием этой окружности вокруг оси Оу.Решение.

В уравнении окружности у оставим без изменения, ах заменим на yjx2+y2. Тогда уравнение поверхности вращения(\lx +z -b )+у2=а2. После преобразо­можно записать в видевания получим x2+y2+z2+b2-a2=2b\lx2+z2,22222 2222уравнению (x +y +z +b -a ) =4b (x +z ).что эквивалентноЭту поверхностьназывают тором.Пример 4. В плоскости z=0 задана кривая >>=sin x. Составитьуравнение поверхности, образованной вращением этой кривой во­круг оси Ох.1Решение.

В уравнении кривой оставим х без изменения, а.у заменим на ±y]y2+z2. Получим уравнение поверхности враще­ния ±y]y2+z2 =sin*, или >>2+z2=sin2jc.При вращении кривых второго порядка вокруг их осей сим­метрии образуются поверхности вращения второго порядка. Еслиосью вращения какой-либо поверхности является координатнаяось, то в уравнение такой поверхности две переменные величинывходят только в виде суммы их квадратов, а третья переменнаяопределяет ось вращения.ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИЦилиндрической называют поверхность, образованную прямой (об­разующей), которая при перемещении в пространстве не меняет направ­ления и пересекает определенную линию (направляющую) (рис. 2).В общем случае уравнениецилиндрическойповерхностиможет быть составлено по задан­ным в виде (3) уравнениям на­правляющей линии и направле­нию образующей.