Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков

Ю. П. Пьильев, И. А. Шишмарев КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ стАтистиКи для физиКОВ Допущено Министерством высшего и среднего специального обраэовання СССР в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальнрсти «Физика» ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УИИВЕРСИТЕТА 1983 УДК 519,31 Лмтьев Ю. П., Шишмарев И. А. Курс теории вероя4постей в математической статистики для физиков: Учеб. пособие.

— Мл Иэд-во Моск. ун-та, 1983. — 258 с. В основу книги положен полушшовой курс лекций, читаемый авто- рамн па физическом факультете. Кроме траднционаюго материала по курсу теории вероятностей большое места уделено важной для фиввки теории озучайных процессов: мармовсввх и стационарных. Изложение математически строгое, хотя н це основанное ца использовании интеграла Лебега. Часть курса, посвященная математической статистике, наряду с традиционными вопросами содержит разделы, ориентированные на приложения к задачам ввтоматявэцвм планирования, энвжша и интерпретации физических экспериментов. Изложена статистичмжая морин лзмери.

тельно-вычислнтельного комплекса «прибор+ЭВМ», позволяющая .существенно улучшить параметры реального экспериментального оборудовании путем обработки данных на ЭВМ, Включены элементы теории статистической. проверки гипотез, используемые в задаче интерпретации экспериментальных данных. 'Библиогр. 14 паз.

Ил. 31 Рецензенты: кафедра прикладной математики МИЭМ, акад. АН УССР Б. В. Гнедэико «»иа~ивю — » 077(02) — 33 © Издательство Москевскего университета, 1983 г. ОГЛАВЛЕИИЕ Предисловие 180 181 187 191 194 211 221 231 242 ' Часть 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТИОСТЕИ Введение 1. Пространство элементарных ' событий. Алгебра событий $2. Классическая теоретико-вероятностная модель $3.

Аксиоматическое построение теории вероятностей $ 4. Условная веронтность. Независимость б. Последовательность независимых нсиытаний $ 6. Распределение Пуассона $ 7. Локальная н интегральная предельные теорема Муавра Лапласа 8. Случайные величины и функция распределения $ 9. Числовые характеристики случайных величин $70. Законы больших чисел $ 11. Нентральные предельные теоремы $ 12. Конечные однородные' цепи Маркова $ 13.

Случайные процессы Часть 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА $ 14. Распределение ортогональных проекций $ 15. Интервальные оценки параметров нормального распределения $ 16. Общая задача интервального оценивания $ 17. Точечные оценки $ 18. Линейная модель измерений $ 19. Линейные задачи редукции измерений в экспериментальных исследованиях . $ 20. Задачи проверки статистических гипотез $ 21. Элементы теории статистических решений Литература 6 10 16 26 34 41 45 50 56 80 102 111 134 144 ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемая книга 'является расширенным вариантом ротапринтного конспекта лекций, читавшихся нами в течение ряда лет на физическом факультете МГУ. При создании курса лекций и настоящего краткого учебного пособия мы ставили перед собой три основные задачи. Во-первых, курс должен достаточно полно отражать основные понятия и факты теории вероятностей и математической статистики.

Выполнение этой задачи предопределило включение в книгу традиционного материала: такого, как пространство элементарных событий, различные определения вероятности событий, последовательность независимых испытаний, предельные теоремы Пуассона и Муавра — Лапласа, случайные величины и функции распределения, математическое ожидание, дисперсия, матрица ковариаций случайных величин, законы больших чисел, характеристические функции и центральные предельные теоремы, цепи Маркова и основные типы случайных процессов, интервальные и точечные оценки параметров распределений, метод наименьших квадратов и линейный анализ регрессий, проверка статистических гипотез и т.

д. Во-вторых, курс должен быть математическим курсом„ рассчитанным на математическую подготовку студентов третьего курса физических и физико-технических специальностей университцтов. Решение этой задачи, по замыслу авторов, способствовало бы заполнению известной бреши между подробными и строгими курсами теории вероятностей, ' рассчитанными лишь на математиков и недоступными для физиков, инженеров и других прикладников, и остальными, учебниками (для нематематиков), в которых, по существу, мало что доказывается и которые поэтому создают у чита' теля лишь «комплекс неполноценности». Хотя, конечно, последовательное изложение теории вероятностей должно опираться на теорию меры и интеграла Лебега либо ограничиваться счетными схемдми, нематематику,' однако, обычно , бывает достаточно знать, что возникающие в ряде пунктов. теории вопросы существования 4вероятностных пространств, случайных величин или функций и т.

д.) благополучно решаются . с помощью соответствующих математических средств, и ограничиваться в подобных ситуациях проведением доказательств для дискретного случая. Мы придерживались в пашем курсе именно такой точки зрения, избегая использования теории меры и интеграла Лебега. В-.третьих, курс должен отвечать специфическим требованиям физического образования, В связи с этим в' книге дано достаточно подробное изложение теории слуиайных вро- цессов с разбором важных для приложений примеров. Включены вопросы статистической обработки эксперимента. Поскольку особую роль для физиков играют задачи автоматизации экспериментальных исследований, в книге приведены основы теории «прибор+ЭВМ», дающей трактовку измернтельно-вычислительного комплекса как 'нового прибора с существенно 'улучшенными характеристиками. Рассматривается также ряд других вопросов, например задачи принятия статистических решений.

ЧАСТЬ 1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЯ введение Начнем курс теории вероятностей с описания некоторых простых экспериментов, в которых возникает интуитивное понятие вероятности. Анализ этих экспериментов позволит лучше ориентироваться в дальнейшем формальном построения теории вероятностей. 1'. Опыт с конечным числом равновероятных исходов Рассмотрим эксперимент, который выполняется прн соблюдении некоторого комплекса условий У. Будем предполагать, что при фиксированном У эксперимент может быть повторен неограниченное число раз, но прн повторении результаты его могут быть различными.

Иными словами, речь идет об эксперименте со случайным всходом. Теория вероятностей изучает математические модели таких экспериментов. В качестве первого эксперимента со случайным исходом рассмотрим бросание игральной кости.*. Результат эксперимента, такой, например, как выпадение одной нз шести граней, можно считать непредсказуемым (случайным). Исходом эксперимента в данном случае не обязательно считать выпадение одной из граней. Можно, например, условиться, что эксперимент имеет не шесть, а 'лишь трн исхода: А, «выпаденне одной из граней 1, 2 нлн 3», Аа — «выпаденне одной нз граней 4 илн 5» н, наконец, Аа — «выпаденне грани 6»'.

Но н в этом случае удобно априори выделить в нзвестном смысле элементарные исходы — выпадения граней, а все остальные описывать в терминах элементарных. Дело в том, что в рассматриваемом эксперименте нн один нз элементарных исходов нельзя считать более предпочтительным, более вероятным, чем другой, и если и — общее число элемеитарных исходов (в данном случае — 6), то естественно считать элементарные исходы равновероятнымн и каждому приписать одинаковую вероятность, равную 1/а. Так опре- ' Игральная ность — куо нв однородного материала, шесть граней которого перенумерованы. деленная вероятность на практике призвана оценивать частоту данного элементарного исхода в серии большого чис-, ла независимых повторений эксперимента, если под частотой понимать отношение числа появлений данного элементарного исхода к общему числу повторений эксперимента.

Вслед за этим можно «вычислить» вероятность любого результата эксперимента. Именно если л(А) — число элементарных исходов, приводящих к результату эксперимента А, то естественно вероятность Р(А) определить равенством Р(А) =л.(А)/п — как отношение числа исходов, при. водящих к А, к числу всех элементарных исходов.

Итак, вероятность выпадения каждой грани прн бросании кости равна 1/6, вероятность исхода А$ — «выпадение либо 2, либо 3» — равна (1+1)/6 1/6+1/6=1/3 и т. и. При этом в понятие «вероятность» вкладывается следующий интуитивный смысл: при многократном повторении эксперимента мы ожидаем, что отношение фактического числа исходов А к общему числу повторений эксперимента будет близко к вероятности Р(А). В данном случае следует ожидать, что каждая грань при большом числе бросаний будет выпадать примерно в одной шестой всех исходов, а результат эксперимента А, будет наблюдаться втрое чаще, т. е.

примерно в половине исходов. Так это или не так, в каждом конкретном случае может свидетельствовать лишь реальный эксперимент. Накопленные на практике многочисленные наблюдения действительно подтверждают факт устойчивости частот в рассмотренном эксперименте. При большом числе бросаний частота выпадения каждой грани и на самом деле близка к 1/6. Однако не следует думать, что всякий эксперимент со случайным исходом обладает свойством устойчивости частот, или; как говорят, статистической устойчивостью.

В теории вероятностей речь идет об экспериментах со свойством статистической устойчивости результатов. 2'. Геометрические вероятности Интуитивное представление о вероятности может быть составлено также в связи со следующим 'мысленным экспериментом. Пусть на отрезок ~[а, Ь] длины 1=Ь вЂ” а наугад бросается точка. Какова вероятность того, что она попадет.