Наброски лекций. 2017

1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССАПусть (Ω, F , P ) – некоторое вероятностное пространство. Пусть T – подмножестводействительной прямой.Определение1.1. Случайным процессом называется семейство случайных величин ξ(ω, t), ω ∈ Ω, t ∈ T}.Как обычно в теории вероятностей, мы будем опускать зависимость от элементарного исхода и писать ξ(t) вместо ξ(ω, t), если эта зависимость не является существенной для наших рассуждений.Как правило, полагают, что T = {t > 0}, и в этом случае параметру t можно придать смысл времени.

Однако природа множества T может быть и другой.Конечное множество T = {t1 , . . . , tn } приводит нас к понятию n-мерной случайнойвеличины ξ = (ξ1 , . . . , ξn ), ξk = ξ(tk ), и тем самым мы возвращаемся в рамки теориивероятностей. Таким образом, естественно полагать, что множество T бесконечно.Если множество T счётно, T = {t1 , . . . , tn , . .

.}, то случайный процесс ξ(t) называется процессом с дискретным временем, или случайной последовательностью. Длямногих физических моделей характерно, что множество T лежит не на числовойпрямой, а в многомерном пространстве, например в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. Определение 1.1 в этом случае остаётся без изменений, а случайный процесс ξ(t) как правило называют случайным полем, или случайной функцией.

Поскольку математические основы теории случайных процессов практическине зависят от того, какова размерность множества T, далее мы будем считать, чтопараметр t – действительное число, более того, выбирать в качестве множества Tсчётное множество {t1 , . . . , tn , . .

.}, или множество R+ = {t > 0}, или конечныйинтервал [0, T ], 0 < T < ∞.Другим направлением обобщений определения 1.1 является изменение размерности пространства значений функции ξ( · , t), заданной на множестве элементарныхисходов Ω: мы можем полагать, что ξ(ω, t) – точка не на числовой прямой, а в многомерном пространстве. Особенно часто рассматриваются случайные процессы созначениями на комплексной плоскости. В этом случаеξ(t) = ξ Re (t) + iξ Im (t) = ρ(t)eiϕ(t) ,(1.1)где ξ Re (t), ξ Im (t), ρ(t), ϕ(t) для каждого фиксированного t ∈ T суть случайныевеличины, заданные на Ω, в их стандартном понимании. Далее, ввиду особой важности комплекснозначных (обычно для краткости говорят просто «комплексных»)случайных процессов в физике, при формулировке определений и теорем мы, еслиэто необходимо, будем специально оговаривать, о каком процессе, действительномили комплексном, идёт речь.Введем некоторые термины.Определение 1.2.

Пусть значение параметра t ∈ T фиксировано. Случайнаявеличина ξt (ω) = ξ(t, ω), ω ∈ Ω, называется сечением случайного процесса в точке t.Пусть элементарный исход ω ∈ Ω фиксирован. Тогда числовая (действительноили комплекснозначная) функция ξω (t), t ∈ T, есть траектория (говорят такжереализация, или выборочная функция) случайного процесса.1Обратим внимание на то, что мы обозначаем фиксированные аргументы t ∈ Tили ω ∈ Ω нижними индексами, чтобы отличать соответственно случайные величины или неслучайные числовые функции от случайного процесса. Мы, как обычно,будем далее опускать зависимость от ω в сечении ξt случайного процесса.Примем ещё одно соглашение об обозначениях.

Мы будем часто обозначать через ξ(t) и сечение, и сам случайный процесс, просто оговаривая (если есть рискнепонимания природы ξ(t) в каждом конкретном случае), о чём идёт речь; для случайных процессов мы также часто будем указывать, что t не фиксировано, а пробегает некое множество, т. е. писать ξ(t), t ∈ T.Пример 1.1. Пусть случайный процесс задан формулами (ниже α – случайнаявеличина)1ξ(t) = tα ,P (α = 1) = P (α = −1) = ,t > 0.2Определить, как выглядят сечения и траектории данного случайного процесса.Решение. Фиксируем t > 0, получаем дискретную случайную величину ξt , равновероятно принимающую два значения:P (ξt = t) = P (ξt = t−1 ) =1.2Различные сечения случайного процесса суть случайные величины, имеющие распределения, сосредоточенные в двух точках, эти точки зависят от того, какое значение t > 0 фиксировано. Заметим, что при t = 1 данная случайная величинапринимает значение 1 с вероятностью единица, т.

е. не является случайной.Теперь фиксируем элементарный исход ω, другими словами, фиксируем значениеслучайной величины α = α(ω). Если элементарный исход ω таков, что α(ω) = 1,то ξω (t) = t, и траектория случайного процесса представляет собой прямую линию.Если же α(ω) = −1, то ξω (t) = 1/t, и траектория случайного процесса – гипербола(оба варианта траектории заданы при t > 0).Отметим также, что данный случайный процесс по сути не является случайным:если в какой-либо момент времени мы находись на траектории, скажем, ξ(t) = t,то мы можем с достоверностью утверждать, что во все последующие и предыдущиемоменты времени мы этой траектории не покинем.

Случайным является тольковыбор траектории в начальный момент времени.1.1. Конечномерные распределения случайного процесса.Определение 1.3. Пусть ξ(t), t ∈ T, – действительный случайный процесс. За(n)дадим функцию Fξ : (R ⊗ T)n 7→ R равенством(n)Fξ (x1 , t1 ; . .

. ; xn , tn ) = P (ξ(t1 ) < x1 , . . . , ξ(tn) < xn ),x1 , . . . , xn ∈ R,t1 , . . . , tn ∈ T,(n)n = 1, 2, . . . .(1.2)Функция Fξ ( · ) называется n-мерной функцией распределения случайного процесса ξ(t).2По сути n-мерная функция распределения случайного процесса ξ(t) – это совместная функция распределения n случайных величин ξt1 , .

. . , ξtn , однако она рассматривается как функция 2n аргументов:• n аргументов x1 , . . . , xn , каждый из которых произвольно меняется на действительной прямой (эти аргументы по своему смыслу полностью идентичны аргументам обычной совместной функции распределения n случайных величин);• n аргументов t1 , . . . , tn , каждый из которых выбирается произвольно в множестве T (эти аргументы для совместной функции распределения n случайных величинявляются параметрами).Значения функции распределения, как и любая другая вероятность, лежат в отрезке [0, 1].На практике чрезвычайно редко используются n-мерные функции распределения при n > 2, т.

е. рассматриваются исключительно одно- и двумерные функциираспределения.Непосредственно из определения (1.2) следует, что n-мерная функция распределения должна удовлетворять следующему условию: если {k1 , . . . , kn } – произвольнаяперестановка множества индексов {1, . . . , n}, тоF (xk1 , tk1 ; . . . ; xkn , tkn ) ≡ F (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn );(1.3)например, F (x1 , t1 ; x2 , t2 ) = F (x2 , t2 ; x1 , t1 ) для всех x1,2 ∈ R, t1,2 ∈ T.Из свойств совместной функции распределения случайных величин вытекаютследующие свойства n-мерной функций распределения случайного процесса. Выберем произвольным образом все аргументы xk , кроме одного, например xn (каквытекает из предыдущего свойства, номер выделенного аргумента несуществен),и зафиксируем их. Также выберем произвольно и зафиксируем t1 , . .

. tn ∈ Tn . Тогдаn-мерная функцию распределения F (n) ( · ) как функция одной переменной xn ∈ Rнепрерывна слева в каждой точке xn = a,F (n) (x1 , t1 ; . . . , xn , tn )x →a−0 = F (n) (x1 , t1 ; . . . , a, tn );(1.4)nне убывает,F (n) (x1 , t1 ; . . . , xn , tn ) 6 F (n) (x1 , t1 ; .

. . , x̃n , tn ),xn 6 x̃n ;удовлетворяет двум предельным свойствам (во втором, разумеется, n > 1)F (n) (x1 , t1 ; . . . , xn−1 , tn−1 ; xn , tn )x →−∞ = 0, n(n)F (x1 , t1 ; . . . , xn−1 , tn−1 ; xn , tn )x →+∞ = F (n−1) (x1 , t1 ; . . . , xn−1 , tn−1 ),n(1.5)(1.6)(1.7)где F (n−1) ( · ) – (n − 1)-мерная функция распределения случайного процесса. Напомним, что свойства (1.4)–(1.7) верны при любых фиксированных x1 , . . .

, xn−1 ∈ Rи t1 , . . . , tn ∈ T. Если же мы «отпустим» все x-переменные и устремим их к +∞, тоt1 , . . . , tn ∈ T.(1.8)F (n) (x1 , t1 ; . . . , xn , tn ) x1 →+∞ = 1,············xn →+∞Оказывается, что свойства (1.4)–(1.8) не только необходимы, но и достаточны длятого, чтобы функции F (n) ( · ) : (R ⊗ T)n 7→ R, n = 1, 2, . . . , были конечномернымифункциями распределения некоторого случайного процесса (теорема Колмогорова).3Для комплексных случайных процессов (1.1), заданных как ξ(t) = ξ Re (t) + iξ Im (t)или как ξ(t) = ρ(t)eiϕ(t) , также можно определить n-мерную функцию распределения.

Это будет функция, заданная как совместная функция распределения 2n случайных величинξ Re (t1 ), . . . , ξ Re (tn ), ξ Im (t1 ), . . . , ξ Im (tn )илиρ(t1 ), . . . ρ(tn ), ϕ(t1 ), . . . , ϕ(tn )в зависимости от формы представления комплексного случайного процесса. Свойства (1.4)–(1.8) сохраняют свою силу за исключением того, что перестановка в (1.3),разумеется, должна производиться согласованно в каждом из n наборов аргументов.Приведем для пояснения этого замечания аналог равенстваF (x1 , t1 ; x2 , t2 ) = F (x2 , t2 ; x1 , t1 )для процесса ξ(t) = ξ Re (t) + iξ Im (t):F (x1 , y1 , t1 ; x2 , y2 , t2 ) = F (x2 , y2 , t2 ; x1 , y1 , t1 ),где аргументы функции распределения сгруппированы по три в соответствии с определениемF (x1 , y1 , t1 ; x2 , y2 , t2 ) = P (ξ Re (t1 ) < x1 , ξ Im(t1 ) < y1 ; ξ Re (t2 ) < x2 , ξ Im (t2 ) < y2 ).Далее мы часто будем использовать сокращённые обозначения.

Во-первых, вместо x1 , . . . , xn мы будем писать просто x и аналогично введем многомерную переменную t (размерность этих переменных обязательно равна размерности функциираспределения). Во-вторых, мы часто будем опускать нижний индекс ξ в обозна(n)чении Fξ ( · ), а также, если мы говорим о функции конкретного фиксированногопорядка, не будем писать и верхний индекс, используя для всех функций распредедения общее обозначение F ( · ):F (x, t) = P (ξ(t) < x),F (x, t) = P (ξ(t1 ) < x1 , ξ(t2 ) < x2 ),x ∈ R,2t ∈ T,x = (x1 , x2 ) ∈ R , t = (t1 , t2 ) ∈ T2 .(1.9)Примем ещё одно соглашение. Пусть x = (x1 , . . . , xn ) и t = (t1 , . .

. , tn ) – многомерные переменные. Неравенство x 6 ξ(t) < x + dx будем понимать как одновременноевыполнение неравенств вида xk 6 ξ(tk ) < x1 + dxk :x 6 ξ(t) < x + dx ⇐⇒ x1 6 ξ(t1 ) < x1 + dx1 , . . . , xn 6 ξ(tn ) < xn + dxn .При этом, очевидно, P (x 6 ξ(t) < x + dx) = F (x + dx, t) − F (x, t) = dx F (x, t), гдеF ( · ) – n-мерная функция распределения случайного процесса, dx F – её дифференциал (приращение) по многомерной переменной x.Определение 1.4.

Пусть ξ(t), t ∈ T, – действительный случайный процесс. Ес(n)ли приращение n-мерной функции распределения Fξ ( · ) по переменной x при любых x ∈ Rn и t ∈ Tn имеет вид(n)(n)(n)Fξ (x + dx, t) − Fξ (x, t) = pξ (x, t) dx,x ∈ Rn ,t ∈ Tn ,(1.10)то говорят, что случайный процесс ξ(t), t ∈ T, имеет n-мерную плотность распре(n)деления pξ ( · ). Напомним, что dx = dx1 .