Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв и др. - Задачи по теории вероятностей и математической статистике

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛГЦИИИ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВАФизический факультетИ / Ш Я С 'EJi С-ТЕК 4 О.-X. ГЧ.рькогоdN Г Уt J L - Y oЮ.П. Пытьен. И.А. Шишмарев, Е.И. Во/ков, Е.Н. ТерентьевЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕИздательствоМосковского университета1985лУДК 519.2Задачи по теории вероятностей и математической статистике/Ю.П.Пытьев, И.А.Шишмарев, Б.И.Волков и др. - М.: йзд-во Моск.ун-та, 1985. 69 с.В пособии приведены традиционные задачи, отражающие основные понятия теории вероятностей и математической статистики, изадачи, важные для приложений и отвечающие специфическим требованиям физического образования. Пособие соответствует книгеЮ.ГТ.Пытьева и И.А.Шишмарева "Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков" (Изд-во Моск.

ун-та, 1983).Для студентов третьего курса физического факультета.Рецензенты:проф. А.А.Арсеньевпроф. О.А.ХрусталевЮрий Петрович ПытьевИлья Андреевич ШиимаревБорис Иванович ВолковЕвгений Николаевич ТерентьевЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕЗаведующий редакцией С.И. ЗеленскийРедактор Ф.И. ГоробецПодписано к печати 2 8 . 1 2 . 8 4 . Формат 6 0 x 9 0 / 1 6 .

Бумага офс, № I .Офсетная печать. Усл.печ.л. 4 , 2 5 . Уч.-изд.л. 3 , 6 2 . Тираж6 0 0 экз. Заказ № {ОУ,<Цена 10 коп. ЗаказноеОрдена "Знак Почета" издательство Московского университета1 0 3 0 0 9 , Москва, ул.Герцена, 5 / 7 .Типография ордена "Знак Почета" язд-ва МГУ.I I 9 8 9 9 , Москва, Ленинские горы077(02)-85 - заказная(С) Издательство Московского университета, 1985 г.ПредисловиеНастоящий задачник отвечает семестровому курсу лекций,читаемому на физическом факультете МГУ и отраженному в книгеЮ.П.Пытьева и И.А.Шишмарева "Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков". Задачник содержит кактрадиционные для курса теории вероятностей задачи, в основном взятые из известного задачника Л.Д.Мешалкина, так и задачи, иллюстрирующие применение методов теории вероятностейп физических исследованиях.ЗАДАЧИ§1.

Пространство элементарных событий. Алгебра событий( T T j ) Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами< 1ю •Событие A n - попадание в круг радиуса 7,к . Что означаютсооытия B = K F R A K ; С= К а к ; D = A S ° A 6 : , Е = A ^ J Y A A , ?,(нак о обозначает симметрическую разность множеств: А°В =- (AUB)\(AftB).1.2. Доказать, что для любых событий А и Е> соотношения А с В , А => 5 , A U b = B ,= ^ равносильны.1.3. Доказать равенства:„,.71Лу\жа) T l _ = A V B iд) А ; В - С А В > ( Д 8 ) ,б) ДиВ = A B iе) и А; = Д A t iв) A U B = ( A B W i A - B ) ;ж) ~Zг) A V b = (АВ)1Г(Д В);&At~К . •1.4. Рабочий изготовил К, деталей.

Пусть событие Асзаключается в том, что i-я деталь имеет деi|.i'KT. Записать событие, заключающееся в том, что:в) ни одна деталь не имеет дефектов;б) хотя бы одна деталь имеет дефект;в) только одна деталь имеет дефект;г) не более ДБух деталей имеют дефекты;д) по крайней мере два изделия не имеют дефектов;е ) точно два изделия дефектны.1.5. Даны р - Р (А),Р(В), г = Р(А1/В). НайтиР (А ° В) , Р(АВ), Р ( А А В ) .At1.6.I.

Известно, что совместное наступление событийи Ajl влечет наступление события А .I) Доказать-, что2) Доказать следующее неравенство для вероятностейтрех событий А* , А г , А &: если A i A ^ A j c A, тоР С А ^ Р С А О + РСАг^ + Р С А О - * .§2. Понятие вероятности2 . 1 . Монета бросается до тех нор, пока 2 раза подрядона не выпадет одной и той же стороной. Каждому возможномуисходу, требующему IX бросаний, припишем вероятность 2Г* •Описать пространство элементарных событий.

Найти вероятностьследующих событий:а) опыт окончится до 6-го бросания;б) потребуется четное число бросаний.2 . 2 . В лифт 8-этажного дома на первом этаже вошли 5человек. Предполагая, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго, найти вероятность того, что все пятеро выйдут на разных этажах.2 . 3 . Колода игральных карт содержит 52 карты: 4 мастипо 13 карт в каждой. Вытаскивание любой карты одинаково вероятно.

Вытащили 6 карт. Описать пространство элементарныхисходов, а также:1) найти вероятность того, что среди этих картбудет король пик,2) найти вероятность того, что среди этих картбудут представители всех мастей,3) найти наименьшее число карт, которое необходимовзять из колоды, чтобы вероятность того, что среди нихвстретятся хотя бы две карты одинакового наименования, былаболее 1/2?ft людей садятся случайным образом за круглыйстол.<)Найти вероятность того, что:а) два фиксированных лица А и В сядут рядом,причем В слева от А ;d) три фиксированных лица А , В и С сядут рядом, причем А справа от В , а С слева;j) найти те же вероятности в случае, когда людисадятся по одну сторону прямоугольного стола.2 .

5 . Из последовательности чисел 1 , 2 . , . . ^ f l наудачувыбираются два числа. Какова вероятность, что одно из них4меньше К , а другое больше К , где 4- произвольное целое число??.б. В лотерее ft/ билетов, из которых H v выигрышные.Как велика вероятность выигрыиа для того, кто имеет К билетов,?2 . 7 . В партии, состоящей из Nизделий, имеется Мбракованных. Наудачу выбирается IX изделий из этой партии(1X6 N ). Чему равна вероятность того, что среди нихокажутся ИТ» бракованных ( СП/ 6 М ) ?2 . 8 . В чулане находится IX пар ботинок.

Из них случайно выбираются 2.Zботинок (Z1 СИ.) . Какова вероятностьтого, что среди выбранных ботинока)отсутствуют парные;б)имеется ровно одна комплектная пара;в)имеются ровно две комплектные пары?2 . 9 . Группа, состоящая из 2 Nмальчиков и 2 N девочек, делится случайным образом на две равные части. Найтивероятность того, что в каждой части число мальчиков и девочек одинаково. Вычислить эту вероятность, используя формулу Стирлинга.2 . 1 0 . Каждая из IX палок разламывается на две части длинную и короткую. Затем 2,11/ полученных обломков объединяются в IX пар, каждая из которых образует новую "палку".Найти вероятность того, что:а)все обломки объединены в первоначальном порядке;фвее длинные части соединены с короткими.2 . 1 1 . Показать, что более вероятно при одновременномбросании четырех костей получить хотя бы одну единицу, чемпри 24 бросаниях двух костей получить хотя бы один раз двеединицы.2 .

1 2 . Получить биноминальное распределение как предельный случай гипергеометрического при !Х> — * • о о , к = р!Х»,р = СОМ/si? 0 < Р < 1 ,- фиксированы:г\г* iv»-k4-Ц^^—гьKейtP <к(1-рУ*- \2 . 1 3 . В статистической механике рассматриваются механические системы, состоящие из Ч неразличимых частиц и \Ъячеек, каждая из частиц попадает в одну из ячеек.

Состояниетакой системы описывается как распределение t< частиц по IXячейкам и определяется набором чиселО-$Ш^61 (C~l,.-.,tl) $5Р7гдечисло частиц в 1-й ячейке.Фотоны, атомные ядра и атомы, содержащие четное число элементарных частиц, подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна, в которой рассматриваются только различные состояния и каждому из них приписывается равная вероятность.Найти ее.2.14. Электроны, протоны, нейтроны подчиняются статистике Ферми - Дирака, в которой предполагается, что:а) в одной ячейке не может находиться более однойчастицы;б)все различные состояния, удовлетворяющие первому условию, имеют равную вероятность. Найти эту вероятность в случае, когда имеется Т- частиц иячеек,^бИ( с м .

задачу 2 . 1 3 ) .2 . 1 5 . Пусть имеетсяча :тиц и И/ ячеек, причемимеет место статистика Бозе - Эйнштейна (см. задачу 2.13).1)Доказать, что вер ытность наличия в фиксированной ячейке К частиц равнап-Л к ~"J U Lг ъkjirrut ъ-±2)Показать, что3)Доказать, что если П/ и %неограниченно возрастают, причем среднее число частиц Ъ/У\> , приходящихсяна одну ячейку, стремится к <оо ,+(правая часть известна под названием геометрического распределения) .4)Доказать, что вероятность того, что ГУ1ячеек останутся пустыми, равна P m , = ( C £ C h - w - t V C ^ n - f2 . 1 6 . Если при распределении <t частиц по Ц/ ячейкам все ьД распределений будут иметь равную вероятность,то говорят о статистике Максвелла - Больцмана (см.

задачи 2 . 1 3 и 2.14 ) , Найти вероятность того, что:ei)первая ячейка содержит КЧ частиц, вторая - К^частиц и т.д., где К., + К г + ••• + К*. - V ,(5)прини одна ячейка не останется пустой;rв) при h/ = t останется пустой только одна ячейка.62 . 1 7 . В квадрат с вершинами ( 0 , 0 ) , (0,1) , ( 1 , 0 ) ,1ее(1,1) наудачу брошена точка М . Пусть СЧ» ?) координаты. Предполагается, что вероятность попадания вобласть, лежащую целиком внутри квадрата, зависит лииь отплощааи этой области и пропорциональна ей.Доказать, что для О ^ О С , ^ € 12) Найти для О < Ot <В)1r)P{m<vx(^)<2};Д)2 . 1 8 . На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата CL бросается наудачу монета диаметром 2 , t < &Найти вероятность того, что:а) монета попадает целиком внутрь одного квадрата;ф монета пересечет не более одной стороны квадрата.2 . 1 9 .