Ахметова Ф.Б., Добрица Б.Т., Сырцов А.В. Неопределенный интеграл (2008) (Ахметова Ф.Б., Добрица Б.Т., Сырцов А.В. - Неопределенный интеграл)

Моеаоаеаий ~оеударе~аенный теанииееаий униаереи~е~ имени Н. Э. Баумана Московский 1осударственный технический уннверснтег имени Н.Э. Баумана Ф.Х. Ахметова, Б.Т. Добрица, А.В. Сырцов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Методические укаланил к практическим ваннтиям т Ю н Ф в Ф Ф ввавфв ею х вве л~ИБМ „ ~.~ев в '- — е н Москва Издательство МГГУ им. Н.Э. Баумайза гооБ УДК 5 ! 7. 3 ! ББК 22.1б! ! А954 Рецензент ЛД. Покровский ПРЕДИСЛОВИЕ зя фс) МГТУ нм. Н.Э. Баумана, 200е Ахметова Ф.Х., Добрица Б.Т., Сырцов А.В. А954 Неопределенный интеграл: Метод.

указания к практическим занятиям. — Мл Изд-во МГТУ иы. Н.Э. Баумана, 2008. — 52 с, Кратко наложен теоретический материал по теме «Неопрслслс~шый интеграла. Рассмотрены основные пошггня, свойства первообрагных н иеопрелслснного интшрала, методы нх вычислений. Материал сопровождается решенном типовых примеров. Для студентов 1-го курса всех спещяльносгей МГТУ им. Н.Э.

Баумана. УДК 517Э1 ББК 22.161.1 Одной нз основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа, его многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике приводят к решению обратной задачи — интегрированию. Таким образом, неопределенное интегрирование есть действие, обратное дифференцированию. Восстановление функции по известной первообразной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления. Дифференцирование функций 1элементариых) осуществляется по раз н навес~да установленным правилам и формулам, Для интегрирования недостаточно просто знать формулы и уметь их применять.

Требуется, так сказать, индивидуальный подход к каждой функции. Нужно обладать определенными навыками. чтобы быстро и уверенно выполнять преобразования подынтегрального выражения для приведения интеграла к известному !табличному) виду. Рассмотренные в данной работе методы интегрирования и подробно разобранные решения типовых примеров должны помочь в приобретении таких навьгков. Опыт приходит в процессе решения примеров. Поэтому настоятельно рекомендуем самостоятельно решить предложенные примеры и варианты контрольной работы. Методические указа!тик снабжены ответами для самоконтроля. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПКРВООБРАЗНОЙ И НКОПРКДЕЛЕННОГО ИНТКГРАЛА.

НЕПОСРКДСТВЕННОЕ ИНТКГРИРОВАНИК Определение первообразной и неопределенного интеграла Занимаясь дифференцированием функций, мы ставили перед собой следуюшую задачу: по данной функции найти ее производную. Интегральное исчисление позволяет решить обратную задачу: найти функцию, зная ее производную. Начнем с определения первообразной функции. Определение, Функция Г(х) называется первообразной для функции ) (х) на интервале (и,6), если Чх е (и,6) функция Г(х) дифференцируема и вьпюлняется равенство Г'(х) = г'(х) или г1Г(х) =- ~(х) г1х. Замечание. Определение первообразной справедливо и для интервалов ( — сс, +со), ( — сс, 6), (а, +со). Пример. Найти первообразную Г(х) для функции 1'(х) = х. .2 Из определения следует, что Г(х) ==- —.

Очевидно, что перво- 2 хз образными будут также любые функции Г(х) =- — ' -1 С, где С— ! / .я постоянна. Действительно, Г'(х) == ~ — + С = х = г(х). Основные свойства первообразной 1. Если Г(х) — первообразная функции ~(х) на (а, 6), то Г(х)+ + С также будет первообразной для функции г" (х) на (а, 6), где С— постоянная. 2. Если Ф(х) — дифференцируемая на (а,6) функция и производная Ф'(х) =- ОЧх б (а, 6), то Ф(х) — постоянная на (а,6). 3. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Определение. Если Г(х) — одна из первообразнык для функции У(х), то множество всех первообразных (Г(х) + С1 для У(х) называется неопределенньпи интегралом н обозначается Г ~(х) йх = Г(х) + С. Здесь г'(х) — подынтегральная функция; г(х) дх — подынтегральное выражение; х — переменная интегрирования; ) — знак неопределенного интеграла. Теорема. Всякая непрерывная на интервале (а, 6) функция Г" (х) имеет на этом интервале первообразную, а следовательно, и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла 1. 1?роизводная от неопределенного интеграла равна подынтег- ральной функции: 1 Г(х) Йх~ = (Г(т)+ С)' == )'(х). 2.

Дифферегщиал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: й 1'(х) 4х = )'(х)бх. 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме зтой фуниши и произвольной постоянной: ЛГ(х) =- Г(х) + С. 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: | й~(х) йт == й ~(х) дх, где й — произвольная постоянная. 1.5) 3* 5" 71х: 1.7) ~.в) | '~~; десятую степень, достаточно подвести под знак дифференциала выражение (р(х) == 5х + 7, воспользовавшись тем, что (1 (5х + + 7) == 5 дх: 2.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ПОДВЕДЕНИЯ ПОД ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА Метод основан на свойстве инвариантности формул и(пегрирования (свойство 6). Формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо переменной любой дифференцируемой функции от этой переменной, т.

е. если Г(х) 7(х — г'(х) + с, то и Г(и) 6х == г" (и) + С, где и = (р(х) — любая дифференцнруемая функция от х. Это позволяет значительно расширить таблицу основных интегралов. Табличными можно считать, например, следующие интегралы: с ~ ~ ~ ~ 4 ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~х ~ ~ ! ~ ~ г в е Я' 7( ($8 х) = е Я .+ С; | сов(бх4+ 8)6(5х~+ 8) = вш(бх~ -(-8) + С; Н (зх — б) 1 (5х — 6) з 5х — б Пример2. Интеграл яшЗхдх не является табличным, тогда как в(пзхйЗт, — табличный. Так как 4(зх) =- 34х, имеем | вшЗхдх = яшЗх —.3 ох = —, | я(пЗЫЗх =- — —,совзх+С. з 3( ' 3 Чтобы преобразовать исходньй интеграл к табличному, потребовалось подвести под знак дифференциала новую функцию, отсюда и название метода.

ПримерЗ. Чтобы привести интеграл (бх+ 7) йх к табличному, вовсе не требуется возводить подынтегральную функцию в 1 (5х+ 7)п (5х+ 7)' 5 11 55 Г 4х 1 Гз(бх+3) 1 Пример 4. 7( — ' —:=: —, ~ —.- — 1и (бх 6 З~ + С. ,/ бт+3 б/ ба+3 б е'в* Пример5. /,, дх = е'Я*71(тйх) = е~вх+ С. сова х Г вьлихйх Г 4(еовх) 1 Прнмерб, | ' ' = — Г(, =- — +С. / сова х ( сова х 2 сова х Пример7.

х соя(бх + 4)дх =- — у сов(5х~ + 4)Н(хз + 1 Г 2 / ).= — l (5: ~+~)71(5 ~+ ) = — вш(5' ~ ) Здесь мы воспользовались тем, что д (5хв + 4) = 10х Йх. Методом подведения под знак дифференциала найти следующие интегралы: 2.1) у —.: Г <Ь ! 5х+ 1' 2.3) я(п (Зт — 4)с(х; 2 5) 27х+44 2.7) х ез" вдх; 2.ч 2.11) 2.13) 22) х 2 2.6) lзхз, 4 ' 2.8) / совз(1 — 5ха)' 2 2 ,/ Л вЂ” ха 2.14) хаев* '6х; еое — 41х 2.40) 2 2 3 — яш 2 2.42) Г 4) 2-48 2,44) 1я — е1х; 2.46),~™ 2.39) ,Г ~азха-"+8' 2.16) 2. 18) 44Х 2.2О) 1— ,) 4хз+ 5 2.22) 2.44) 2.17) 2.19) 2.21) ь)9хз + 4 2,41) (хя — 3)~ 2 42) Г ." 44 ' 4 24, 2.45) еое х — 18 еш бх / Ф ' г42ГЬ4* 2.47) 4х.

10 При решении задач 2.16-2.22 следует воспозьзоваться формулами 12 — 16 нз таб)пщы интегралов и, если необходимо, методом подведения под знак дифференциала. Вычислить интегралы: Г . 3 41х г 2.23) / е1п— 2. 24) а з х х еш — ~Гс18— 2 2 2.25) 2.26) / е" +е е 9 (агсе)2) " )з 9 хг 3 2.27); 2.28), -дх.

41х ~' сое (18 х) (агеяязх)(1+ 9хз) / 4)ое~ х Вычислить следующие интегралы, обратив внимание иа то, ч и) один и тот же множитель )1х используется д)зя подведения под знак дифференциала различных функций. Выбор подводнмой под знак дифференциала функции определяется тем табличным интегралом, которым удобно пользоваться в том или ином случае: / ха 41х 2 30 х'дх 23„Г ™х 2. 32) ,/ уйхх4+5' ,/ ~49хз+ 5' еа*)1х / е" 41х 41х 4)Х 2.35) 2.36) 1 4: 44 — 4Р* Г1аех+ lй 2.37) ъ~е*+ 1е.*дх; 2.38) / ' — — - е1х; 3.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ (ПОДСТАНОВКИ) Замена переменной в неопределенном интеграле осуществляется в основном с помощью подстановок двух видов: а) полагают и =- )р(х), где и — новая переменная. Подстановка удобна в том случае, если подынтегральное выражение имеет вид Г Г()р(х)) ф'(х)41х. Тогда, вводя новую переменную и, получают Г Х(ер(х)) ф (х)пх = Ки) г1и; б) х = <р(1), где )р(1) — непрерывная, монотонная и дифференцируемая функция новой переменной 1. Для вычисления интеграла пользуются равенством Заметим, что метод интегрирования с помощью подведения под знак дифференциала является частным случаем метода замены переменных, который в болыпинстве случаев приводит к меньшим затратам. Г йх. Пример 8. Вычислить интеграл .У == Г /*+ '' 3.5)з » «/х(1.+ х) .

'4сх 3.1О) 1+,/х+1 3.5)* сова х«/ьш хс»х 3.9) х' е с»х; 1 1 2 2 1 1 2 2 Или 1 1 е + — —— 2 2 1 ! 2 1 1 ех+ — +— 2 2 3.2)' /» 4| — 'с»х; 1 4 2+х 2--2 3.4) | 3. 1) х «/2 — 5хс»х; 3.3)* х ~ ~| > г ~ ~ ~ ~ 7 ~ «'езх + 1 х е1пхс1х -- — хс»(соах)-- 12 13 Полагаем» ==- «/х; х = »2; с»х = 2» с»». Тогда ,У = 2 | =-2 | =-21п)»+ 1~+С = 21п)«/к+ 1~+С.

»»» Г»(»+1) .| + / »+1 (» = «/3-~- 2х, »2 = — 3+ 2х Пример 9. х 4/3 + 2хс»х -.= »2 3 =4-,'4444Ы7('"; ')+с= „-'( -ц44442 4: 4с. (» = е' + 1„ех:=- » — 1 Пример 16. / —,— =- 4» ,» е' +1 ( х=1п(» — 1), с»х-4 — ) » — 1 1 2 ( )» 2 (»--)-- 2 4 2 + С = 1п (» — 1~ — 1п ф + С = х — 1п ~ех + 1 ~ + С. 1 2 4»Х |' Е*С»Х (' С»(Ех) /' С»(Е + ех.+1 „» ех(ех+1) ! е2х+ех ! 1 1 (е + -)2 —— 2 4 е' +С == 1п ~ ~+С ='х — 1п)с*+ 1)+С. Метод подстановки широко применяется для интегрирования выражений, содержащих иррациональности, тригонометрические, гиперболические и другие функции.