А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF)

А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ под Ркддкцикй д.п свкшниковд Рекомецаовано Минисгерством общего и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебного пособия дая стулензов высших учебных заведений, обучаопщхся по иаправленивм «Фмзикав и «Приклааная математггка н информатика» Издательство Московского университета !998 УДК 530.145 ББК 22.311 Б74 Рецензенты: кафедра высшей математики №1 Московского института злектронной техники, профессор Сдй Секерж-Зеньковнч Федеральная целевая программа книгоиздания России Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Б 74 Задачи по математической физике: Учеб.

пособие.— Мг Изд-во МГУ, 1998.— 350 с. 1БВХ 211-03373 † учебном пособии рассматриваются основные методы решения краевых и начально-краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Рассматриваются метод разделения переменных, метод интегрального преобразования Фурье, метод отражения, метод распространяю- Шихся воли и др. Приводятся минимальные теоретические свсцения, используемые при решении задач зтимн методами. Даются подробные примеры решения конкретных задач и приводятся задачи с ответами для самостоятельного решения. Для студентов физических специальностей университетов. УДК 530,145 ББК 22.311 1БВХ 6-211-03373-6 © Боголюбов А.Н., Кравцов В.В., 1998 г. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . 7 Глава 1.

Метод разделения переменных. Разложение по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля ....... 8 Однородные граничные условия Глава П. Задача Штурма-Лиувилля 23 Собственные функции круга 33 Собственные функции цилиндра 44 46 47 1 12 48 1 13. Собственные функции шара 48 52 уравнения 55 1 16. 62 12 $3 11 12 53 14 17 18 т 10. 1 11.

1 14 1 15 Неоднородные граничные условия ................ 14 Разложение по собственным функциям для элли- птического уравнения ...................... 15 Метод интегрального преобразования Фурье ..... 17 Одномерный случай: отрезок...................... 24 Одномерный случай: периодические граничные ус- ловия 29 Собственные функции прямоугольника ........... 30 Собственные функции прямоугольного параллеле- пипеда 32 Собственные функции кругового сектора ......... 37 Собственные функции кругового кольца .......... 39 Собственные функции кругового кольцевого секто- ра .

.............................................. 43 Собственные функции цилиндрического сектора Собственные функции кругового тора прямоуголь- ного сечения Собственные функции сектора кругового тора пря- моугольного сечения Собственные функции шарового слоя ... Задачи на собственные функции для Шредингера Задачи для самостоятельного решения Глава 1П. Краевые задачи для уравнения Лапласа............ 69 1 1.

Частные решения уравнения Лапласа в полярной системе координат 71 1 2. Краевые задачи для уравнения Лапласа внутри круга 73 74 Т5 83 84 90 95 т 11. 1 12 $13 1 14. 116 Глава 1Ч. Функция Грина оператора Лапласа 123 Глава т'. Задачи для уравнения теплопроводностн ............. 140 $3 14 т5 16 1 Т. $8. 1 9. $ 10 31 32 $3 14 Краевые задачи для уравнения Лапласа вне круга Краевые задачи для уравнения Лапласа в круго- вом кольце . Краевые задачи для уравнения Лапласа в круго- вом секторе Краевые задачи для уравнения Лапласа в кольце- вом секторе Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямо- угольнике . Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямо- угольном параллелепипеде .............,...,..., Краевые задачи для уравненяя Лапласа в круго- вом цялиндре .

Частные решения уравнения Лапласа в сфериче- ской системе координат ........................... 106 Краевые задачи для уравнения Лапласа в шаре .. 107 Краевые задачи для уравнения Лапласа вне шара 108 Краевые задачи для уравнения Лапласа в шаро- вом слое 109 Задачи для самостоятельного решения Задачи для уравнения теплопроводностн в ограни- ченной области с однородными граничными усло- виями ...........................................

141 Задачи для уравнения теплопроводности в огра- ниченной области с неоднородными граничными условиями 157 Задачи для уравнения теплопроводностн на беско- нечной прямой ................................. 169 Задачи для уравнения теплопроводности на полу- бесконечной примой . .. ....................... 177 1. Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с однородными граничными условиями .........................

2. Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с неоднородными граничными условиями ...................... 186 3. Примеры решения задач .................... 196 з 5. Задачи для уравнения теплопроводности в пространстве . 201 з 6. Задачи для самостоятельного решения 211 Глава т1. Задачи для уравнения колебаний .............,...... з 1.

Задачи для уравнения колебаний в ограниченной области с однородными граничными условиями .. 218 з 2. Задачи для уравнения колебаний в ограниченной области с неоднородными граничными условиями 237 з 3. Задачи для уравнения колебаний на бесконечной прямой 244 т 4. Задачи для уравнения колебаний на полупрямой 255 1. Начально-краевые задачи для уравнения колебаний на полупрямой с однородными граничными условиями ......................... 255 2. Начально-краевые задачи для уравнения колебаний на полупрямой с неоднородными граничными условиями ......................... 266 1 5. Задачи для уравнения колебаний на плоскости и в пространстве . 274 ~ 6.

Задачи для самостоятельного решения 283 Глава УП. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца ....... 288 5 1. Частные решения уравнения Гельмгольца в полярной системе координат .....................,...... 288 з 2. Краевые задачи для уравнения Ьи+1ти = 0 внутри круга 291 1 3. Краевые задачи для уравнения Ьи + к~и = 0 вне круга 293 1 4. Краевые задачи для уравнения Ьи+кзи = 0 в круговом кольце 295 Краевые задачи для уравнения Ьн — х~и = 0 вну- три круга . 297 Краевые задачи для уравнения Ьи — хзи = 0 вне круга 298 Краевые задачи для уравнения съи — хзи = 0 в кру- говом кольце . 299 Частные решения уравнения Гельмгольца в сфери- ческой системе координат .........................

300 Краевые задачи для уравнения Ьи + к~и = 0 вну- три шара . 303 Краевые задачи для уравнения Ьи + 1с~и = 0 вне шара . 304 Краевые задачи для уравнения Ьи+ кзи = 0 в ша- ровом слое . 305 Краевые задачи для уравнения Ьи — хти = 0 вну- три шара 308 Краевые задачи для уравнения Ьи — я~и = 0 вне шара . 308 Краевые задачи для уравнения Ьи — эс~и = О в ша- ровом слое . 309 Примеры решения краевых задач для уравнения Гельмгольца 310 Я 10 $13 3 14 т 15 т 16.

Задачи для самостоятельного решения 317 Приложение 320 Суммирование некоторых рядов ............... 329 Некоторые интегралы, содержащие цилиндричес- кие функции..................... 333 $3 ~4 1 5. Справочный материал 338 Литература 349 ~ 1. Формула сложения для сферических функций ... 320 ~ 2. Теоремы сложения для цилиндрических функций 323 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является естественным дополнением пособия А,Г. Свешникова, А.Н. Боголюбова, В.В. Кравцова "Лекции по математической физике". Ее основная цель — помочь студентам приобрести необходимые практические навыки исследования математических моделей физических явлений, являющихся краевыми или начально-краевыми задачами для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. С этой целью каждая глава пособия построена следующим образом.

В начале каждого параграфа главы приводятся необходимые минимальные сведения теоретического характера, используемые для решения данного типа задач. Затем эти методы демонстрируются в работе, для чего даются примеры решения конкретных задач. В конце главы приводятся задачи с ответами для самостоятельного решения. Содержание пособия полностью соответствует курсу «Методы математической физики», читаемому на физическом факультете МГУ. Пособие написано на основе более чем двадцатилетнего опыта преподавания на физическом факультете Московского университета. Оно рассчитано в первую очередь на студентов физических специальностей университетов, но будет полезно и студентам инженерных специальностей и лицам, занимающимся математической физикой и прикладной математикой. Авторы выражают свою глубокую благодарность заведующему кафедрой ВМ-1 Московского государственного института электронной техники (ТУ) профессору А.С.

Поспелову, профессорам А.В. Ефимову, А.С. Ильинскому и С.Я. Секерж-Зеньковичу, взявшим на себя труд ознакомиться с рукописью и сделавшим ряд ценных замечаний. Глава 1 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ Метод разделения переменных, или метод Фурье, является одним из самых старых и распространенных методов аналитического решения краевых задач математической физики. Он состоит в построении решения в виде ряда по собственным функциям соответствующей задачи Ц1турма-Лиувилля.

В настоящем пособии метод разделения переменных рассматривается на примере решения краевых задач для уравнения рР1(и) = Ьи+ У(М,1), где йи = цйк(й(М) дгад и) — у(М)и, д'и Ре(и) = ~~~ а;(С) —,, о=а р(М), 1(М), д(М) — функции переменной М в области 11, ограниченной замкнутой поверхностью о', а;(1) — функции переменной 1 б [О, Т]. Уравнение рассматривается в области й = В э (О, Т). Заметим, что при п1 = 2 это уравнение гиперболического типа, при тп = 1 — параболического типа, при гп = Π— эллиптического типа. В случае п1 = О область О отождествляется с областью Р.

В т 1 и 2 настоящей главы рассматривается начально-краевая (смешанная) задача для уравнений гиперболического или параболического типов, а в З 3 — краевая задача для уравнения эллиптического типа. т 4 посвящен использованию, интегрального преобразования Фурье для решения начальных и начально-краевых задач в неограниченных областях. 5 м О11ИОРОДные ГРАничные УалОВНЯ Рассмотрим начально-краевую задачу с однородными граничными условиями рР,(и] = Ли+1(М,1) в П, ди а — + Ди = О, )а)+ ф ф О, дп д" и — = 1оь(М), 1 = О, 1,..., т — 1. д1" с=о (1.1) (1.2) (1.3) Пусть (Л„)~ и (и„(М))~ — полные системы собственных значений и ортонормированных собственных функций соответствующей задачи Штурма — Лиувилля; Ьи„+ Л„ри„= О в 11, ди„ а — + Р'и„= О, дп и„ф О.