Е.В. Радкевич - Программа экзамена по УрЧП

Программа экзамена по УрЧПЛектор — Е. В. РадкевичV–VI семестры, 2004–2005 г.1. Программа экзамена• Гиперболические системы. Линейный анализ1. Задача Коши.2. Теорема Ковалевской.3. Симметризуемые системы. Принцип Годунова.4. Решение задачи Коши для симметричной системы.5. Обобщённые функции. Основные свойства.6. Фундаментальные решения.7. Теоремы вложения С. Л.

Соболева.8. Обобщённое решение задачи Коши. Априорная оценка.9. Классическое решение задачи Коши для волнового уравнения.10. Формула Кирхгофа.11. Метод спуска. Решение задачи Коши в случае n = 2. Формула Пуассона.12. Качественное исследование формул Кирхгофа, Пуассона, Даламбера. Распространение волн в пространствах разной размерности.13. Неоднородное уравнение. Принцип Дюамеля.• Некоторые свойства гармонических функций1.

Субэллиптические и суперэллиптические функции.2. Лемма Олейник о нормальной производной.3. Принцип максимума.4. Параболический потенциал.5. Задача Неймана.6. Вариационные принципы.• Уравнение диффузии (параболическое уравнение)1. Сравнение диффузионных и волновых процессов.2. Суперпараболические и субпараболические функции типа потенциала. Принцип максимума.3. Единственность решения задачи Коши (принцип Гольмгрена).

Стабилизация задачи Коши при t → ∞.4. Параболическая s, β-ёмкость.5. Поведение решения в окрестности граничной точки.6. Классическое поведение первой краевой задачи (уравнение типа Кордеса).7. Оценка производных решения, теорема компактности семейства решений.8. Обобщённое решение первой краевой задачи в произвольно ограниченно области Rn+1 .9. Поведение обобщённого решения в граничных точках.• Гиперболичность.

Нелинейный анализ1. Уравнения в частных производных первого порядка: аналитическая и геометрическая теория. Элементы теории катастроф.2. Волновые фронты• Метод введения параметра и теорема о трёх шарах1. Неравенство Харнака.2. Классы единственности. Теорема Лиувилля. Теорема Фрагмена – Линделёфа.• Элементы теории потенциалов1. Скачки потенциалов (теоремы Сохоцкого).2. Вычисление потенциалов.3. Ёмкость.

Основные свойства. Теоремы об устранимой особенности.12. Ключевые слова из лекцийДанный список был составлен DMVN Corporation на основе лекций, прочитанных в 2004–2005 г. Он непретендует на полноту и абсолютную точность, а формулировки не всегда страдают понятностью. Однако понему можно понять, что именно было прочитано в курсе.• Теорема Коши для ОДУ (существование, единственность, корректность).• Мажоранты и их свойства• Теорема Коши – Ковалевской. Условие Коши – Ковалевской. Доказательство для линейных уравнений с отделяющейся производной по времени.• Понятие характеристики. Обобщённая задача коши.• Общий вид системы Ковалевской и приведение её к нормальному виду.

Параболический, гиперболическийи эллиптический случай. Пример: уравнение Трикоми.• Конечность скорости распространения.• Теорема единственности.• Анализ задачи коши. Энтропия и поток. Симметризуемые системы. принцип максимума Годунова. Примеры.• Примеры, показывающие, что на бесконечных временах всё плохо.• Корректность по Адамару.• Обобщённая производная по Шварцу. Обобщённые функции.• Преобразование Фурье обобщённых функций. Пример: дельта-функция Дирака.• Пространства Соболева.

Два определения.• Носители обобщённых функций. Куча примеров уравнений в обобщённых функциях.• Фундаментальные решения для оператора Лапласа и для ОДУ.• Обобщённые решения линейных уравнений (задача Коши).• Теоремы вложения Соболева. Плотное вложение S ֒→ S ′ . Теорема о следе. Теорема о компактности.• Априорная оценка для нормы решения.• Принцип Дюамеля.• Теорема единственности для обобщённого решения.• Формула Кирхгофа: пример и доказательство для n = 3.• Метод спуска.• Гармонические функции. Формулы Грина.• Напоминание про фундаментальное решение для оператора Лапласа.• Потенциал Ньютона.• Теоремы о среднем. Принцип максимума.• Априорная оценка для производных.

Гипоэллиптичность оператора Лапласа.• Принцип Бернштейна. Поточечные оценки.• Поверхности Ляпунова. Потенциал двойного слоя. Теорема о скачке.• Лемма об аналитическом продолжении.• Ещё раз о максимумах и минимумах.• Обобщенные решения для эллиптических задач Неймана и Дирихле.• Лемма Фридрихса. Барьерные функции. Контрпример к теореме единственности.• Оценка Фридрихса.• Неравенство Пуанкаре. Вариационный принцип.• Гладкость гармонических функций, теоремы о среднем, теоремы об устранимых особенностях.• Лемма Олейник.• Параболические уравнения: sub-решения и sup-решения.

Усиленный принцип максимума.• Задача Коши для параболического уравнения. Класс Тихонова.• Стабилизация (релаксация) в простейшем случае.Литература[1][2][3][4][5]О. А. Олейник. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: БИНОМ, 2005.М. А. Шубин. Уравнения математической физики. — М.: МЦНМО, 2005.И. Г.

Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961.В. С. Владимиров. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1988.Е. М. Ландис. Уравнения математической физики. — М.: ?Наука, 19??.23. Задачи с экзаменов3.1. Основной экзамен 3 июня 2005 г.Правила игры: время — 2 астрономических часа, разделённых пополам. Первоначальные критерии:Баллы667–910–1213–14Оценка2345Мы гарантируем, что эти условия переписаны без ошибок с листочков, на которых их раздавали на экзамене.Мы не гарантируем, что люди, делавшие эти листочки, не совершили ни одной ошибки. Более того, достоверноизвестно, что в процессе экзамена обнаружилось, что ошибки там есть.3.1.1.

Вариант 1Задача 1.а) [1] Дать определение функции Грина для оператора Лапласа в области Ω ⊂ Rn .б) [2] Даны две области в Rn : Ω1 ⊂ Ω2 . Пусть Gi (x, x0 ) — функция Грина для области Ωi , а x0 ∈ Ω1 . Доказать,что G2 (x, x0 ) < G1 (x, x0 ) при всех x ∈ Ω1 r {x0 }.Задача 2. Дана смешанная задачаutt − 9uxx = sin 2x sin ωt,=uux=0= 0,= ϕ(x),ux=π= ψ(x).utt=0t=0а) [1] Когда существует периодическое решение этой задачи?б) [1] Когда все решения этой задачи периодичны?Задача 3.а) [1] Сформулировать теорему о стабилизации решений задачи Коши для уравнения теплопроводностиб) [2] Дана начально-краевая задача для уравнения теплопроводности в полуполосе:= 3,ux=0ut − uxx = 4,u= 3, ux=1= ϕ(x).t=0Найти lim u(t, x).t→+∞Задача 4.[2] Пусть B := {|x| < R}. Пусть существует классическое решение u ∈ C2 (B) ∩ C1 (B) задачи Неймана∆u = −1,= ψ.urr=RДоказать, что функция ψ не может быть положительной во всех точках границы ∂B.Задача 5.

Пусть R := {|x| 6 1, |t| < 2}. Про решение уравненияutt − 4uxx = 0,(x, t) ∈ R2известно, чтоа) [1] оно равно нулю в прямоугольнике R. Где ещё решение определено однозначно?б) [1] оно равно нулю вне прямоугольника R. Где оно обязательно равно нулю?Задача 6.◦а) [1] Принадлежит функция u ≡ 1 пространству H 1 (−1, 1)? Ответ обосновать.б) [1] Привести пример непрерывной функции, не принадлежащей пространству H 1 (−1, 1)?33.1.2. Вариант 2Задача 1.[2] Пусть Q — ограниченная область с гладкой границей. Существует ли строго положительное решениезадачи Неймана∂u∆u − u = 1,= 0?∂ν∂QЗадача 2. Дана смешанная задачаutt − 4uxx = 0,= 0, u= ϕ(x),=uux=0x=1= ψ(x).utt=0t=0а) [1] Найти период периодического решения.б) [1] Может ли период при некоторых ϕ и ψ быть меньше12005 ?Задача 3.

Дано уравнениеuxx − 6uxy + 5uyy = 2.а) [1] Найти общее решение этого уравнения.б) [1] Найти решение задачи Коши для этого уравнения с начальными условиями= 2x2 + 5x,u= 2x + 1.uyy=0y=0Задача 4.[2] Пусть Q = 1 < x2 + y 2 < 2 . Пусть u ∈ C2 (Q) — гармоническая функция, удовлетворяющая граничными условиям∂uu= x + y,+ (1 − y)u= 0.∂ν22x2 + y 2 = 2x +y =1Найти max |u|.QЗадача 5. Дана задача Кошиutt = ∆u,x ∈ R2 ,t > 0,= ϕ(x),ut=0= ψ(x).utt=0Пусть ϕ = ψ = 0 вне кольца {1 6 |x| 6 2}.а) [1] Где решение заведомо равно нулю при t = 14 независимо от выбора ϕ и ψ, удовлетворяющих условиямзадачи?б) [1] При каких t существует окрестность точки x = 0, в которой u = 0 независимо от выбора функций ϕи ψ, удовлетворяющих условиям задачи?Задача 6.а) [1] Сформулировать теорему о стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения.б) [1] Доказать, что если u — ограниченное решение задачи Кошиut = uxx ,= ϕ(x),uϕ(x) ∈ C(R) ∩ B(R),t=0причём1limx→+∞ xZxϕ(t) dt = A,−xA2то u(0, t) → при t → +∞.в) [1] Что можно сказать о пределе lim u(x, t) при x 6= 0?t→+∞43.2.

Пересдача 25 июня 2005 г.3.2.1. Вариант 2Задача 1. Решить краевую задачу:utt = uxx ,x > 0,t > 0,= t,ux = 0, t > 0= 0,ut = 0, x > 0= cos x.utt = 0, x > 0Задача 2. Решить краевую задачу:ut = uxx + 1,x ∈ (0, 1),t > 0,u(0, t) = 0,u(1, t) = 1,u(x, 0) = x2 при x ∈ [0, 1].Задача 3. Решите уравнение ∆u = 1 в области Ω с граничными условиями, показанными на рисунке:B∂u∂ν=0u=0ΩOЗадача 4.u = r2 − 2r A◦а) Определение H 1 (B1 ), неравенство Фридрихса в B1 . Эквивалентные нормы (формулировки).

Здесь и далееB1 — единичный шар в Rn .б) При каких α ∈ R функция |x|α cos |x|1 2 лежит в W21 (B1 )?Задача 5. Функция u ∈ C∞ [0, π) × (0, ∞) является решением уравнения ut = uxx − sin x в области Q =(0, π) × (0, ∞) при условиях u(0, t) = 0 и u(π, t) = 1. Чему равен предел lim u(x, t), если он существует?t→∞Задача 6.

Существует ли решение задачи Неймана ∆u = 1 в области Ω с граничным условиемОтвет обосновать.∂u∂ν= 1?Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.5.