Справочник - Специальные функции

СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ1. Введение. Оператор Лапласа в криволинейных координатахСпециальные функции возникают в задачах математической физики, содержащих операторЛапласа∂2∂2∆≡+...+,x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,∂x21∂x2nпри записи уравнений в криволинейных координатах.1.1. Оператор Лапласа в полярных координатахПолярные координаты (r, ϕ) задаются на плоскости R2 соотношениями:x = r cos ϕ,y = r sin ϕ.Оператор Лапласа в полярных координатах (r, ϕ) принимает вид∂u1 ∂2u1 ∂r+ 2.∆u =r ∂r∂rr ∂ϕ2(1.1)1.2.

Оператор Лапласа в цилиндрических координатахЦилиндрические координаты (r, ϕ, z) задаются в пространстве R3 соотношениями: x = r cos ϕ,y = r sin ϕ,z = z.Оператор Лапласа принимает вид1 ∂∆u =r ∂r∂ur∂r+1 ∂2u ∂2u+.r2 ∂ϕ2 ∂z 2(1.2)1.3. Оператор Лапласа в сферических координатахCферические координаты (r, θ, ϕ) задаются в R3 соотношениями: x = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θ.Оператор Лапласа принимает вид1 ∂1∂∂u1∂2u2 ∂u∆u(r, θ, ϕ) = 2r+ 2sin θ+ 2 2r ∂r∂rr sin θ ∂θ∂θ θ r sin θ ∂ϕ2(1.3)1.4.

Оператор Лапласа в сферически симметричном случаеnПустьp в пространстве R функция u = u(r) зависит только от сферического радиусаr = x21 + . . . + x2n . Тогдаn−1 01 dn−1 du(r)r= u00 (r) +u (r),n > 2.(1.4)∆u = n−1rdrdrr-1-СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ2. Факториалы и Гамма-функция ЭйлераОпр. 2.1.

Гамма-функцией Эйлера называетсяZ+∞Γ(x) ≡tx−1 e−t dt,x > 0.(2.1)0Одним из замечательных свойств Гамма-функции является равенствопри n ∈ Z+ .Γ(n + 1) = n!(2.2)Поэтому, чтобы упростить дальнейшие выкладки и формулы, обобщим школьное определениефакториалаn! = 1 · 2 · . . . · n,n∈Nна множество действительных чисел ν > −1.Опр. 2.2.

Факториалом действительного числа ν > −1 называется числоZ+∞ν! ≡tν e−t dt,ν ∈ R,ν > −1.(2.3)0Теорема 2.1 (Простейшие свойства факториала).1)ν! > 0ν > −1;2)0! = 1;3)ν! = 1 · 2 · . . . · ν,ν ∈ N;π,sin πν4)(ν − 1)! (−ν)! =5)(ν + 1)ν! = (ν + 1)!0 < ν < 1;Последнее соотношение (доказываемое однократным интегрированием по частям выражениядля (ν + 1)!) является особенно важным. Перепишем его в виде1ν!=ν+1(ν+1)!(2.4)C помощью последнего равенства функцию ν!1 можно определить для −2 < ν 6 −1, затем для−3 < ν 6 −2, и т. д. В результате получим функцию ν!1 , определенную при всех ν ∈ R.Пользуясь так определенной функцией ν!, легко получить из равенства 4) теоремы 2.11= sinππν ,(ν − 1)! (−ν)!ν ∈ R.(2.5)Заметим, в частности, что как из (2.4), так и из (2.5) получается тождество1 = 0,(−n)!n ∈ N.-2-(2.6)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ3.

Цилиндрические функции3.1. Уравнение Бесселя. Определение цилиндрических функцийОпр. 3.1. Уравнениеx2 w00 (x) + x w0 (x) + x2 − ν 2 w(x) = 0(3.1)будем называть стандартным уравнением Бесселя индекса ν. Решения уравнения (3.1)называются цилиндрическими функциями.Здесь ν – фиксированный индекс (параметр), зависящий от конкретной задачи.Обычно рассматривается один из следующих случаев:• ν ∈ Z+ = {0, 1, 2, 3, .

. .}, в этом случае ν чаще обозначают через n;• ν ∈ R,ν > 0;• ν ∈ R;• ν ∈ C (такой общий случай рассматривать не будем).Опр. 3.2. Уравнениеr2 W00 (r) + r W0 (r) + λ2 r2 − ν 2 W(r) = 0,r > 0,(3.2)будем называть уравнением Бесселя индекса ν со спектральным параметром λ.Лемма 3.1.При λ 6= 0 решения уравнений (3.1) и (3.2) связаны соотношением:W(r) = w(λr).(3.3)Замечание 3.1. При λ = 0 уравнение (3.2) превращается в уравнение Эйлераr2 W00 (r) + rW0 (r) − ν 2 W(r) = 0.Общее решение уравнения (3.2) при λ = 0 выражается формулами:• ν=0=⇒W(r) = c1 + c2 ln r;• ν 6= 0=⇒W(r) = c1 rν + c2 r−ν .Поскольку в основном случае λ 6= 0, в силу леммы 3.1, уравнение (3.2) сводится к уравнению (3.1), то изучают, в основном, уравнение (3.1).Общее решение (3.1) выражается через специальные функции, чаще всего неэлементарные.-3-СПРАВОЧНИКТеорема 3.1.лами—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИОбщее решение стандартного уравнения Бесселя (3.1) выражается форму-wν (x) = C1 Jν (x) + C2 Nν (x) = C3 Hν(1) (x) + C4 Hν(2) (x),wν (x) = C5 Jν (x) + C6 J−ν (x),(1)ν ∈ R.ν 6∈ Z.(3.4)(3.5)(2)Здесь Jν (x) – функция Бесселя, Nν – функция Неймана, Hν (x), Hν (x) – функции Ханкеля(см.

определения 3.3 и 3.4.)Следствие 3.1. Общее решение уравнения Бесселя (3.2) со спектральным параметромλ 6= 0 выражается формуламиWν (r) = c1 Jν (λr) + c2 Nν (λr) = c3 Hν(1) (λr) + c4 Hν(2) (λr),Wν (r) = c5 Jν (λr) + c6 J−ν (λr),ν ∈ R.ν 6∈ Z.Опр. 3.3. Для любого ν ∈ R функцияJν (x) ≡∞Xk=0∞ x 2k+ν x ν X x 2k(−1)k(−1)k··=k! (k + ν)!22k! (k + ν)!2k=0(3.6)называется функцией Бесселя индекса ν.Подчеркнем, что формула (3.6) определяет Jν (x) при любом ν ∈ R, причем Jν (x) и J−ν (x)удовлетворяют одному и тому же уравнению (3.1).

Если ν 6∈ Z, то Jν (x) и J−ν (x) – два линейно независимых решения (3.1) (см. (3.5)).Если ν = n ∈ Z+ , тоJ−n (x) = (−1)n Jn (x).(3.7)Поэтому формула (3.5) не годится при ν = n ∈ Z+ и вводятся другие цилиндрические функции: Неймана и Ханкеля (см. (3.4)).Опр. 3.4. Функция Неймана определяется так:Nν (x) ≡1[Jν (x) cos(πν) − J−ν (x)] ,sin(πν)ν 6∈ Z;1 ∂Jν (x)n ∂J−ν (x)Nn (x) ≡ lim Nν (x) =− (−1),ν→nπ∂ν∂νν=n(3.8)n ∈ Z.(3.9)Первая и вторая функции Ханкеля задаются равенствами:Hν(1) (x) ≡ Jν (x) + iNν (x),Hν(2) (x) ≡ Jν (x) − iNν (x)(3.10)Замечание 3.2.

Функцию Неймана Nν (x) часто называют функцией Вебера и обозначаютYν (x). Выражение (3.9) получается при раскрытии предела lim Nν (x) по правилу Лопиталя.ν→n-4-СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИЯвный вид функции Nn (x) известен, но очень громоздок и на практике не используется.(1)(2)Замечание 3.3. Функции Ханкеля Hν (x) и Hν (x) удобны при выходе аргумента x в ком(1)плексную плоскость C. Функция Hν (z) «хорошо ведет себя» в верхней полуплоскости(2)Im z > 0 (подобно eiz ), а функция Hν (x) – в нижней полуплоскости Im z < 0 (аналогично e−iz ).3.2.

Рекуррентные формулы для цилиндрических функцийДля функций Бесселя и Неймана имеют место следующие рекуррентные формулы:d −νx Jν (x) = −x−ν Jν+1 (x).dxd[xν Jν (x)] = xν Jν−1 (x),dx2νJν (x),Jν+1 (x) − Jν−1 (x) = −2Jν0 (x),xпричем формулы (3.12) легко получаются из (3.11).Аналогично, для функций Неймана,Jν+1 (x) + Jν−1 (x) =d[xν Nν (x)] = xν Nν−1 (x),dxd −νx Nν (x) = −x−ν Nν+1 (x).dx(3.11)(3.12)(3.13)2νNν (x),Nν+1 (x) − Nν−1 (x) = −2Nν0 (x).(3.14)xДля функций Бесселя и Неймана с целочисленным порядком ν = n ∈ Z верно равенствоNν+1 (x) + Nν−1 (x) =J−n (x) = (−1)n Jn (x),N−n (x) = (−1)n Nn (x),n ∈ Z.(3.15)3.3. Интегральные формулы для функций БесселяИнтегралы Ломмеля:ZRRrJν (αr)Jν (βr)dr = 2α − β2αJν+1 (αR)Jν (βR) − βJν (αR)Jν+1 (βR) ,α 6= β,(3.16)0222ZR R21ν202Jν (αR) ,r Jν (αr) dr =αJν (αR) +R − 222α0-5-ν > −1.(3.17)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИСледствие 3.2.1) Если µn , n ∈ N, есть корни уравненияαJν (µ) + βJν0 (µ) = 0,то функции Jν (µk r) и Jν (µm r) при k 6= m ортогональны: ZRJν (µk r), Jν (µm r) ≡ rJν (µk r)Jν (µm r)dr = 0.02) Справедливо выражение для нормы функции Jν (µr):ZRkJν (µr)k ≡rJν2 (µr)drR 2 µ2=22Jν0 (µR)1+2ν2R − 2µ2Jν2 (µR).0Имеют место и более общие формулы1 :Zba br µk w(µm r)w0 (µk r) − µm w(µk r)w0 (µm r) a;rw(µk r)w(µm r)dr =µ2m − µ2kkw(µr)k2 =Zbrw2 (µr)dr =12"2r2 −νµ2r=br=b #2w2 (µr)+ r2 (w0 ) (µr).ar=a(3.18)(3.19)r=aгде w(x) – произвольные решения уравнения Бесселяx2 w00 (x) + xw0 (x) + x2 − ν 2 w(x) = 0,(3.1)а µk в формуле (3.18) – положительные решения уравнения α1 Jν (µ a) + β1 µJν0 (µ a) α1 Nν (µ a) + β1 µNν0 (µ a) α2 Jν (µ b) + β2 µJν0 (µ b) α2 Nν (µ b) + β2 µNν0 (µ b)(Здесь α1,2 > 0,β1,2 > 0, = 0.(3.20)|αi | + |βi | =6 0.)3.4.

Поведение функций Бесселя и Неймана3.4.1. Поведение в окрестности нуляТеорема 3.2 (Поведение функций Бесселя в окрестности нуля).J0 (0) = 1,Jν (0) = 0,при ν > 0подробнееJν (x) ∼J−ν (0+) = ∞,при ν > 0, ν 6∈ Z,подробнееJ−ν (x) ∼11ν!x ν21(−ν)!x −ν2В них возникает необходимость при решении задач в полом цилиндре 0 < a 6 r 6 b.-6-x → 0+,,,x→0+.СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИТеорема 3.3 (Поведение функций Неймана в окрестности нуля).Nν (0+) = ∞,подробнее:N0 (x) ∼2πx → 0+,ln x,Nν (x) ∼ − (ν−1)!πNn (x) ∼ −2πx −ν2,· x−n ,ν > 0,ν 6∈ Z,n∈Nx → 0+,x→0+.На рисунке ниже приведены графики некоторых функций.3.4.2. Поведение на бесконечностиТеорема 3.4 (Поведение функций Бесселя и Неймана на бесконечности).Справедливы следующие асимптотические формулы:q 32πJν (x) = πxcos x − πν−+Ox− 2 ,x → +∞;24q32Nν (x) = πxsin x − πν− π4 + O x− 2 ,x → +∞.23.5.

Цилиндрические функции полуцелого индексаИмеет место следующий важный факт: функции Бесселя и Неймана полуцелого индекса ν = n + 12 , где n ∈ Z, являются элементарными функциями.Простейший случай:Теорема 3.5.rr2J− 1 (x) =cos x,2πxr2N− 1 (x) =sin x,2πx2sin x;2πxr2N 1 (x) = −cos x.2πxJ 1 (x) =-7-(3.21)(3.22)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИДоказательство.

Формулы (3.21) сразу получаются из определения функций Бесселя черезряд∞∞ x 2k+ν X x 2k+νX(−1)k(−1)kJν (x) =··=.(3.6)Γ(k + ν + 1)k!2(k + ν)!k!2k=0k=0Подставим в (3.6) индекс ν = − 21 :∞X x 2k− 12 1(2n − 1)!! √(−1)k ·J− 1 (x) == Γ n+=π =2222nΓ k − 12 + 1 k!k=0rr∞∞2 X2 X(−1)k 2k(−1)k2k=·x=· x2k =2kπx k=0 2 (2k − 1)!!k!πx k=0 (2k − 1)!!(2k)!!rr∞2 X (−1)k 2k2=·x ≡· cos x.πx k=0 (2k)!πxПервая формула (3.21) доказана. Теперь докажем вторую формулу:∞X x 2k+ 12 (−1)k1(2n − 1)!! √ ·= Γ n+=J 1 (x) =π =1n2222Γk++1k!2k=0rr∞∞(−1)k1 X (−1)k 2k+12 X2k+1·x=· x2k+1 ==2πx k=0 22k (2k + 1)!!k!πx k=0 (2k + 1)!!(2k)!!rr∞2 X (−1)k2· x2k+1 ≡· sin x.=πx k=0 (2k + 1)!πxДля доказательства равенств (3.22) воспользуемся определением функций Неймана для нецелого индекса:Nν (x) =Для ν = −121[Jν (x) cos(πν) − J−ν (x)] ,sin(πν)ν 6∈ Z; .получаем:N− 1 (x) =2 π11J(x)cos−− J 1 (x) = J 1 (x), −2222sin − π2| {z }| {z }=0=−1откуда сразу следует первое равенство (3.22).

Аналогично, для ν = 12 имеем:1 π J 1 (x)cosN 1 (x) =− J− 1 (x) = −J− 1 (x),π  2222sin| {z 2 }| {z 2 }=0=1откуда сразу следует второе равенство (3.22).Общий случай:-8-(3.8)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИТеорема 3.6.n2 n+ 1dsin x2Jn+ 1 (x) = (−1)·x,n ∈ N,2πxdxxrn2 n+ 1dcos xJ−n − 1 (x) =·x 2,n ∈ N.2πxdxxNk+ 1 (x) = (−1)k+1 J−k − 1 (x),k ∈ Z.rn22Доказательство. Из рекуррентных соотношений −ν 0[xν wν ]0 (x) = xν wν−1 (x),x wν (x) = −x−ν wν+1 (x)получаем формулуdx dxm ±νx wν (x) = (±1)m x±ν−m wν∓m (x),m ∈ Z+ .(3.23)(3.24)(3.25)(3.11)(3.26)Отсюда и из (3.21) получим доказываемые равенства (3.23) и (3.24).Для доказательства равенства (3.25) воспользуемся определением функций Неймана длянецелого индекса:Nν (x) =Для ν = k +121[Jν (x) cos(πν) − J−ν (x)] ,sin(πν)имеем:Nk+ 1 (x) =2ν 6∈ Z; .1π1 (x)cosJ− J−k− 1 (x) = (−1)k+1 J−k− 1 (x).πk+k+ 2π22sin πk + 2|{z 2 }|{z}=0=(−1)k+1-9-(3.8)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ3.6.